专项复习提升（二） 全等三角形（教用版+学用版）2024-2025学年江西地区人教版数学八年级上册期末复习

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（二） 全等三角形 考点一 全等三角形的性质与判定 1．（2024江西宜春·期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2024江西南昌·期末）如图，在和中，点C在边上，边交边于点F．若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024江西景德镇·期末）如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为（    ） 10．（2024江西赣州·期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 .（写一种即可） 11．（2024江西南昌·期中）如图，四边形中，对角线交于点O，，，则图中共有 对全等三角形.    12．（2024江西吉安·期中）如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．      13．（2024江西南昌·期末）如图，于，于，，，则的度数是 ． 14．（2024江西萍乡·期末）如图，在中，，，于点，于点D，，，则的长为 ． 15．（2024江西赣州·期末）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 16．（2024江西萍乡·期末）如图，在与中，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求线段的长度． 17．（2024江西宜春·期末）如图，已知，点E在边上，与相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 18．（2024江西新余·期末）油纸伞的制作技艺十分巧妙，已列入江西省省级非物质文化遗产．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？ 19．（2024江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限，且，过点C作轴于点D，．求点C的坐标． 20．（2024江西抚州·期末）如图，，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（2024江西景德镇·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（与，不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，________°，_______°；点从向的运动过程中，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)当等于多少时，？ (3)在点的运动过程中，什么时候与的长度相等？求出此时的度数． 22．（2024江西抚州·期末）（1）【模型呈现】如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D，E．试说明： （2）【模型应用】如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有．试说明：． （3）【拓展延伸】如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I．试说明：I为的中点． 23．（2024江西景德镇·期末）数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究 （1）如图1是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是____________． （2）如图2是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若，（），的面积为，试求出与之间的关系式． 拓展应用 （3）小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由．    考点二 角的平分线的性质 1．（2024江西萍乡·期末）如图，平分于点，点是射线上的任意一点，则的长度不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024江西吉安·期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则  AC=（　　） A．4 B．5 C．3 D．2 3．（2024江西赣州赣中·开学摸底）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024江西宜春丰中·开学摸底）已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 5．（2024江西赣州·期中）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023江西宜春·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　） A． B． C． D． 7．（2022江西赣州·期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ） A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10 8．（2022江西吉安·期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（2024江西抚州·期末）如图，在中，，平分，于点，，，则的长 ． 10．（2024江西吉安·月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则BCD的面积为 ． 11．（2024江西南昌·期中）如图，已知的周长是18，OB，OC分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 12．（2024江西赣州·期末）教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①， 写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知：____________________ 求证：____________________ 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 13．（2024江西宜春·期末）如图：已知在等腰中，，点为左侧一动点，点在的延长线上，交于点，且． (1)求证：； (2)请你判断是否平分，并证明你的结论； (3)若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，请你判断的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 14．（2024江西南昌·期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知，是的角平分线，求证：点到三边，，的距离相等； (2)如图2，，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接. ①若，求的度数； ②设，，，求，的长度（用含，，的式子表示）． 15．（2024江西宜春·期末）课本再现： 思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D，E，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程． （1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：． 【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接． ①证明：平分； ②若，则________． 16．（2024江西景德镇·期末）点O在直线上，过点O任意作射线将一块直角三角尺置于平面内，且直角顶点与点O重合． (1)如图1，当平分时，请问：平分吗？请说明理由． (2)将三角尺绕点O顺时针旋转，当平分时，如图2，猜想与有何数量关系，写出它们的关系等式，并说明理由． (3)三角尺在旋转过程中，当在内部，且时，如图3，猜想与有何数量关系，并求出它们的等量关系式． (4)三角尺在旋转过程中，当在射线上时，作平分，平分求的度数． 参考答案 考点一 全等三角形的判定与性质 1．【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据全等三角形的性质可得，，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可． 【详解】解：， ，， ， 在中， ， ， ， 整理得． 故此题答案为D． 2．【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：，，， ，①能证明，不符合题意； ，，， ②不能证明，符合题意； ，，， ，③能证明，不符合题意； ，，， ，④能证明，不符合题意； 故此题答案为B． 3．【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得与的关系，根据三角形外角的性质，可得答案． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ， 故此题答案为C． 4．【答案】C 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故此题答案为C. 5．【答案】A 【分析】本题要判定△ABC≌△A'B'C'，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，故添加AC=A′C′才能根据SAS判定两三角形全等． 【详解】添加选项A后可根据SAS判定两三角形全等，符合题意； 添加选项B后不能根据SSA判定两三角形全等，不符合题意； 添加选项C后可根据ASA判定两三角形全等，不符合题意； 添加选项D后可根据AAS判定两三角形全等，不符合题意． 故此题答案为A． 6．【答案】A 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故此题答案为A． 7．【答案】C 【分析】运用全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意； C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性； D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意． 故此题答案为C． 【关键点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题关键． 8．【答案】B 【分析】过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，证即可得到答案. 【详解】解：过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∵将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故此题答案为B. 9．【答案】C 【分析】根据可得，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ， A，添加后，可得，利用可证； B，添加后，利用可证； C，添加后，仅满足，不能证明； D，添加后，利用可证； 故此题答案为C． 【知识点拨】全等三角形的判定定理:SSS,ASA,AAS,SAS四种. 10．【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一) 【详解】∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C=∠D=90°，∵AB=AB， ∴当AC=BD时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 当AD=BC时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 故此题答案为：AC=BD或AD=BC． 11．【答案】3 【分析】首先利用判定可得，再用判定，进而可得，再利用定理判定． 【详解】解：∵在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， 全等三角形共3对． 故此题答案为：3． 【关键点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：． 12．【答案】 【分析】利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 13．【答案】/90度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，证明得到，由进而得到，利用角的和差关系即可求出的度数，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为：． 14．【答案】/7厘米 【分析】根据条件证明，再利用全等三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 15．【答案】或6或8 【分析】先求出点从A点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和A点所需要的时间，然后根据,所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从A点出发到达点所需要的时间为；到达点共需要的时间为, 点从点出发到达点所需要的时间为；到达点A共需要的时间为, 当，点在上，点在上，如图所示： 此时, , , , , 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等, , , （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等, 和重合，和重合, , , （符合题意）, 当，点在上，点在上，如图所示： , , , , 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 , , （符合题意）； 当，点在上，点与点A重合，如图所示： , , , , 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等, , , （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或, 故此题答案为或6或8 . 16．【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，， ； （2）， ， ， 即． 17．【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由，得到，而，即可得到； （2）由，得到，，由三角形外角的性质得到进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵，， ∴． 【关键点拨】此题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等． 18．【答案】始终平分同一平面内两条伞骨所成的，理由见解析 【分析】根据三角形“”判定和全等，根据全等三角形的性质即可说明． 【详解】理由： 在和中 ， ， ， 即平分． 【关键点拨】此题主要考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形“边边边”全等判定定理是解决此题的关键． 19．【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形． 证明，得，继而求得，，再根据点C在第二象限内，即可得出点C坐标． 【详解】解：轴， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 点C在第二象限， ． 20．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， ． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21．【答案】(1)20；120；小 (2)当时， (3)能； 【分析】（1）现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小； （2）利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案； （3）根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 点从向的运动过程中，逐渐增大， 逐渐变小. （2）解：当时，，理由如下： ， ， 又，， ， ， 当时， ， ， 在和中， ， ， 即当时，； （3）解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下： ， ， ， ， ，， ， ， ． 22．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）由可得，推出，结合，，即可证明； （2）设，由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】（1）如图1， 证明：直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图， 证明如下： 设， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 证明：过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 23．【答案】（1）；（2）；（3）或10 【分析】（1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）证明，得出，证明，得出，求出结果即可； （3）分两种情况分别画出图形，求出的长即可． 【详解】（1）解： ， ，， 在与中， ， ， ， ， 故答案为； （2）∵， ，， ．   在和中， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）当点在上时，如图，    由（1）可知， ， ； 当点在延长线上时，如图，    由（2）可知，， ， ， 综上所述，或10． 考点二 角的平分线的性质 1．【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，可知点D到和的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为6，即可判断． 【详解】∵平分，于点E，， ∴D到的距离等于6， ∴ 故的长度不可能为5． 故此题答案为A． 2．【答案】C 【详解】如图，作DF⊥AC于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， ∴DF=DE=2. ∵S△ABD=ABDE=5，S△ABC=8， ∴S△ADC=8-5=3， 又∵S△ADC =ACDF， ∴AC=3，解得AC=3. 故此题答案为C. 3．【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故①符合要求； ∵，， ∴是的角平分线，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故③符合要求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故④符合要求； 故此题答案为D． 4．【答案】A 【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可． 【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，OP=4， ∴∠POA=30， ∴PQ=PA=4÷2=2， 故此题答案为A． 5．【答案】B 【分析】过点作于点．证明，利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点．    ，，，， 由作图过程可知：平分，，， ， 设，则有， ， ， 为上一动点， 则的最小值为， 故此题答案为：B． 【关键点拨】本题考查了作图基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质． 6．【答案】C 【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积． 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积． 故此题答案为C． 7．【答案】C 【分析】 如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得OE＝OF＝OD，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】 如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是三个角的角平分线的交点， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△AOC ＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD ＝AB：BC：AC ＝8：12：10 ＝4：6：5， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 8．【答案】B 【分析】 如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】 解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE=PF， 在△POE和△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM=NF，PM=PN，故①正确， ∴S△PEM=S△PNF， ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确， OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值， 因为腰PM的长度是变化的， 所以底边MN的长度是变化的，故③错误， 故选：B． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．【答案】 【分析】由线段的和差关系可得的长，再根据角平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，于点， ∴ 10．【答案】7.5 【分析】过点D作DE⊥BC于点E．根据BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB．得出AD=DE=3．然后利用三角形面积S△BCD=BC•DE=7.5即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵∠A=90°， ∴AD⊥AB， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB， ∴AD=DE=3， 又∵BC=5， ∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5． 11．【答案】18 【分析】作于E，于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE，OF，根据三角形的面积公式计算． 【详解】 解：作于E，于F，连接OA， ∵OB平分∠ABC，，， ∴ OE=OD=2， 同理，OF=OD=2， ∴ =18. 故此题答案为18． 【关键点拨】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 12．【答案】(1)，，垂足分别是D、E，且；平分（或者OC是的平分线）；见解析 (2)证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质和判定，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）过点E作于F，根据角平分线的性质定理求出，根据角平分线的判定定理即可得解． 【详解】（1）已知：，，垂足分别是且． 求证：平分（或者是的平分线） 证明过程： ∵，． ∴ 在和中， ∵， ∴． ∴， 是的平分线． （2）如图：过点E作于F， 平分，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， 是的平分线． 13．【答案】(1)证明见解析； (2)平分，证明见解析； (3)的度数不变， 【分析】（1）根据三角形内角和定理和已知条件，即可得到结论； （2）过点A作于点，作于点，证明．则，根据角平分线的判定定理即可得到结论； （3）在上截取，连接．先证明，再证明，则，即可证明是等边三角形，则，即可得到 【详解】（1）证明：，， ； （2）平分 证明：如图，过点A作于点，作于点． 则． 在和中， ， ． ， 平分； （3）的度数不变，， 如图，在上截取，连接． ． ， ， ， ，即是等边三角形， ， ， ． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 14．【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（）过点作，，分别垂直于，，，垂足分别为，，．根据角平分线的性质得出，即可得出结论； （2）①过点作，，垂足分别为，．根据角平分线的性质得出，进而可得平分，即可求解； ②证明得出．同理可得．，．根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，，分别垂直于，，，垂足分别为，，． 是的角平分线， ． 同理． ． ． 即点到三边，，的距离相等． （2）①过点作，，垂足分别为，． 平分，平分，， ，． ． 平分． ， ②平分， ． ，， ． ， ． ． 同理可得，． ，． 15．【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；② 【分析】（1）根据条件证明，从而． （2）①过点O作于点F， 由（1）的结论易证，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到平分； ②根据三角形的内角和，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出，从而求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）①证明：过点O作于点F， 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， ，， 平分; ②平分，平分， ，， ． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．【答案】(1)平分 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了角的计算，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的性质求解即可． （2）根据角平分线的性质求解即可． （3）设，得出，然后进行计算即可． （4）设，得，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：平分． 理由：如图1， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：． 理由：延长至H， ， ， 平分， 由上题可得平分，， ， ． （3）解：设， ， ， 即 ． （4）解：设， 得， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（二） 全等三角形 考点一 全等三角形的判定与性质 1．（2024江西宜春·期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据全等三角形的性质可得，，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可． 【详解】解：， ，， ， 在中， ， ， ， 整理得． 故此题答案为D． 2．（2024江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：，，， ，①能证明，不符合题意； ，，， ②不能证明，符合题意； ，，， ，③能证明，不符合题意； ，，， ，④能证明，不符合题意； 故此题答案为B． 3．（2024江西南昌·期末）如图，在和中，点C在边上，边交边于点F．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得与的关系，根据三角形外角的性质，可得答案． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ， 故此题答案为C． 4．（2024江西景德镇·期末）如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为（    ） A．60 B．65 C．75 D．80 【答案】C 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故此题答案为C. 5．（2024江西南昌南昌三中·期中）在△ABC  和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=  A′B′，添加下列条件后能用“SAS”判定的是(    )． A．AC = A′C′ B．BC = B′C′ C．∠B =∠B′ D．∠C =∠C′ 【答案】A 【分析】本题要判定△ABC≌△A'B'C'，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，故添加AC=A′C′才能根据SAS判定两三角形全等． 【详解】添加选项A后可根据SAS判定两三角形全等，符合题意； 添加选项B后不能根据SSA判定两三角形全等，不符合题意； 添加选项C后可根据ASA判定两三角形全等，不符合题意； 添加选项D后可根据AAS判定两三角形全等，不符合题意． 故此题答案为A． 6．（2024江西南昌·期中）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A,C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故此题答案为A． 7．（2024江西南昌·期中）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60° 【答案】C 【分析】运用全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意； C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性； D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意． 故此题答案为C． 【关键点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题关键． 8．（2024江西南昌南昌一中·期中）平面直角坐标系内有一点，将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，证即可得到答案. 【详解】解：过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为， ∵将点P绕坐标原点逆时针旋转得到的点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故此题答案为B. 9．（2024江西南昌·期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，补充下列条件后不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ， A，添加后，可得，利用可证； B，添加后，利用可证； C，添加后，仅满足，不能证明； D，添加后，利用可证； 故此题答案为C． 【知识点拨】全等三角形的判定定理:SSS,ASA,AAS,SAS四种. 10．（2024江西赣州·期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 .（写一种即可） 【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一) 【详解】∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C=∠D=90°，∵AB=AB， ∴当AC=BD时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 当AD=BC时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 故此题答案为：AC=BD或AD=BC． 11．（2024江西南昌·期中）如图，四边形中，对角线交于点O，，，则图中共有 对全等三角形.    【答案】3 【分析】首先利用判定可得，再用判定，进而可得，再利用定理判定． 【详解】解：∵在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， 全等三角形共3对． 故此题答案为：3． 【关键点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：． 12．（2024江西吉安·期中）如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则 ．      【答案】 【分析】利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 13．（2024江西南昌·期末）如图，于，于，，，则的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，证明得到，由进而得到，利用角的和差关系即可求出的度数，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为：． 14．（2024江西萍乡·期末）如图，在中，，，于点，于点D，，，则的长为 ． 【答案】/7厘米 【分析】根据条件证明，再利用全等三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 15．（2024江西赣州·期末）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 【答案】或6或8 【分析】先求出点从A点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和A点所需要的时间，然后根据,所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从A点出发到达点所需要的时间为；到达点共需要的时间为, 点从点出发到达点所需要的时间为；到达点A共需要的时间为, 当，点在上，点在上，如图所示： 此时, , , , , 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等, , , （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等, 和重合，和重合, , , （符合题意）, 当，点在上，点在上，如图所示： , , , , 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 , , （符合题意）； 当，点在上，点与点A重合，如图所示： , , , , 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等, , , （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或, 故此题答案为或6或8 . 16．（2024江西萍乡·期末）如图，在与中，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，， ； （2）， ， ， 即． 17．（2024江西宜春·期末）如图，已知，点E在边上，与相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由，得到，而，即可得到； （2）由，得到，，由三角形外角的性质得到进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵，， ∴． 【关键点拨】此题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等． 18．（2024江西新余·期末）油纸伞的制作技艺十分巧妙，已列入江西省省级非物质文化遗产．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？ 【答案】始终平分同一平面内两条伞骨所成的，理由见解析 【分析】根据三角形“”判定和全等，根据全等三角形的性质即可说明． 【详解】理由： 在和中 ， ， ， 即平分． 【关键点拨】此题主要考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形“边边边”全等判定定理是解决此题的关键． 19．（2024江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限，且，过点C作轴于点D，．求点C的坐标． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形． 证明，得，继而求得，，再根据点C在第二象限内，即可得出点C坐标． 【详解】解：轴， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 点C在第二象限， ． 20．（2024江西抚州·期末）如图，，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， ． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21．（2024江西景德镇·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（与，不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，________°，_______°；点从向的运动过程中，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)当等于多少时，？ (3)在点的运动过程中，什么时候与的长度相等？求出此时的度数． 【答案】(1)20；120；小 (2)当时， (3)能； 【分析】（1）现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小； （2）利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案； （3）根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 点从向的运动过程中，逐渐增大， 逐渐变小. （2）解：当时，，理由如下： ， ， 又，， ， ， 当时， ， ， 在和中， ， ， 即当时，； （3）解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下： ， ， ， ， ，， ， ， ． 22．（2024江西抚州·期末）（1）【模型呈现】如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D，E．试说明： （2）【模型应用】如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有．试说明：． （3）【拓展延伸】如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I．试说明：I为的中点． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）由可得，推出，结合，，即可证明； （2）设，由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】（1）如图1， 证明：直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图， 证明如下： 设， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 证明：过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 23．（2024江西景德镇·期末）数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． 实践探究 （1）如图1是小强在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的关系是____________． （2）如图2是小凡在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，若，（），的面积为，试求出与之间的关系式． 拓展应用 （3）小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，，利用备用图，求出线段的长，并说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）或10 【分析】（1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）证明，得出，证明，得出，求出结果即可； （3）分两种情况分别画出图形，求出的长即可． 【详解】（1）解： ， ，， 在与中， ， ， ， ， 故答案为； （2）∵， ，， ．   在和中， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）当点在上时，如图，    由（1）可知， ， ； 当点在延长线上时，如图，    由（2）可知，， ， ， 综上所述，或10． 考点二 角的平分线的性质 1．（2024江西萍乡·期末）如图，平分于点，点是射线上的任意一点，则的长度不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，可知点D到和的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为6，即可判断． 【详解】∵平分，于点E，， ∴D到的距离等于6， ∴ 故的长度不可能为5． 故此题答案为A． 2．（2024江西吉安·期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则  AC=（　　） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】如图，作DF⊥AC于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， ∴DF=DE=2. ∵S△ABD=ABDE=5，S△ABC=8， ∴S△ADC=8-5=3， 又∵S△ADC =ACDF， ∴AC=3，解得AC=3. 故此题答案为C. 3．（2024江西赣州赣中·开学摸底）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故①符合要求； ∵，， ∴是的角平分线，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故③符合要求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故④符合要求； 故此题答案为D． 4．（2024江西宜春丰中·开学摸底）已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可． 【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，OP=4， ∴∠POA=30， ∴PQ=PA=4÷2=2， 故此题答案为A． 5．（2024江西赣州·期中）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点．证明，利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点．    ，，，， 由作图过程可知：平分，，， ， 设，则有， ， ， 为上一动点， 则的最小值为， 故此题答案为：B． 【关键点拨】本题考查了作图基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质． 6．（2023江西宜春·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积． 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积． 故此题答案为C． 7．（2022江西赣州·期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ） A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10 【答案】C 【分析】 如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得OE＝OF＝OD，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】 如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是三个角的角平分线的交点， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△AOC ＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD ＝AB：BC：AC ＝8：12：10 ＝4：6：5， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 8．（2022江西吉安·期末）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】 如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】 解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE=PF， 在△POE和△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM=NF，PM=PN，故①正确， ∴S△PEM=S△PNF， ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确， OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值， 因为腰PM的长度是变化的， 所以底边MN的长度是变化的，故③错误， 故选：B． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．（2024江西抚州·期末）如图，在中，，平分，于点，，，则的长 ． 【答案】 【分析】由线段的和差关系可得的长，再根据角平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，于点， ∴ 10．（2024江西吉安·月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则BCD的面积为 ． 【答案】7.5 【分析】过点D作DE⊥BC于点E．根据BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB．得出AD=DE=3．然后利用三角形面积S△BCD=BC•DE=7.5即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵∠A=90°， ∴AD⊥AB， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB， ∴AD=DE=3， 又∵BC=5， ∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5． 11．（2024江西南昌·期中）如图，已知的周长是18，OB，OC分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】作于E，于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE，OF，根据三角形的面积公式计算． 【详解】 解：作于E，于F，连接OA， ∵OB平分∠ABC，，， ∴ OE=OD=2， 同理，OF=OD=2， ∴ =18. 故此题答案为18． 【关键点拨】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 12．（2024江西赣州·期末）教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①， 写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知：____________________ 求证：____________________ 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】(1)，，垂足分别是D、E，且；平分（或者OC是的平分线）；见解析 (2)证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质和判定，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）过点E作于F，根据角平分线的性质定理求出，根据角平分线的判定定理即可得解． 【详解】（1）已知：，，垂足分别是且． 求证：平分（或者是的平分线） 证明过程： ∵，． ∴ 在和中， ∵， ∴． ∴， 是的平分线． （2）如图：过点E作于F， 平分，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， 是的平分线． 13．（2024江西宜春·期末）如图：已知在等腰中，，点为左侧一动点，点在的延长线上，交于点，且． (1)求证：； (2)请你判断是否平分，并证明你的结论； (3)若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，请你判断的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)平分，证明见解析； (3)的度数不变， 【分析】（1）根据三角形内角和定理和已知条件，即可得到结论； （2）过点A作于点，作于点，证明．则，根据角平分线的判定定理即可得到结论； （3）在上截取，连接．先证明，再证明，则，即可证明是等边三角形，则，即可得到 【详解】（1）证明：，， ； （2）平分 证明：如图，过点A作于点，作于点． 则． 在和中， ， ． ， 平分； （3）的度数不变，， 如图，在上截取，连接． ． ， ， ， ，即是等边三角形， ， ， ． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 14．（2024江西南昌·期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知，是的角平分线，求证：点到三边，，的距离相等； (2)如图2，，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接. ①若，求的度数； ②设，，，求，的长度（用含，，的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（）过点作，，分别垂直于，，，垂足分别为，，．根据角平分线的性质得出，即可得出结论； （2）①过点作，，垂足分别为，．根据角平分线的性质得出，进而可得平分，即可求解； ②证明得出．同理可得．，．根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，，分别垂直于，，，垂足分别为，，． 是的角平分线， ． 同理． ． ． 即点到三边，，的距离相等． （2）①过点作，，垂足分别为，． 平分，平分，， ，． ． 平分． ， ②平分， ． ，， ． ， ． ． 同理可得，． ，． 15．（2024江西宜春·期末）课本再现： 思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D，E，测量，并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程． （1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：． 【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接． ①证明：平分； ②若，则________． 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；② 【分析】（1）根据条件证明，从而． （2）①过点O作于点F， 由（1）的结论易证，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到平分； ②根据三角形的内角和，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出，从而求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）①证明：过点O作于点F， 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， ，， 平分; ②平分，平分， ，， ． 【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．（2024江西景德镇·期末）点O在直线上，过点O任意作射线将一块直角三角尺置于平面内，且直角顶点与点O重合． (1)如图1，当平分时，请问：平分吗？请说明理由． (2)将三角尺绕点O顺时针旋转，当平分时，如图2，猜想与有何数量关系，写出它们的关系等式，并说明理由． (3)三角尺在旋转过程中，当在内部，且时，如图3，猜想与有何数量关系，并求出它们的等量关系式． (4)三角尺在旋转过程中，当在射线上时，作平分，平分求的度数． 【答案】(1)平分 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了角的计算，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的性质求解即可． （2）根据角平分线的性质求解即可． （3）设，得出，然后进行计算即可． （4）设，得，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：平分． 理由：如图1， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：． 理由：延长至H， ， ， 平分， 由上题可得平分，， ， ． （3）解：设， ， ， 即 ． （4）解：设， 得， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$