专项复习提升（三） 轴对称（教用版+学用版）2024-2025学年江西省人教版八年级上学期数学期末复习

专项复习提升（三） 轴对称 考点一 轴对称及垂直平分线的性质 1．（2024江西景德镇·期末）比亚迪新能源汽车热销海外，其王朝系列尤其受欢迎，该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型是以我国五个朝代命名，每个车型都有自己对应的汉字篆体，下列中，是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【详解】A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意. 故此题答案为D． 2．（2024江西萍乡·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，符合题意． 故此题答案为D． 3．（2024江西九江·期末）若点与点关于x轴成轴对称，则的值是（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】B 【分析】此题考查了关于坐标轴成对称的点的坐标，熟练掌握点的坐标变化规律是解题的关键；根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变纵坐标互为相反数，可得m、n的值，代入即可求出结论． 【详解】点与点关于x轴成轴对称， , , 故此题答案为B． 4．（2024江西萍乡·期末）如图，的垂直平分线交于点．若的周长是16，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，把的周长转化为、的和，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∵， ∴． 故此题答案为B． 5．（2024江西九江·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是( 6．（2024江西宜春·期末）若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到，则． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故此题答案为：1． 7．（2024江西新余·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则 . 【答案】 【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得．此题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故此题答案为：． 8．（2024江西宜春·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由作图可知，MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∵BC=12，AC=5， ∴△ACD的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=17， 故此题答案为：17． 【关键点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 9．（2024江西新余·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 .    【答案】14 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，连接，根据三线合一定理得到，进而根据三角形面积公式求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，故当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵等腰三角形的底边长为4，点为的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积是24， ∴， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值为， 故此题答案为：14． 10．（2024江西萍乡·期末）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． 如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． 如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【答案】见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出答案； （2）直接利用轴对称图形的性质得出答案． 【详解】所求图形如图所示. 11．（2024江西景德镇·期末）如图，在所给网格图每小格均为边长是1的正方形中完成下列各题.用直尺画图 画出格点顶点均在格点上关于直线DE对称的； 在DE上画出点P，使最小； 在DE上画出点Q，使最大 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：如图，即为所求作． 如图，点P即为所求作． 如图点Q即为所求作． 12．（2024江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°． （1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）求证：BD平分∠CBA． 【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析． 【详解】（1）如图1所示. （2）连接BD，如图2所示, ∵∠C=60°，∠A=40°，∴∠CBA=80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠A=∠DBA=40°，∴∠DBA=∠CBA，∴BD平分∠CBA． 13．（2024江西宜春·期末）如图，在中，，请你仅用无刻度的直尺按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）   ． (1)如图1，点分别为的中点，请你作出的垂直平分线； (2)如图2，于点，点为上任意一点，请你在上找出一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了尺规作基础图形，对于（1），连接，，交于点O，作直线，则就是所求作的直线； 对于（2），连接，交于点P，作射线交于点H，则点H就是所求作． 【详解】（1）如图所示．    （2）如图所示．    14．（2024江西萍乡·期末）如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交于点、交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由垂直平分线的性质知，，由等边对等角知，； （）由垂直平分线的性质知，，则，由平分，则有，可得，再根据平行线的判定即可求证； 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 考点二 等腰三角形 1．（2024江西抚州·期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分情况讨论，再结合三角形的内角和，可求出顶角的度数． 【详解】解：依题意，等腰三角形的一个外角等于 ∴①若是顶角的外角， 则顶角； ∴②若是底角的外角， 则底角， 即顶角． 故此题答案为D． 2．（2024江西宜春·期末）如图，中，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故此题答案为C． 3．（2024江西景德镇·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，    ∵，， ∴， 即顶角的度数为； 如图2，等腰三角形为钝角三角形，    ∵，， ∴， ∴， 即顶角的度数为； 综上分析可知，顶角的度数是或． 故此题答案为C． 4．（2024江西景德镇·期末）如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为（    ） A．60 B．65 C．75 D．80 【答案】C 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故此题答案为C. 5．（2024江西宜春·期末）如图，是等边三角形，五边形是正五边形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正多边形的性质；由等边三角形可得，由正五边形知，则可得的度数，再由等腰三角形及三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴； 由正五边形知，， ∴，， ∴， ∴； 故此题答案为A． 6．（2024江西九江·期末）如图，在等腰中，顶角，点D为边上的一点，，点E为上一点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再由三角形内角和定理得，可得，再由三角形内角和定理求出 ，，得，即可得是等边三角形，可求出，从而可得结论． 【详解】解：∵在等腰中，顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故此题答案为A 7．（2024江西南昌·期末）如图，中，，，是的角平分线，若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形． 【详解】解：， 是等腰三角形； ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 是等腰三角形； 在中，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， ， ， 是等腰三角形； 图中的等腰三角形有5个． 故此题答案为C． 8．（2024江西赣州·期末）如图，与是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，交于点O，．现有如下结论：①；②，③；④；⑤平分，平分；⑥；一定成立的有（    ）个．    A．5个 B．6个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】求出，，故①②正确；证明，则，得到，，故③正确；求出，，则，得到平分，求出，平分，故⑤正确；证明，则，故④正确；由得到，在中，，则，故⑥错误． 【详解】解：∵与是全等的等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，故③正确； ∴，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴平分，故⑤正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， 在中，， ∴，故⑥错误， 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 9．（2024江西九江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点P在坐标轴上，若是直角三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】，， 【分析】由题意知，，则，是直角三角形，分，，，三种情况求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，， ∴， ∵是直角三角形， ∴有，，三种情况， ①当时，如图，则； ②当时，如图， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图，同理②可得，， 综上所述，点P的坐标是，，． 故此题答案为，，． 【关键点拨】此题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分类讨论是解题的关键． 10．（2024江西宜春·期末）已知中，，（），若经过其中一个顶点的直线将分割成等腰三角形和直角三角形两部分，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】根据中，，，得到时，， 的平分线将分割成等腰和直角两部分；当时，，的垂线将分割成等腰和直角两部分；当时，，的垂线将分割成等腰和直角两部分． 此题主要考查了等腰三角形和直角三角形．解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和直角三角形的判定，角的和差计算，分类讨论． 【详解】∵中，，， ∴当时，， 直线平分时，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，是直角三角形； 当时，， 直线时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，是直角三角形； 当时，， 直线时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，是直角三角形． 故此题答案为：或或． 11．（2024江西宜春·期末）如图所示，已知，点在边上，，点在边上，且，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了直角三角形中所对边等于斜边的一半及等腰三角形的性质，根据此性质得出的长是解题关键． 首先过点作于点，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长． 【详解】解：过点作于点， ，，， ， ， ，，， ， ． 故此题答案为：4． 12．（2024江西景德镇·期末）如图，等腰的底边长为6，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值是 ． 【答案】7 【分析】连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到，说明，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 13．（2024江西萍乡·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于 ．    【答案】或或 【分析】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：（cm）， 由题意可知共三种情况，如下： ①时，，则，    ∴，解得； ②当时，，    所以， ③当时，即，    所以， 综上所述，当t的值为或或 14．（2024江西新余·期末）如图，已知点O是等边内一点，，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，的度数是 .    【答案】或或 【分析】此题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到，，，再分类讨论中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数． 【详解】解：， ，， 是等边三角形， ，即， ，又， 是等边三角形， ， ， ， ， 若，则， 即 解得：； 若，则， 即 解得：； 若，则， 即， 解得：； 综上所述，当是等腰三角形时，的度数是或或． 故此题答案为：或或． 15．（2024江西九江·期末）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【答案】或或 【分析】根据①当，时，②当，时，③当，时，④当，时，四种情况讨论即可作答． 【详解】①当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴， ③当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴； ④当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上：∠C的度数为或或 16．（2024江西赣州·期末）中，，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1)的度数为 (2)的周长为 【分析】（1）根据等边对等角，得出是等腰三角形，，再根据是的垂直平分线，得出，再根据，即可求解； （2）根据是的垂直平分线，得出，再根据，得出的周长为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：∵，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， 又∵， ∴的周长为：． 【关键点拨】此题主要考查等腰三角形，垂直平分线的综合，理解等腰三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 17．（2024江西新余·期末）如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，重叠部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】此题考查矩形的性质，轴对称，等腰三角形的判定，三角形的面积公式． （1）由矩形的性质可得，由折叠可得，从而，进而得证结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵在矩形中，， ∴， ∵折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴ ∵在矩形中，， ∴． 18．（2024江西抚州·期末）如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点． (1)若、求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，则，，根据，的周长为：，即可； （2）垂直平分线的性质，则，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长为：， ∴； （2）解：∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2024江西宜春·期末）如图，在中，，点E在线段上，点D在的延长线，且，连接交于F，过点E作交于点H，作于点G． (1)求证：； (2)试猜想线段与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， （1）根据得，根据得，即可得，则，根据即可得； （2）根据，得，根据得，，利用证明，得，根据得，即可得； 掌握平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ， ， ， ∵， ； （2），理由如下： 证明：∵，， ， ∵， ，， 在和中， ∴， ， ， ∴， ． 20．（2024江西新余·期末）如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点A求作此正五边形的对称轴； (2)如图2，点M在上，且，在AE边上求作一点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、、、，设和交于点F，连接即可； （2）连接、，设和交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点N，则点N为所求作的点． 【详解】（1）解：连接、、、，设和交于点F，连接，则为正五边形的对称轴，如图所示： ∵五边形为正五边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴为正五边形的对称轴． （2）解：连接、，设和交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点N，则点N为所求作的点，如图所示： 根据解析（1）可知，为正五边形的对称轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【关键点拨】此题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，正五边形的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 21．（2024江西宜春·期末）在中，，是边上一点，点在的右侧，且，． (1)如图1，若，连接，． ①求的度数； ②请你判断与的数量关系，并证明． (2)如图2，若，连接、．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；②；证明见解析； (2)是直角三角形，理由见解析. 【分析】（1）①此题考查了等边三角形的性质，根据题意证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质，即可得的度数． ②此题考查了全等三角形的判定及性质，根据题意证明，即可得到． （2）此题考查了全等三角形的判定及性质，连接，根据题意得出，是等腰直角三角形，证明，可得，即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：（1）①当时， ，， 是等边三角形， ， ②， 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）（2）是直角三角形，理由如下： 连接，如图所示： 当时，且，， ，是等腰直角三角形，有， ， 即， 在和中， ， ， ， 是直角三角形． 22．（2024江西新余·期末）课本再现：如图1，在等腰中，因为，过点A作于点D，所以，均为直角三角形，由，， 可得，因此，， 由上面推理我们发现了等腰三角形的两条性质如下： 性质1：等腰三角形的两个底角相等； 性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.    (1)请你在备用图中用添加其他辅助线的方法，证明等腰三角形的这两条性质. (2)如图2，在中，，运用上述等腰三角形的性质证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作等腰底边上的中线，证明，得出，，，根据，证明，即可证明结论； （2）过点A作于点D，先证明，根据三线合一得出，，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：作等腰底边上的中线，如图所示：    则， ∵在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）． （2）证明：过点A作于点D，如图所示：    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【关键点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 23．（2024江西萍乡·期末）已知点A，D在直线l的同侧． （1）如图1，在直线l上找一点C．使得线段AC+DC最小（请通过画图指出点C的位置）； （2）如图2，在直线l上取两点B、E，恰好能使△ABC和△DCE均为等边三角形．M，N分别是线段AC，BC上的动点，连结DN交AC于点G，连结EM交CD于点F． ①当点M，N分别是AC，BC的中点时，判断线段EM与DN的数量关系，并说明理由； ②如图3，若点M、N分别从点A和B开始沿AC和BC以相同的速度向点C匀速运动，当M，N与点C重合时运动停止，判断在运动过程中线段GF与直线1的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①EM=DN；②FG∥l 【分析】（1）先作出点A关于直线l的对称点A'连接DA'交直线l于点C； （2）①先判断出CM=CN，∠DCN=∠ECM=120°，进而判断出△CDN≌△CEM，即可得出结论； ②同①的方法判断出△CDN≌△CEM，得出∠CDN=∠CEM，进而判断出△DCG≌△ECF，得出CF=CG，得出△CFG是等边三角形即可得出结论． 【详解】（1）如图1所示，点C就是所求作； （2）①EM=DN，理由： ∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AC=BC， ∴∠ECM=120°，CM=CN， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠NCD=120°， 在△CDN和△CEM中，， ∴△CDN≌△CEM， ∴EM=DN； ②FG∥l，理由：如图3，连接FG， 由运动知，AM=BN， ∵AC=BC， ∴CM=BN， 在△CDN和△CEM中，， ∴△CDN≌△CEM， ∴∠CDN=∠CEM， ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=60°=∠DCE， 在△DCG和△ECF中，， ∴△DCG≌△ECF， ∴CF=CG， ∵∠FCG=60°， ∴△CFG是等边三角形， ∴∠CFG=60°=∠ECF， ∴FG∥BC， 即FG∥l． 24．（2024江西宜春·期末）已知等腰中，，，过点C作交的延长线于点D，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在的延长线上运动，运动时间为t秒，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，线段________； (2)①如图1，当时，求线段的长； 小亮发现此时，于是大胆猜想：．为验证其猜想，小亮在上取一点G，使得，连接，就能验证其猜想并求出线段的长，请你按照小亮同学的分析写出完整的解答过程； ②如图2，当时，猜想线段、与的数量关系，并求出此时线段的长； (3)在点P运动过程中，连接，当点P运动________秒时（直接写答案），线段长度最小． 【答案】(1)8 (2)①解答过程见解析，；②， (3)10 【分析】（1）由及，得，则可得； （2）①在上取一点G，使得，连接；易得是等边三角形，证明，得，由此即可求出的长； ②在上取一点G，使得，连接；易得是等边三角形，证明，得，则有，进而求得的长； （3）由（2）②证明知，当时，点E的路径在射线上，当时，线段长度最小，由此可求出此时的长，进而求得运动的时间． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故此题答案为：8； （2）解：①如图1，在上取一点G，使得，连接， ，， ， ； ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， 即； 在和中， ， ， ，； ，， ； ②． 理由如下：如图，在上取一点G，使得，连接， ，， ， ； ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， 即； 在和中， ， ， ； ， ， ，， ． （3）解：由（2）②证明知，当时， ∵， ∴； 而， ∴； ∴； ∴点E的路径在射线上， 当时，线段长度最小； ∵， ∴， ∴； 由（2）②知，， ∴点运动的时间为10秒． 故此题答案为：10． 【关键点拨】此题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造辅助线证明三角形全等是此题的关键． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项复习提升（三） 轴对称 考点一 轴对称及垂直平分线的性质 1．（2024江西景德镇·期末）比亚迪新能源汽车热销海外，其王朝系列尤其受欢迎，该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型是以我国五个朝代命名，每个车型都有自己对应的汉字篆体，下列中，是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024江西萍乡·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024江西九江·期末）若点与点关于x轴成轴对称，则的值是（    ） A． B．4 C． D．1 4．（2024江西萍乡·期末）如图，的垂直平分线交于点．若的周长是16，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2024江西九江·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 6．（2024江西宜春·期末）若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 7．（2024江西新余·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则 . 8．（2024江西宜春·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则的周长为 ． 9．（2024江西新余·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 .    10．（2024江西萍乡·期末）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． 如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． 如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 11．（2024江西景德镇·期末）如图，在所给网格图每小格均为边长是1的正方形中完成下列各题.用直尺画图 画出格点顶点均在格点上关于直线DE对称的； 在DE上画出点P，使最小； 在DE上画出点Q，使最大 12．（2024江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°． （1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）求证：BD平分∠CBA． 13．（2024江西宜春·期末）如图，在中，，请你仅用无刻度的直尺按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）   ． (1)如图1，点分别为的中点，请你作出的垂直平分线； (2)如图2，于点，点为上任意一点，请你在上找出一点，使． 14．（2024江西萍乡·期末）如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交于点、交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 考点二 等腰三角形 1．（2024江西抚州·期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 2．（2024江西宜春·期末）如图，中，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024江西景德镇·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（2024江西景德镇·期末）如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为（    ） A．60 B．65 C．75 D．80 5．（2024江西宜春·期末）如图，是等边三角形，五边形是正五边形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2024江西九江·期末）如图，在等腰中，顶角，点D为边上的一点，，点E为上一点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024江西南昌·期末）如图，中，，，是的角平分线，若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．（2024江西赣州·期末）如图，与是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，交于点O，．现有如下结论：①；②，③；④；⑤平分，平分；⑥；一定成立的有（    ）个．    A．5个 B．6个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共7小题） 9．（2024江西九江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点P在坐标轴上，若是直角三角形，则点P的坐标是 ． 10．（2024江西宜春·期末）已知中，，（），若经过其中一个顶点的直线将分割成等腰三角形和直角三角形两部分，则的度数是 ． 11．（2024江西宜春·期末）如图所示，已知，点在边上，，点在边上，且，若，则的长为 ． 12．（2024江西景德镇·期末）如图，等腰的底边长为6，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值是 ． 13．（2024江西萍乡·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于 ．    14．（2024江西新余·期末）如图，已知点O是等边内一点，，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，的度数是 .    15．（2024江西九江·期末）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为 ． 三、解答题（本大题共9小题） 16．（2024江西赣州·期末）中，，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 17．（2024江西新余·期末）如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，重叠部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的面积． 18．（2024江西抚州·期末）如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点． (1)若、求的周长； (2)若，求的度数． 19．（2024江西宜春·期末）如图，在中，，点E在线段上，点D在的延长线，且，连接交于F，过点E作交于点H，作于点G． (1)求证：； (2)试猜想线段与的数量关系并证明． 20．（2024江西新余·期末）如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点A求作此正五边形的对称轴； (2)如图2，点M在上，且，在AE边上求作一点N，使． 21．（2024江西宜春·期末）在中，，是边上一点，点在的右侧，且，． (1)如图1，若，连接，． ①求的度数； ②请你判断与的数量关系，并证明． (2)如图2，若，连接、．试判断的形状，并说明理由． 22．（2024江西新余·期末）课本再现：如图1，在等腰中，因为，过点A作于点D，所以，均为直角三角形，由，， 可得，因此，， 由上面推理我们发现了等腰三角形的两条性质如下： 性质1：等腰三角形的两个底角相等； 性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.    (1)请你在备用图中用添加其他辅助线的方法，证明等腰三角形的这两条性质. (2)如图2，在中，，运用上述等腰三角形的性质证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 23．（2024江西萍乡·期末）已知点A，D在直线l的同侧． （1）如图1，在直线l上找一点C．使得线段AC+DC最小（请通过画图指出点C的位置）； （2）如图2，在直线l上取两点B、E，恰好能使△ABC和△DCE均为等边三角形．M，N分别是线段AC，BC上的动点，连结DN交AC于点G，连结EM交CD于点F． ①当点M，N分别是AC，BC的中点时，判断线段EM与DN的数量关系，并说明理由； ②如图3，若点M、N分别从点A和B开始沿AC和BC以相同的速度向点C匀速运动，当M，N与点C重合时运动停止，判断在运动过程中线段GF与直线1的位置关系，并说明理由． 24．（2024江西宜春·期末）已知等腰中，，，过点C作交的延长线于点D，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在的延长线上运动，运动时间为t秒，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，线段________； (2)①如图1，当时，求线段的长； 小亮发现此时，于是大胆猜想：．为验证其猜想，小亮在上取一点G，使得，连接，就能验证其猜想并求出线段的长，请你按照小亮同学的分析写出完整的解答过程； ②如图2，当时，猜想线段、与的数量关系，并求出此时线段的长； (3)在点P运动过程中，连接，当点P运动________秒时（直接写答案），线段长度最小． 参考答案 考点一 轴对称及垂直平分线的性质 1．【答案】D 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【详解】A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意. 故此题答案为D． 2．【答案】D 【分析】明确轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，符合题意． 故此题答案为D． 3．【答案】B 【分析】此题考查了关于坐标轴成对称的点的坐标，熟练掌握点的坐标变化规律是解题的关键；根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变纵坐标互为相反数，可得m、n的值，代入即可求出结论． 【详解】点与点关于x轴成轴对称， , , 故此题答案为B． 4．【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，把的周长转化为、的和，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∵， ∴． 故此题答案为B． 5．【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是( 6．【答案】1 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到，则． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故此题答案为：1． 7．【答案】 【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得．此题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故此题答案为：． 8．【答案】17 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由作图可知，MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∵BC=12，AC=5， ∴△ACD的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=17， 故此题答案为：17． 【关键点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 9．【答案】14 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，连接，根据三线合一定理得到，进而根据三角形面积公式求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，故当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵等腰三角形的底边长为4，点为的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积是24， ∴， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值为， 故此题答案为：14． 10．【答案】见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出答案； （2）直接利用轴对称图形的性质得出答案． 【详解】所求图形如图所示. 11．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：如图，即为所求作． 如图，点P即为所求作． 如图点Q即为所求作． 12．【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析． 【详解】（1）如图1所示. （2）连接BD，如图2所示, ∵∠C=60°，∠A=40°，∴∠CBA=80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠A=∠DBA=40°，∴∠DBA=∠CBA，∴BD平分∠CBA． 13．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了尺规作基础图形，对于（1），连接，，交于点O，作直线，则就是所求作的直线； 对于（2），连接，交于点P，作射线交于点H，则点H就是所求作． 【详解】（1）如图所示．    （2）如图所示．    14．【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由垂直平分线的性质知，，由等边对等角知，； （）由垂直平分线的性质知，，则，由平分，则有，可得，再根据平行线的判定即可求证； 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 考点二 等腰三角形 1．【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分为底角和顶角两种情况，分别根据等腰三角形的性质求出，然后根据排除法即可解答． 【详解】解：当为顶角时，，则B选项不符合题意； 当为底角、为顶角时时，，则C选项不符合题意； 当、为底角时，，则D选项不符合题意； 综上，选项A不符合题意． 故此题答案为A． 2．【答案】C 【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角，进而求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质求解即可． 【详解】解：由题意，正五边形的一个内角为，正六边形的一个内角为，， ∴， ∴， 故此题答案为C． 3．【答案】A 【分析】此题考查含的直角三角形三边关系．根据题意利用在直角三角形中含角所对的边是斜边的一半即可得到此题答案． 【详解】解：∵立柱垂直于横梁， ∴， ∵米，， ∴米， 故此题答案为A． 4．【答案】D 【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一个角为60°且两边相等、有两个内角为60°这三个条件中的任意一个条件即为等边三角形，根据这个定义进行逐项分析即可得到答案. 【详解】A、有两个内角是60°，因为三角形内角和是180°，可知另一个角也是60°，故该三角形为等边三角形，故本选项不合题意； B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意； C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意； D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意； 故此题答案为D. 【关键点拨】此题考查了等边三角形的判定： （1）由定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形. （2）判定定理1：三个角都想等的三角形是等边三角形. （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 5．【答案】A 【分析】此题考查了三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故此题答案为A． 6．【答案】A 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故此题答案为A． 7．【答案】B 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是证明全等； 先证明全等，再根据选项确定即可； 【详解】∵和都是等边三角形， 即， 在和中， ， ，D正确； ，C正确； 当时， 故是的垂直平分线，故A正确； 故错误的为B， 故此题答案为B． 8．【答案】B 【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是通过角边角证明三角形全等． 【详解】解：在中，，， ， ，，， ， ， ， ， ． 故此题答案为：B． 9．【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，等角对等边，含角的直角三角形的性质，过点作于G，由角平分线的性质得，结合，可知，，则． 【详解】解：过点作于G， ∵平分，D是上一点，，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故此题答案为B． 10．【答案】D 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项正确； 即：，本选项正确； ，本此选项正确； 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 11．【答案】C 【分析】此题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再利用等腰三角形性质及三角形周长可知当周长最小值时即为即可． 【详解】解：连接， ， ∵腰的垂直平分线分别交、于点E、F， ∴， ∵D为边的中点， ∴当点在上时，的周长最小， ∵等腰的底边长为6，面积是24，D为边的中点， ∴，， ∴的周长为：， 故此题答案为C． 12．【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的性质与判定，由等腰三角形的性质可判断，由“”可证可判断，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断，由“”可证可判断，灵活运用性质是解题的关键． 【详解】解∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴；故正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段，故正确； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确， 故正确的有：， 故此题答案为． 13．【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，三角形的内角和定理，解题关键是分类讨论思想．由是等腰三角形，可分为，，三种情况讨论即可求解． 【详解】， ， ， ，， 是等腰三角形， 当即（不符合题意，舍去）， 或， 当时， ， 当时，. 故此题答案为A． 14．【答案】D 【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断A；证明△BEG≌△EDF，即可判断②；得到BG=EF，再由，得到∠A=∠BEG=∠EDF，即可判断③；证明△AEF≌△EGB得到AE=EG，则，即可判断④． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵， ∴∠BDE=∠ACB， ∴∠EBD=∠EDB， ∴EB=ED，故①正确； ∵， ∴∠BEG=∠EDF， 又∵∠1=∠2，EB=DE， ∴△BEG≌△EDF（ASA），故②正确； ∴BG=EF ∵， ∴∠A=∠BEG=∠EDF，故③正确； ∵∠AED=∠1+∠EGB=∠2+∠AEF， ∴∠BGE=∠AEF， 又∵BG=EF，∠1=∠AFE， ∴△AEF≌△EGB（ASA）， ∴AE=EG， ∴，故④正确， 故此题答案为D． 【关键点拨】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 15．【答案】或或或 【分析】画出图形，分四种情况分别求解． 【详解】解：若， 则；    若， 则， ∴；    若，且三角形是锐角三角形， 则；    若，且三角形是钝角三角形， 则．    综上：的度数为或或或 16．【答案】6 【分析】如图，作PH⊥OB于H．由角平分线的性质定理推出PH＝PD＝3cm，再证明∠PCH＝30°即可解决问题． 【详解】解：如图，作PH⊥OB于H． ∵∠POA＝∠POB，PH⊥OB，PD⊥OA， ∴PH＝PD＝3cm， ∵PC∥OA， ∴∠POA＝∠CPO＝15°， ∴∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°， ∵∠PHC＝90°， ∴PC＝2PH＝6cm． 故此题答案为6． 【关键点拨】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 17．【答案】/115度 【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】， ， ， ， 又， ， ， ． 故此题答案为：． 18．【答案】 /60度 4 【分析】（1）根据题意得，由对称性可证得，有即可求得答案； （2）延长至点P，使，则点F在线段上运动，当时，最短，且，即可求得答案． 【详解】解：（1）是等边三角形，且， ， 由题意知，在和中， ， ， ， ； （2）延长至点P，使，如图， 由题意知，点F在线段上运动， 当时，最短，此时， ， ． 故此题答案为：，4． 【关键点拨】此题主要考查对称的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是熟练对称性和找最短距离． 19．【答案】①②④ 【分析】由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AB=CD，BC=DE，可证AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得∠AMB=∠CMD，BM=DM，可证△BMD是等腰直角三角形，故②正确；由AE≠BD，可得△ACE与△BMD不全等，故③错误；由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG=MH，可求∠MGH=45°=∠MBD，可证，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵∠ABD=∠BDE=∠ACE=90°， ∴∠BCA+∠ECD=90°=∠BCA+∠BAC， ∴∠BAC=∠ECD， 又∵AC=CE， ∴△ACB≌△CED（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB+DE=BC+CD=BD，故①正确； 如图，连接MC， ∵AC=CE，∠ACE=90°，点M是AE的中点， ∴ AM=CM=ME，∠CAE=∠ACM=∠ECM=45°， ∴∠BAM=∠MCD， 又∵AB=CD， ∴△ABM≌△CDM（SAS）， ∴∠AMB=∠CMD，BM=DM， ∴∠AMB+∠BMC=∠BMC+∠DMC=90°， ∴∠BMD=90°， ∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确； ∵点C不是BD的中点， ∴BD≠2MC， ∴AE≠BD， ∴△ACE与△BMD不全等，故③错误； ∵△BMD是等腰直角三角形， ∴∠MBD=∠MDB=45°， ∵∠AMC=∠GMH=90°， ∴∠AMG=∠CMH， 又∵AM=CM，∠MAG=∠MCH， ∴△AMG≌△CMH（ASA）， ∴MG=MH， ∴∠MGH=45°=∠MBD， ∴，故④正确； 故此题答案为：①②④． 【关键点拨】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 20．【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．证明，得到，等边对等角求出的度数即可．解题的关键是证明． 【详解】解：∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．【答案】详见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，再证明，可得，再结合等腰三角形的性质可得结论． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 22．【答案】见解析 【分析】此题考查等腰三角形判定的证明． 分析命题后用几何语言写出已知和求证，再进行证明．已知：如图，在中，．求证：．证明：作于点D，通过“”证明，即可解答． 【详解】已知：如图，在中，． 求证：． 证明：过点A作于点D， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 23．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线与垂直平分线的作图步骤一次作图即可； （2）根据画图语言依次画图即可； （3）由平分，可得，证明，可得，，证明，再结合角平分线的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，射线、直线即为所求 （2）如图，点E，D，线段即为所求． （3）证明：过点D作于点T．    ∵平分，， ∴， ∵垂直平分线段，， ∴，， ∵，∴， ∵，，平分， ∴， ∴． 【关键点拨】此题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，角平分线的性质与线段的垂直平分线的性质的应用，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的作角平分线与垂直平分线是解此题的关键． 24．【答案】(1) (2)见详解 【分析】该题主要考查了三角形内角和以及等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点； （1）根据三角形内角和以及角平分线求解即可； （2）根据题意中结论设表示出即可证明 【详解】（1）解：根据题意， 是的平分线， （2）根据题意， 是的平分线， 设 25．【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等边三角形性质和全等三角形判定与性质， （1）由等边三角形性质可得，，结合已知利用边角边即可证明，由此得出结论． （2）由可得，再由三角形外角性质可得． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，得出，证出，即可得出 （2）得出，再由，得，即可证出结论 【详解】（1）∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∵.，即， 在和中, ，， ∴ ∴ （2）延长分别交和于G和F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴ 【关键点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键 27．【答案】(1)； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是此题的关键． （1）由“”可证，可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 的长度为； （2）解：是等边三角形， 理由如下：由（1）知：， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 28．【答案】(1)①；②证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等： （1）①先求出，再由三线合一定理得到，由，得到，则，设，则，可求出，则；②如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，由角平分线的性质得到，证明，得到，利用三角形内角和定理证明，得到，即可证明为等腰三角形； （2）如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，同理得到，求出，得到，证明，得到，则，即：，由此可得． 【详解】（1）解：①∵为等腰三角形，，， ∴， ∵是边上的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，    ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：，证明如下： 如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，    ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∵，， ∴，且， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 29．【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，见解析； (3)6 【分析】（1）证明≌（AAS），即可得到结论； （2）证明△AOC和△BOD都是等边三角形，得到∠CAO=∠BDO=，求得∠AQD=，即可得到△AQD是等边三角形； （3）在AQ上取点H，使QH=QB，连接DH，证明△QHD≌△QBA（SAS），得到HD=BA，由（1）可知△AOB≌△COD，得到AB=CD，推出HD=CD，由（2）可知，当时，求出∠Q=4，由此推出QG=DG=5，HQ=QB=4，即可求出QC． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴OB=OD； （2）解：△AQD是等边三角形， 理由：∵， ∴∠AOC=∠BOD=， ∵OA=OC，OB=OD， ∴△AOC和△BOD都是等边三角形， ∴∠CAO=∠BDO=， ∴QA=QD， ∴△AQD是等边三角形； （3）解：如图，在AQ上取点H，使QH=QB，连接DH， ∵QD=QA，∠Q=∠Q，QH=QB， ∴△QHD≌△QBA（SAS）， ∴HD=BA， 由（1）可知△AOB≌△COD， ∴AB=CD， ∴HD=CD， 由（2）可知，当时，∠OAC=∠ODB=， ∴∠Q=4， ∵DG⊥AQ， ∴QG=DG=5， ∵HD=CD， ∴CG=GH， ∵QB=4， ∴HQ=4， ∴HG=CG=1， ∴QC=CG+GH+QH=4+1+1=6． 【关键点拨】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 考点二 等腰三角形 1．【答案】D 【分析】根据题意外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分情况讨论，再结合三角形的内角和，可求出顶角的度数． 【详解】解：依题意，等腰三角形的一个外角等于 ∴①若是顶角的外角， 则顶角； ∴②若是底角的外角， 则底角， 即顶角． 故此题答案为D． 2．【答案】C 【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故此题答案为C． 3．【答案】C 【分析】正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，    ∵，， ∴， 即顶角的度数为； 如图2，等腰三角形为钝角三角形，    ∵，， ∴， ∴， 即顶角的度数为； 综上分析可知，顶角的度数是或． 故此题答案为C． 4．【答案】C 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故此题答案为C. 5．【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正多边形的性质；由等边三角形可得，由正五边形知，则可得的度数，再由等腰三角形及三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴； 由正五边形知，， ∴，， ∴， ∴； 故此题答案为A． 6．【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再由三角形内角和定理得，可得，再由三角形内角和定理求出 ，，得，即可得是等边三角形，可求出，从而可得结论． 【详解】解：∵在等腰中，顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故此题答案为A 7．【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形． 【详解】解：， 是等腰三角形； ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 是等腰三角形； 在中，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， ， ， 是等腰三角形； 图中的等腰三角形有5个． 故此题答案为C． 8．【答案】A 【分析】求出，，故①②正确；证明，则，得到，，故③正确；求出，，则，得到平分，求出，平分，故⑤正确；证明，则，故④正确；由得到，在中，，则，故⑥错误． 【详解】解：∵与是全等的等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，故③正确； ∴，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴平分，故⑤正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， 在中，， ∴，故⑥错误， 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 9．【答案】，， 【分析】由题意知，，则，是直角三角形，分，，，三种情况求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，， ∴， ∵是直角三角形， ∴有，，三种情况， ①当时，如图，则； ②当时，如图， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图，同理②可得，， 综上所述，点P的坐标是，，． 故此题答案为，，． 【关键点拨】此题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分类讨论是解题的关键． 10．【答案】或或 【分析】根据中，，，得到时，， 的平分线将分割成等腰和直角两部分；当时，，的垂线将分割成等腰和直角两部分；当时，，的垂线将分割成等腰和直角两部分． 此题主要考查了等腰三角形和直角三角形．解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和直角三角形的判定，角的和差计算，分类讨论． 【详解】∵中，，， ∴当时，， 直线平分时，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，是直角三角形； 当时，， 直线时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，是直角三角形； 当时，， 直线时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，是直角三角形． 故此题答案为：或或． 11．【答案】4 【分析】此题主要考查了直角三角形中所对边等于斜边的一半及等腰三角形的性质，根据此性质得出的长是解题关键． 首先过点作于点，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长． 【详解】解：过点作于点， ，，， ， ， ，，， ， ． 故此题答案为：4． 12．【答案】7 【分析】连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到，说明，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 13．【答案】或或 【分析】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：（cm）， 由题意可知共三种情况，如下： ①时，，则，    ∴，解得； ②当时，，    所以， ③当时，即，    所以， 综上所述，当t的值为或或 14．【答案】或或 【分析】此题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到，，，再分类讨论中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数． 【详解】解：， ，， 是等边三角形， ，即， ，又， 是等边三角形， ， ， ， ， 若，则， 即 解得：； 若，则， 即 解得：； 若，则， 即， 解得：； 综上所述，当是等腰三角形时，的度数是或或． 故此题答案为：或或． 15．【答案】或或 【分析】根据①当，时，②当，时，③当，时，④当，时，四种情况讨论即可作答． 【详解】①当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴， ③当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴； ④当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上：∠C的度数为或或 16．【答案】(1)的度数为 (2)的周长为 【分析】（1）根据等边对等角，得出是等腰三角形，，再根据是的垂直平分线，得出，再根据，即可求解； （2）根据是的垂直平分线，得出，再根据，得出的周长为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：∵，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， 又∵， ∴的周长为：． 【关键点拨】此题主要考查等腰三角形，垂直平分线的综合，理解等腰三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 17．【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】此题考查矩形的性质，轴对称，等腰三角形的判定，三角形的面积公式． （1）由矩形的性质可得，由折叠可得，从而，进而得证结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵在矩形中，， ∴， ∵折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴ ∵在矩形中，， ∴． 18．【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，则，，根据，的周长为：，即可； （2）垂直平分线的性质，则，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长为：， ∴； （2）解：∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， （1）根据得，根据得，即可得，则，根据即可得； （2）根据，得，根据得，，利用证明，得，根据得，即可得； 掌握平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ， ， ， ∵， ； （2），理由如下： 证明：∵，， ， ∵， ，， 在和中， ∴， ， ， ∴， ． 20．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、、、，设和交于点F，连接即可； （2）连接、，设和交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点N，则点N为所求作的点． 【详解】（1）解：连接、、、，设和交于点F，连接，则为正五边形的对称轴，如图所示： ∵五边形为正五边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴为正五边形的对称轴． （2）解：连接、，设和交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点N，则点N为所求作的点，如图所示： 根据解析（1）可知，为正五边形的对称轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【关键点拨】此题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，正五边形的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 21．【答案】(1)①；②；证明见解析； (2)是直角三角形，理由见解析. 【分析】（1）①此题考查了等边三角形的性质，根据题意证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质，即可得的度数． ②此题考查了全等三角形的判定及性质，根据题意证明，即可得到． （2）此题考查了全等三角形的判定及性质，连接，根据题意得出，是等腰直角三角形，证明，可得，即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：（1）①当时， ，， 是等边三角形， ， ②， 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）（2）是直角三角形，理由如下： 连接，如图所示： 当时，且，， ，是等腰直角三角形，有， ， 即， 在和中， ， ， ， 是直角三角形． 22．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作等腰底边上的中线，证明，得出，，，根据，证明，即可证明结论； （2）过点A作于点D，先证明，根据三线合一得出，，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：作等腰底边上的中线，如图所示：    则， ∵在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）． （2）证明：过点A作于点D，如图所示：    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【关键点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 23．【答案】（1）见解析；（2）①EM=DN；②FG∥l 【分析】（1）先作出点A关于直线l的对称点A'连接DA'交直线l于点C； （2）①先判断出CM=CN，∠DCN=∠ECM=120°，进而判断出△CDN≌△CEM，即可得出结论； ②同①的方法判断出△CDN≌△CEM，得出∠CDN=∠CEM，进而判断出△DCG≌△ECF，得出CF=CG，得出△CFG是等边三角形即可得出结论． 【详解】（1）如图1所示，点C就是所求作； （2）①EM=DN，理由： ∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AC=BC， ∴∠ECM=120°，CM=CN， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠NCD=120°， 在△CDN和△CEM中，， ∴△CDN≌△CEM， ∴EM=DN； ②FG∥l，理由：如图3，连接FG， 由运动知，AM=BN， ∵AC=BC， ∴CM=BN， 在△CDN和△CEM中，， ∴△CDN≌△CEM， ∴∠CDN=∠CEM， ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=60°=∠DCE， 在△DCG和△ECF中，， ∴△DCG≌△ECF， ∴CF=CG， ∵∠FCG=60°， ∴△CFG是等边三角形， ∴∠CFG=60°=∠ECF， ∴FG∥BC， 即FG∥l． 24．【答案】(1)8 (2)①解答过程见解析，；②， (3)10 【分析】（1）由及，得，则可得； （2）①在上取一点G，使得，连接；易得是等边三角形，证明，得，由此即可求出的长； ②在上取一点G，使得，连接；易得是等边三角形，证明，得，则有，进而求得的长； （3）由（2）②证明知，当时，点E的路径在射线上，当时，线段长度最小，由此可求出此时的长，进而求得运动的时间． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故此题答案为：8； （2）解：①如图1，在上取一点G，使得，连接， ，， ， ； ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， 即； 在和中， ， ， ，； ，， ； ②． 理由如下：如图，在上取一点G，使得，连接， ，， ， ； ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， 即； 在和中， ， ， ； ， ， ，， ． （3）解：由（2）②证明知，当时， ∵， ∴； 而， ∴； ∴； ∴点E的路径在射线上， 当时，线段长度最小； ∵， ∴， ∴； 由（2）②知，， ∴点运动的时间为10秒． 故此题答案为：10． 【关键点拨】此题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造辅助线证明三角形全等是此题的关键． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$