专题09与全等三角形有关的压轴题-2024-2025学年八年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题09与全等三角形有关的压轴题 1．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在△ABC中，，于点，于点，相交于点，且． (1)________； (2)试说明：△AEO≌△BEC； (3)点是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达A点时，两点同时停止运动．设点的运动时间是秒，问是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到Rt△ADC，点、分别是射线、射线上的点，且． 【初步探索】如图，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明△ADM≌△ABE，再证明△MAF≌△EAF，则可得、、之间的数量关系是_____________； 【探索延伸】如图，点在线段的延长线上，上述结论还成立吗？ 若成立给予证明，若不成立请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【灵活运用】在中，若，，，，则的周长为__________． 3．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在△ABC中，，平分，点为的中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图甲，若，求线段的取值范围； (3)如图乙，过点作交延长线于点，若比长，试求的最大值． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，在△ABC中，，点在边上， (1)如图1，若，试求的度数； (2)如图2，作，交直线于点，过点作交直线于点， ①若，图中有与相等的线段，请找出并证明； ②若（如图3），其他条件不变，重复（2）的操作，设四边形的面积是，的面积是，试求与的比值． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）【问题背景】 在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是； 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】 如图4，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 6．（19-20八年级上·河北保定·期末）在△ABC中，，，是△ABC的两条角平分线，且，交于点． （1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与全等，判定它们全等的依据是； ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出°； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程． （2）如图2，若 ，求证：． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）（1）如图1，在直角△ABC中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在△ABC中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 8．（19-20七年级下·江西南昌·期末）如图，已知△ABC中，，，分别过B，C向经过点A的直线作垂线，垂足为E，F． （1）如图1，当与斜边不相交时，写出、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当与斜边相交时，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请说明理由． （3）如图3，猜想、、之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由． 9．（20-21八年级上·江西南昌·期中）在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索 （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至G，使．则__________． 在图2中，，，，，，；则__________． 归纳证明 （2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 实际应用 （3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量．试求C与D两处之间的距离． 10．（21-22八年级上·吉林长春·期中）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB　　EC．（填＞、＜或＝） （2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC． 【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为___　　；线段CE，BD之间的数量关系为_　　． （4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为 　　；线段AM，BD，CD之间的数量关系为______　　． 11．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）在△ABC中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上，如果，则____________度； (2)设，． ①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________； ②如图2，当点D在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由． ③当点D在直线上移动时，请直接写出，之间的数量关系 12．（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，，，，，垂足分别为D、E， 请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．    （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（1）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图3，D、A、E三点在直线m上（D、A、E三点互不重合），和均为等边三角形，连接、，若，求证：，．    13．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知△ABC是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    14．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）以△ABC的、为边作和，且，，与相交于，．      (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若、分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）； (3)如图，连接，直接写出与的数量关系是______ ． 15．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． (1)如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系；______（填“”“”或“”）． (2)如图（），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． (3)如图（3）在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若△ABC的边长为，，求的长． 16．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是△ABC的中线，，，求的取值范围． 我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以．接下来，在△ABM中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：__________； (2)如图2，是△ABC的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：； (3)如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明． 17．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是△ABC的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在△ABC和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________，； (2)类比探究：如图2，在△ABC和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在△ABC和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 19．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图△ABC为等腰三角形，， D为直线上一动点，以为腰向右侧作等腰三角形且，连接直线． (1)求证：； (2)若D恰好在的中点上(如图)，求证：； (3) ①若点D为线段上任一点(B，C点除外)时，试探究与的位置关系． ②若点D为直线线除点B，C外任意一点，与的位置关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 20．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09与全等三角形有关的压轴题 1．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，在△ABC中，，于点，于点，相交于点，且． (1)________； (2)试说明：△AEO≌△BEC； (3)点是直线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达A点时，两点同时停止运动．设点的运动时间是秒，问是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)180；(2)见解析；(3)当或时，与△FCQ全等． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的思想以及利用参数构建方程解决问题成为解题的关键． （1）三角形内角和定理以及外角的性质即可解答； （2）根据证明三角形全等即可； （3）分两种情形：①当Q在边上时，如图2，，②当Q在的延长线上时，如图3，，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：180． （2）证明：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 在和△BCE中， ， ∴△AEO≌△BEC (SAS)． （3）解：存在． ∵， ∴． ①如图2中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴，解得：； ②如图3中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴，解得：． 综上所述，或时，与△FCQ全等． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到Rt△ADC，点、分别是射线、射线上的点，且． 【初步探索】如图，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明△ADM≌△ABE，再证明△MAF≌△EAF，则可得、、之间的数量关系是_____________； 【探索延伸】如图，点在线段的延长线上，上述结论还成立吗？ 若成立给予证明，若不成立请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【灵活运用】在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】“初步探索”： “探索延伸”：不再成立，，理由见解析 “灵活运用”：或 【分析】“初步探索”：利用易证得△ADM≌△ABE，于是可得，，再次利用可证得△MAF≌△EAF，于是可得，进而可证得； “探索延伸”：在上截取，连接，利用易证得△ADM≌△ABE，于是可得，，再次利用可证得△MAF≌△EAF，于是可得，进而可证得； “灵活运用”：分两种情况讨论：点在线段上；点在线段的延长线上；分别根据轴对称的性质、已知条件及“初步探索”、“探索延伸”的结论，即可求出的周长． 【详解】解：“初步探索”： 如图， ，理由如下： 将沿着斜边翻折得到， ，，， ， 又， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ，即：， ， ，故答案为：； “探索延伸”： 如图，点在线段的延长线上，上述结论不再成立， 此时，线段、、之间的数量关系为：，理由如下： 在上截取，连接， 将沿着斜边翻折得到， ，，， ， 又， ， ， ， ，， ，， ， ，， 又， ，， ， ， 又， ， ， 即：， ， ， ， 答：上述结论不再成立，； “灵活运用”： 分两种情况： 点在线段上， 将沿着斜边翻折得到， ， 由“初步探索”可得：， 的周长 ； 点在线段的延长线上， 将沿着斜边翻折得到， ， ， ， 由“探索延伸”可得：， 的周长 ； 综上所述，的周长为或，故答案为：或． 3．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在△ABC中，，平分，点为的中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图甲，若，求线段的取值范围； (3)如图乙，过点作交延长线于点，若比长，试求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由角平分线的性质和外角的性质可求解； （2）过点作，交的延长线于，证明得，，由三角形的三边关系可求解； （3）延长、交于点，证明得，，由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作，交的延长线于， ∴，， ∵点为中点，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴线段的取值范围是； （3）延长、交于点， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∵比长，即， ∴， 过点作于点， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值， 即当时，有最大值，即有最大值， 此时 ∴的最大值为． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，在△ABC中，，点在边上， (1)如图1，若，试求的度数； (2)如图2，作，交直线于点，过点作交直线于点， ①若，图中有与相等的线段，请找出并证明； ②若（如图3），其他条件不变，重复（2）的操作，设四边形的面积是，的面积是，试求与的比值． 【答案】(1)；(2)，证明见解析； 【分析】（1）由等边对等角可得，由等边对等角及三角形外角的性质可得，由等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得，于是可得，据此即可求出的度数； （2）①在上截取，在上截取，连接、，利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，利用可证得，于是可得，，由平行线的性质可得，于是可得，由等角对等边可得，于是可证得；②在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，，由平行线的性质可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，利用可证得，于是可得，设，则，，进而可得，据此即可求得与的比值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ，即：， ； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，在上截取，连接、， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图，在上截取，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在△BDE和中， ， ， ， 设，则有： ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）【问题背景】 在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是； 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】 如图4，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】初步探索：；探索延伸：仍然成立，证明见解析；结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里；问题发现：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 初步探索：根据全等三角形的判定可得，推得，，根据，，推得，根据全等三角形的判定可得，推得，即可推得； 探索延伸：延长到，使，连接，证明，和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可； 问题发现：延长到H，使，利用邻补角可得，利用可证明，可得，，根据角的和差关系可得，根据可得，利用可证明，可得，根据周角的定义即可得答案． 【详解】解：初步探索：线段、、之间的数量关系为：； 证明：延长到，使，连接，如图1： 在和中，，∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，，∴， ∴， ∴， 故线段、、之间的数量关系为：．故答案为：． 探索延伸：仍然成立； 证明：如图2，延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∴； 故结论仍然成立． 结论运用：解：连接，延长交于点，如图3： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里； 问题发现：延长到H，使，如图4， ∵， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（19-20八年级上·河北保定·期末）在△ABC中，，，是△ABC的两条角平分线，且，交于点． （1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与全等，判定它们全等的依据是； ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出°； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程． （2）如图2，若 ，求证：． 【答案】（1）①ⅰ）△BMF，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）先得出结论； ①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论； ②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论； （2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论． 【详解】（1） ①如图1，在上取一点，使， ⅰ）∵BD是的平分线， ， 在和中，， ； ⅱ），是的两条角平分线， ，， 在中，， ， ， ， ； 故答案为：ⅰ）ΔBMF，SAS；ⅱ）60；      ②由①知，，， ， ∵， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，在中，，， ， ∵BD，是的两条角平分线， ，， ，， ， 在的边左侧作，交的延长线于， ． ， ， ， ， ， 在和中，， ， ． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）（1）如图1，在直角△ABC中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在△ABC中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或或 【分析】（1）先证明，得出，，即可得出结论； （2）先证明，得出，，即可得出结论； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等可知：，而，的长由，的位置决定，故需要对，的位置分三种情况讨论：当E在上，D在上时，即时；当E在上，D在上时，即时；当E到达A，D在上时，即时；分别根据建立一元一次方程，解方程即可求出t的值． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）分三种情况： 当E在上，D在上时，即时， ，， ，， ， 以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ， ，解得：； 当E在上，D在上时，即时， 此时D与E重合， ，， ， ，解得：； 当E到达A，D在上时，即时， ，， ， ，解得：； 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 8．（19-20七年级下·江西南昌·期末）如图，已知△ABC中，，，分别过B，C向经过点A的直线作垂线，垂足为E，F． （1）如图1，当与斜边不相交时，写出、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当与斜边相交时，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请说明理由． （3）如图3，猜想、、之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由． 【答案】（1）EF=BE+CF，理由见解析；（2）EF=BE-CF，理由见解析；（3）EF=CF-BE，理由见解析 【分析】（1）求出，推出，，即可得出答案； （2）求出，推出，，即可得出答案； （3）求出，推出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ；， ，， ． （2）证明：，， ， ，， ， 在和中， ；， ，， ， ． （3）， 理由是：，， ， ，， ， 在和中， ；， ，， ， ． 9．（20-21八年级上·江西南昌·期中）在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索 （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至G，使．则__________． 在图2中，，，，，，；则__________． 归纳证明 （2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 实际应用 （3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量．试求C与D两处之间的距离． 【答案】（1）5，2.5；（2）EF=BE+FD；（3）1650m． 【分析】（1）先证明出△ABE△ADG，再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出结果；延长CD到G，使BE=DG，连接AG，同理证明即可； （2）延长FD到G，使BE=DG，利用条件证明△ABE△ADG，再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出结论； （3）依照结论（2），延长DB到E，使BE=AC，连接OE，通过求证△OAC△OBE和△OCD△OED得出CD=DE=BD+BE=BD+AC，代入数据求值即可． 【详解】（1）∵BE=DG=2，∠B=∠ADG=90°，AB=AD； ∴△ABE△ADG（SAS）， ∴AE=AG， ∠BAE=∠DAG， 又∵∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠DAF+∠DAG=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∴△AEF△AGF（SAS）， ∴EF=GD+DF=3+2=5； 延长CD到G，使BE=DG，连接AG， 同理可证：△ABE△ADG，△AEF△AGF， ∴EF=GD+DF=2.5； （2）延长FD到G，使BE=DG， ∵BE=DG，∠B=∠ADG，AB=AD； ∴△ABE△ADG（SAS）， ∴AE=AG， ∠BAE=∠DAG， 又∵∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠DAF+∠DAG=45°， ∴∠EAF=∠FAG， ∴△AEF△AGF（SAS）， ∴EF=GD+DF=DF+BE； （3）分析可得（2）中结论仍然成立， 延长DB到E，使BE=AC，连接OE， ∵∠OAC=90°+20°=110°，∠DBE=180°-70°=110°，OA=OB, ∴△OAC△OBE， ∴OE=OC，即可证明△OCD△OED， ∴CD=DE=BD+BE=BD+AC=（150+180）5=1650m． 10．（21-22八年级上·吉林长春·期中）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB　　EC．（填＞、＜或＝） （2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC． 【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为___　　；线段CE，BD之间的数量关系为_　　． （4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为 　　；线段AM，BD，CD之间的数量关系为______　　． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），；（4）， 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质求出结论； （4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），， ，即；故答案为：， （2）成立． 理由：由旋转性质可知， 在和中， ， ； （3）如图③，设，交于， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ； 故答案是：，； （4）是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ； 故答案为：，； 11．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）在△ABC中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上，如果，则____________度； (2)设，． ①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________； ②如图2，当点D在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由． ③当点D在直线上移动时，请直接写出，之间的数量关系 【答案】(1)；(2)①，；②；③或． 【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数； （2）①由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； ③分三种情况：点在线段的延长线上，在线段上，在线段的延长线上时，证明，再转化角度即可完成证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：90； （2）①， 理由如下： ，，， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：，； ②，理由如下： ，，， ．即． 在与中， ， ， ． ． ， ， ， ，故答案为：． ③（Ⅰ）当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ． （Ⅱ）当点在线段上时， ②已证明：； (Ⅲ)当点在线段的延长线上移动时，．理由如下： 如图， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，即， 综上可知：或．故答案为：或． 12．（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，，，，，垂足分别为D、E， 请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．    （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（1）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图3，D、A、E三点在直线m上（D、A、E三点互不重合），和均为等边三角形，连接、，若，求证：，．    【答案】（1）（2）成立，证明见解析（3）见解析 【分析】（1）根据，，推得，根据，可得，推得．根据全等三角形的判定和性质即可求得，，即可得到； （2）根据三角形内角和可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可得到； （3）根据等边三角形的性质可得，，，推得，根据三角形内角和可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可求得． 【详解】解：（1）， 理由：∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）（1）中的猜想还成立， 证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 13．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知△ABC是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【详解】解：【尝试探究】． 证明：如图，把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，    ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【模型建立】成立，如图，    证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（2）中的结论还成立，； 【拓展应用】∵△ABC是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 将绕点旋转，得到，    ∵，， ∴和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法（2），可得：， ∴， ∴的周长． 14．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）以△ABC的、为边作和，且，，与相交于，．      (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若、分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）； (3)如图，连接，直接写出与的数量关系是______ ． 【答案】(1)40°；(2)；(3) 【分析】（1）由“”可证，可得，由外角的性质可得结论； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）由全等三角形的性质可得，，由面积法可求，由角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图2所示：    由（1）可得：，， 、分别是、的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：连接，过点作于，于，如图3所示：   ， ，， ， ， 又，， ， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． (1)如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系；______（填“”“”或“”）． (2)如图（），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． (3)如图（3）在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若△ABC的边长为，，求的长． 【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，如图，．理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，∴， ∴， ∵， ∴． 16．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是△ABC的中线，，，求的取值范围． 我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以．接下来，在△ABM中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：__________； (2)如图2，是△ABC的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：； (3)如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)线段BC，CD，AD之间的数量关系为．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确添加常用辅助线以及运用倍长中线构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）如图1：延长到点M，使，连接，根据可证，所以，再根据求得的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图2:延长到T，使得，连接．由，推出，，推出，再证明，进而证明结论； （3）如图3中，延长交的延长线于点G．利用全等三角形的性质证明，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图1，延长到点M，使，连接， ∵是△ABC的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴．故答案为：． （2）证明：如图2: 延长到T，使得，连接． 同（1）可证， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：结论：．理由如下： 如图3中，延长交的延长线于点G． ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是△ABC的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在△ABC和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________，； (2)类比探究：如图2，在△ABC和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在△ABC和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 【答案】(1)，30；(2)，理由见解析；(3) 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明△ABE≌△ACF，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明△ABE≌△ACF可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再说明即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图3所示： ∵△ABC和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴． 19．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图△ABC为等腰三角形，， D为直线上一动点，以为腰向右侧作等腰三角形且，连接直线． (1)求证：； (2)若D恰好在的中点上(如图)，求证：； (3) ①若点D为线段上任一点(B，C点除外)时，试探究与的位置关系． ②若点D为直线线除点B，C外任意一点，与的位置关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形外角的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再利用即可证明结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，即；然后运用等腰三角形三线合一的性质可得是线段的垂直平分线，最后根据垂直平分线的性质即可证明结论； （3）①先说明△ABC是等边三角形可得，进而得到，根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论；②如图：当点D在的延长线上，先说明可得，再说明△ABC是等边三角形可得，由三角形外角的性质可得，即；再结合可得，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；同理可证点D在的延长线上的情况． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 在和中，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即是线段的垂直平分线， ∴． （3）解：①∵, ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 证明:a.如图：点D在的延长线上， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； b.如图：点D在的延长线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴△ABC、△ADE是等边三角形， ∴，， ∴，，即, ∴， ∵, ∴； 20．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) △DAE，，，；(2)见解析；(3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证△AMQ≌△FNQ即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：△DAE，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴△AMQ≌△FNQ ， ∴∴． 试卷第46页，共47页 试卷第47页，共47页 学科网（北京）股份有限公司 $$