天津市第一中学滨海学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

天津一中滨海学校 2025 届高三年级第二次月考 数学学科 试卷 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷两部分, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 答卷前, 考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上. 答卷时, 考生务必将 I 卷 答案涂在答题纸指定位置; II 卷答案也写在答题纸上, 答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷 选择题 (45 分) 一、单选题: 本题共 9 小题, 每小题 5 分, 共 45 分. 1. 已知集合 ,若 ,则集合 可以是( ) A. B. C. D. 2. 设 是三个不同平面,且 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 4. 函数 的大致图象为( ) A. B. C. D. 5. 过点(0, - 2)与圆 相切的两条直线的夹角为 ,则 ( ) A. 1 B. C. D. 6. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,点 在 上,过 点作准线的垂线交准线于 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 7. 函数 在区间 的最小值、最大值分别为( ) A. B. C. D. 8. 随着北京中轴线申遗工作的进行, 古建筑备受关注. 故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一, 更是北京中轴线的 “中心”. 左图是古建筑之首的太和殿, 它的重檐庑殿顶可近似看作右图所示的几何体,其中底面 是矩形, ,四边形 是两个全等的等腰梯形, 是两个全等的等腰三角形. 若 , 则该几何体的体积为( ) A. 90 B. C. D. 135 9. 已知菱形 的边长为2, ,点 分别在边 上, ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 第II卷 非选择题 (105 分) 二、填空题: 本题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 10. 若复数 满足 ( 是虚数单位),则 的虚部是_____. 11. 二项式 的展开式中, 的系数为 10,则 _____. 12. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为_____；从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为_____. 13. 纸张的规格是指纸张制成后, 经过修整切边, 裁成一定的尺寸. 现在我国采用国际标准, 规定以 等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用 系列和 系列,其中 系列的幅面规格为: 所有规格的纸张的幅宽 (以 表示) 和长度(以 表示)的比例关系都为 ; ② 将 纸张沿长度方向对开成两等分,便成为 规格, 纸张沿长度方向对开成两等分,便成为 规格,...,如此对开至 规格. 现有 , 纸张各一张. 若 纸的宽度为 ,则 纸的面积为_____ ；这9张纸的面积之和等于_____ . 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 点 在 上,点 在 轴上, ,则 的离心率为_____. 15. 已知函数 . 设关于 的不等式 的解集为 ,若 ,则实数 的取值范围是_____. 三、解答题: 本题共 5 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分14分) 在 中,角 所对的边分别为 . 已知 , (1) 求 的值; (2) 求 的值； (3) 求 的值. 17. (本小题满分15分) 如图,四棱锥 中, 底面 为 上一点,且 . (1)证明: 平面 ; ( 2 )求直线 与平面 所成角的正弦值； (3)求三棱锥 的体积. 18. (本小题满分15分) 设椭圆 ,且离心率为 ,过点 的直线与椭圆交于 , 两点,当直线 经过椭圆中心 时, . (1) 求椭圆 的方程; (2)已知点 ,直线 和直线 分别与 轴交于 , ,与 轴交于 , ,若 ,求直线 的斜率. 19. (本小题满分15分) 已知函数 . (1) 求曲线 在点 处的切线方程; (2) 求证: ; (3)若函数 在区间 上无零点,求 的取值范围. 20. (本小题满分 16 分) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ -数列”. (1)已知等比数列 满足: ,求证: 数列 为 " 一数列"; (2)已知数列 满足: ,其中 为数列 的前 项和. ① 求数列 的通项公式: ② 设 为正整数,若存在 “ 一数列” ,对任意正整数 ,当 时,都有 成立,求 的最大值. 2024-2025-1 天津一中滨海学校高三第二次月考 数学学科 参考答案与评分标准 一、选择题: 本大题共 9 小题, 每小题 5 分, 共 45 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B C A B A D B C 二、填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 题号 10 11 12 13 14 15 答案 -2025 2 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 75 分. 16. (本小题满分 14 分) 解:(1)在 中, , 设 ,则 , 1 分 , 3 分 解得 , ; 5 分 (2)由(1)得 , 6 分 由正弦定理得 ,即 , 7 分 解得 . 8 分 (3) 是锐角,且 , 9 分 , 11 分 12 分 13 分 . 14 分 17. (本小题满分 15 分) (1)证明: 过 作 交 于 ,连接 , 1 分 则 , 2 分 又 , , 四边形 是平行四边形, 3 分 ,又 平面 , 平面 , 平面 . 4 分 (2) 连接 , , 5 分 , 6 分 又 , 以 为原点,以 为坐标轴建立空间直角坐标系 ,如图所示, 则 , 7 分 , 设平面 的法向量为 ,则 ,即 , 令 可得 , 9 分其 4 页 10 分 直线 与平面 所成的角的正弦值为 . 11 分 (3) , . 15 分 18. (本小题满分 15 分) (1)当直线 经过椭圆中心 时, ,得 , 1 分 又 ,所以 ,得 , 3 分 所以 : 4 分 (2)①当直线 的方程为 时,显然 ； 直线 的方程为 ,所以 : 直线 的方程为 ,所以 ; 此时点 与点 重合,点 与点 重合,易知 分 ② 设直线 6 分 ,即 ,即 或 ; 7 分 8 分 9 分 直线 ,直线 10 分 令 11 分 令 12 分 则 即 13 分 也即 则 ,斜率为 ; 14 分 综上,直线 的斜率为 0 或 . 15 分 19. (本小题满分 15 分) 解: ,则 ,又 , 2 分 所以曲线在点 处的切线方程为 ; 3 分 (2) 证明: 因为 ,所以 , 要证明 ,只需要证明 ,即证 , 4 分 令 ,则 , 5 分 当 时, ,此时 在(0,4)上单调递增; 当 时, ,此时 在 上单调递减, 6 分 故 在 取极大值也是最大值,故 , 7 分 所以 恒成立,即原不等式成立; 8 分 (3) ,当 时, , 故当 时, 在区间 上恒成立,符合题意; 9 分 当 时, , 10 分 令 ,则 在区间 上恒成立, 所以 在 单调递减,且 , 11 分 ① 当 时,此时 在区间 上恒成立, 所以 在区间 单调递减；所以 在 上恒成立,符合题意, 12 分 ② 当 时,此时 ,由于 且 , 所以 , 所以 ,故存在 使得 , 故当 时, ,此时 单调递增; 当 时, ,此时 单调递减, 故 时, 取极大值也是最大值,故 , 13 分 由 ,可得 , 令 ,得 ,所以 在 上存在零点,不符合题意,舍去, 14 分 综上可知, 的取值范围为 . 15 分 20. (本小题满分 16 分) 解:(1)设等比数列 的公比为 ,则由 ,得 , 2 分 数列 首项为 1 且公比为正数,即数列 为 " -数列"; 3 分 (2)①因为 ,则 ,则 , 当 时,由 得 ,整理得 , 所以数列 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 ； 8 分 (方法二) (2)① , 当 时, , 当 时, , 当 时, , 5 分 猜想 ,下面用数学归纳法证明; (i) 当 时, ,满足 , 6 分 (ii) 假设 时,结论成立,即 ,则 时, 由 ,得 ,故 时结论成立, 7 分 根据 可知, 对任意的 都成立. 故数列 的通项公式为 ; 8 分 ② 设 的公比为 , 存在 “ -数列” ,对任意正整数 ,当 时,都有 成立, 即 对 恒成立, 9 分 当 时, ,当 时, , 当 ,两边取对数可得, 对 有解,即 , 10 分 令 ,则 , 当 时, ,此时 单调递减, 11 分 当 时, , 12 分 令 ,则 , 令 ,则 , 当 时, ,即 , 在 上单调递减, 13 分 即 时, ,则 , 14 分 下面求解不等式 , 化简,得 , 令 ,则 , 由 得 在 上单调递减, 页 共 4 页 又由于 , 存在 使得 , 15 分 的最大值为 5,此时 . 16 分 【选填压轴解析】 9.【解析】由题意可得 , ①. , 即 ②. 由①②求得 ,故选: . 15. 【解析】 若不等式 的解集为 ,且 , 则在区间 上,函数 的图象应在函数 的图象的下边. 第 4 页 1 (1)当 时,显然不符合条件. (2)当 时,画出函数 和 的图象大致如图. 由图可知,当 时, 的图象在 图象的上边,故 不符合条件. (3)当 时,画出函数 和 的图象大致如图. 由图可知,若 的解集为 ,且 , 只需 即可, 则有 , 整理,得 ,解得 . . 综上,可得 的取值范围是 . ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$