专题09 命题、等腰三角形易错必刷题型专训（78题26个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题09 命题、等腰三角形的易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一 命题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题 2．（2024·吉林长春·模拟预测）请举反例说明命题“对于任意实数，一定大于”是假命题．你举的反例是 ．（写出一个值即可） 3．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 【易错必刷二 定理与证明】（共3小题） 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ． ①只有一个号码正确且位置正确 ②只有两个号码正确且位置都不正确 ③三个号码都不正确 3．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【易错必刷三 等边对等角】（共3小题） 1．（24-25八年级上·云南·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，．求和的度数． 【易错必刷四 根据等边对等角证明】（共3小题） 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 【易错必刷五 三线合一】（共3小题） 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在 中D是边的中点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，是边上的高，，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，于点．若，，求的周长． 【易错必刷六 根据三线合一证明】（共3小题） 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 【易错必刷七 等边三角形的性质】（共3小题） 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，等边，点O是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角形的高为4．则的值为（    ）． A．2 B． C．4 D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边．连接，．求证：． 【易错必刷八 等边三角形的判定】（共3小题） 1．（2024八年级上·湖南·专题练习）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可） 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，，交于．求证：是等边三角形．    【易错必刷九 等边三角形的判定和性质】（共3小题） 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，已知，点 D为边上一点，，点O为线段的中点，以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点 E，连接，则的长是（   ） A．5 B．10 C． D．3 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，两艘轮船由海平面上地出发，同时分别向北偏东和北偏西和的方向行驶海里到达，两地，则，两地相距 海里． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，点E是等边外的一点，点D是边上一点，，，连接．求证：是等边三角形． 【易错必刷十 等腰三角形的定义】（共3小题） 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（   ） A．17 B．13 C．10或13 D．13或17 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知等腰三角形的两边分别为7和5，则这个等腰三角形的周长为 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 【易错必刷十一 格点图中画等腰三角形】（共3小题） 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 2．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 3．（2024·江西抚州·模拟预测）在的正方形网格中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）． (1)如图1，作以为腰的锐角三角形； (2)如图2，作以为底的锐角三角形． 【易错必刷十二 找出图中的等腰三角形】（共3小题） 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有 个． 3．（23-24八年级上·吉林延边·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 【易错必刷十三 根据等角对等边证明等腰三角形】（共3小题） 1．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，、分别平分与，且相交于点，交于点，交于点，则图中的等腰三角形共有 个．    3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知：是的外角，，．求证：是等腰三角形． 【易错必刷十四 根据等角对等边证明边相等】（共3小题） 1．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，中，与的平分线交于点，过点作，分别交，于点，，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，若用“”说明，则还需要加上条件： 3．（24-25八年级上·广东阳江·阶段练习）如图，是上一点，且． (1)求证：． (2)若，求梯形的面积． 【易错必刷十五 根据等角对等边求边长】（共3小题） 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，已知平分，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，平分，平分，经过点O，与相交于点M，N，且，若的周长为18，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处，从、望灯塔，测得， ，求海岛与灯塔的距离． 【易错必刷十六 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】（共3小题） 1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（23-24八年级上·北京·期中）如图，已知，点、是射线上的两个动点，且，点是边上的点，若使点、、构成等腰三角形的点恰好只有一个，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【易错必刷十七 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】（共3小题） 1．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 3．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【易错必刷十八 等腰三角形的性质和判定】（共3小题） 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．18 C．20 D．22 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是 ． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1、图2，，均是等腰直角三角形，， (1)在图1中，求证：； (2)若绕点顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问与还相等吗？为什么？ 【易错必刷十九 作一条线段等于已知线段】（共3小题） 1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期末）已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段． (1)作一条线段，使它等于； (2)作一条线段，使它等于． 【易错必刷二十 作一个角等于已知角】（共3小题） 1．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图， 若， 根据尺规作图的痕迹， 则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示，已知． (1)尺规作图：过作的平行线，使得，在直线的异侧； (2)设点在边上，在题（1）的射线上取点，使得，问：，到直线距离是否相等？说出你的理由． 【易错必刷二十一 作已知角的平分线】（共3小题） 1．（2024·河北石家庄·一模）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 3．（24-25八年级上·北京大兴·期中）如图，在中，作的平分线，交于点P．在射线上，截取线段，使． (1)用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 【易错必刷二十二 作已知线段的垂直平分线】（共3小题） 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）小军是这样完成“过直线上的点O作直线的垂线”这项任务的．如图，①以点O为圆心、任意长为半径画弧，分别交、于点M、N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径在直线同侧作弧，两弧交于点P；③作直线，则．你认为小军的作法正确吗？如果正确，请你给出证明；如果不正确，请指出错在哪里． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是的一个外角．根据要求用尺规作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作的平分线； (2)作线段的垂直平分线，与交于点，与交于点． 【易错必刷二十三 线段垂直平分线的性质与判定】（共3小题） 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图是一块三角形的草坪，A、B、C点处各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在（   ） A．三边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为19，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【易错必刷二十四 角平分线性质定理及证明】（共3小题） 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知射线AP和，现有4个等式：①；②；③；④，其中一定能推出射线AP是的平分线的等式有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由 (2)若是的平分线，，求的度数． 【易错必刷二十五 角平分线的性质定理与判定】（共3小题） 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（    ） A．24 B．27 C．32 D．36 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，点在内，于点，于点，且，，则 ． 3．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，于，于，平分，． (1)求证：； (2)已知，．求的面积． 【易错必刷二十六 角平分线性质的实际应用】（共3小题） 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    3．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求： ①到两工厂的距离相等； ②在内，且到两条公路的距离相等． 你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 命题、等腰三角形的易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一 命题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．利用命题与定理的知识对各项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、任何定理不一定有逆定理，故A说法错误，不符合题意； B、真命题的逆命题不一定是真命题，故B说法错误，不符合题意； C、任何命题都有逆命题，故C说法正确，符合题意； D、绝对值等于它本身的数是正数或0，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）请举反例说明命题“对于任意实数，一定大于”是假命题．你举的反例是 ．（写出一个值即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当时，， ∴“对于任意实数，一定大于”是假命题． 故答案为：0（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了写逆命题，判断命题的真假及举反例等知识，理解这些知识是关键； （1）交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断是真命题即可； （2）先改写成：“如果……，那么……”的形式，再交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断真假，若是假命题，则举出符合命题条件，但不符合命题结论的例子即可． 【详解】（1）解：逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题； （2）解：原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角有公共顶点且相等； 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角； 是假命题． 反例如下：如图：，且共顶点O，但这两个角不是对顶角； 【易错必刷二 定理与证明】（共3小题） 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解． 【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场， ∵日本队得6分， ∴日本队胜2场，负1场， ∵西班牙队得4分， ∴西班牙队胜1场，平1场，负1场， ∵德国队得4分， ∴德国队胜1场，平1场，负1场， ∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场， ∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平， ∴斯达黎加队胜1场，负2场， ∴哥斯达黎加的积分是3分． 故选：D 【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）现有一个三位数密码锁，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是 ． ①只有一个号码正确且位置正确 ②只有两个号码正确且位置都不正确 ③三个号码都不正确 【答案】520 【分析】根据题意分析分析推理即可，由①结合③可以确定第三位数字为0，由②，③可以确定前两个数为5,2，据此分析即可． 【详解】根据①，③可知正确的号码是0，位置是第三位，由②，③可知正确的号码是5,2，位置分别为第一位和第二位，所以正确的密码是520． 【点睛】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键． 3．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】已知：，，平分， 求证：平分． 证明：如图所示， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【易错必刷三 等边对等角】（共3小题） 1．（24-25八年级上·云南·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；分这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于， ①当角为底角时，则该等腰三角形的底角的度数是， ②当角为顶角时，则该等腰三角形的底角的度数为：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解答问题的关键． 分是等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理与外角的性质，等边对等角；根据等边对等角以及三角形内角和定理，即可求；根据三角形的外角的性质，即可求． 【详解】解：在中，， ， 又， ， 在中，， ， 是的外角， ， ． 【易错必刷四 根据等边对等角证明】（共3小题） 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，点是内的一点，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知：如图，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴． 【易错必刷五 三线合一】（共3小题） 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在 中D是边的中点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和等知识点，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解决此题的关键． 【详解】∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，是边上的高，，则 ． 【答案】/33度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据“三线合一”可得答案． 【详解】∵是边上的高，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，于点．若，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 由，，可得，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长为． 【易错必刷六 根据三线合一证明】（共3小题） 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”， 故选D． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在三角形中，在上截取，作的平分线与相交于点P，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考据等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质证明即可． 【详解】证明：，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ． 【易错必刷七 等边三角形的性质】（共3小题） 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，等边，点O是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角形的高为4．则的值为（    ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的面积求法等知识点，根据，由是等边三角形，得出三个三角形是等底的三角形，进而可得出高高等于三角形的高，熟练掌握三角形的面积求法是解决此题的关键． 【详解】连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，等边三角形的高为4， ∴，即， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，点到直线垂线段最短，掌握等边三角形的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为点，连接，，则，则有，由点到直线垂线段最短可得，当时，的值最小，则的值最小，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴点关于的对称点为点， ∴连接，，则，如图所示， ∴，当时，的值最小，则的值最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边．连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法为解题关键．根据和均为等边三角形，得出，，，，由全等的判定定理“”即可证明，最后由全等的性质即可证明． 【详解】证明：∵ 和均为等边三角形， ∴ ，，， ∴， ∴． 【易错必刷八 等边三角形的判定】（共3小题） 1．（2024八年级上·湖南·专题练习）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， 如果添加条件，可判定为等边三角形．故A选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故B选项不符合题意； 如果添加条件，不能判定为等边三角形． 例如：，时，仍然可以作出，此时就不是等边三角形． 故C选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等角对等边，等边三角形的判定，解题的关键是掌“等角对等边”，以及三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形． 根据得出，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴，即是等边三角形； ②当时， ∵， ∴，即是等边三角形； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，，交于．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定证明即可． 【详解】证明：，， ， ， ， 是等边三角形． 【易错必刷九 等边三角形的判定和性质】（共3小题） 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，已知，点 D为边上一点，，点O为线段的中点，以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点 E，连接，则的长是（   ） A．5 B．10 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，根据作图得到，从而得到为等边三角形即可得到答案； 【详解】解：∵，为线段的中点， ∴， 以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E，如图所示，连接， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，两艘轮船由海平面上地出发，同时分别向北偏东和北偏西和的方向行驶海里到达，两地，则，两地相距 海里． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，等边三角形的判定和性质，连接，由，海里可得为等边三角形，进而根据等边三角形的性质即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：连接， 由题意可得，，海里， ∴为等边三角形， ∴海里， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，点E是等边外的一点，点D是边上一点，，，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键．先根据等边三角形的性质得到，，再证明，得到，，进而根据等边三角形的判定可证得结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【易错必刷十 等腰三角形的定义】（共3小题） 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）若等腰三角形中有两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为（   ） A．17 B．13 C．10或13 D．13或17 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识点，因为腰长没有明确，所以分①3是腰长，②7是腰长两种情况求解，熟练掌握①3是腰长，②7是腰长两种情况讨论求解是解决此题的关键． 【详解】①3是腰长时， ∵ ∴不能组成三角形， ②7是腰长时，能组成三角形，周长， ∴它的周长是17， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知等腰三角形的两边分别为7和5，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为5和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若5为腰长，7为底边长， 由于，能构成三角形，三角形的周长为； （2）若7为腰长，．能构成三角形，三角形的周长为； 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的中线和三角形的三边关系，分两种情况：当cm时和cm时，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图， ∵是边上的中线， 即， ∴， 若，则， 又∵， 联立方程组∶， 解得：， 三边能够组成三角形； 若，则， 又∵， 联立方程组， 解得：， 三边能够组成三角形； ∴三角形的各边长为或． 【易错必刷十一 格点图中画等腰三角形】（共3小题） 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 3．（2024·江西抚州·模拟预测）在的正方形网格中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）． (1)如图1，作以为腰的锐角三角形； (2)如图2，作以为底的锐角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定按要求画图即可． （2）根据等腰三角形的判定，使，且满足为锐角三角形即可． 【详解】（1）如图1，即为所求（答案不唯一）． （2）如图2，即为所求（答案不唯一）． 【易错必刷十二 找出图中的等腰三角形】（共3小题） 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有 个． 【答案】7 【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°． ①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时； ②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时， ③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时． ④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时， ⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时， ⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时； ⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时． ⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时． ⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·吉林延边·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC． （1）求证：AB+BE=CD． （2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE 【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠EDC． 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB=DE， ∴DE+BE=BD， ∵BD=CD， ∴AB+BE=CD； （2）∵△ABD≌△EDC， ∴AD=EC， ∵AD=BC，BD=CD， ∴AD=BC=EC， ∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 【易错必刷十三 根据等角对等边证明等腰三角形】（共3小题） 1．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题意结合等角对等边进行画图求解即可． 【详解】解：A、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； B、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； C、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； D、不可以裁成两个等腰三角形，符合题意； 故选D． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，、分别平分与，且相交于点，交于点，交于点，则图中的等腰三角形共有 个．    【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据三角形的内角和定义和角平分线的定义，分别求出图中各角的度数，根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、分别平分与， ∴， ∴，， ∴，， 综上：均为等腰三角形，一共8个， 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知：是的外角，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了等腰三角形的判定．根据平行线的性质可得，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴是等腰三角形． 【易错必刷十四 根据等角对等边证明边相等】（共3小题） 1．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，中，与的平分线交于点，过点作，分别交，于点，，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，先根据角平分线的定义和平行线判断出、，也就得到三角形的周长就等于与的长度之和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵分别是与的平分线， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， 又∵，， ∴的周长， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，若用“”说明，则还需要加上条件： 【答案】 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定；根据等角对等边可得，根据题意再添加一组对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 若用“”说明，则还需要加上条件：（或）， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东阳江·阶段练习）如图，是上一点，且． (1)求证：． (2)若，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． （1）由，可得，根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可； （2）根据全等可得，再利用梯形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 而， 在和中， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 梯形的面积． 【易错必刷十五 根据等角对等边求边长】（共3小题） 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，已知平分，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查等角对等边，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，平分，平分，经过点O，与相交于点M，N，且，若的周长为18，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行线和角平分线的定义证明，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长， ∵， ∴． 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处，从、望灯塔，测得， ，求海岛与灯塔的距离． 【答案】50海里 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形外角的性质，先根据路程等于度数乘以时间得到海里，再由三角形外角的性质推出，则海里． 【详解】解：∵一条船从海岛出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛处， ∴海里， ∵， ， ∴， ∴， ∴海里， ∴海岛与灯塔的距离为50海里． 【易错必刷十六 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】（共3小题） 1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 2．（23-24八年级上·北京·期中）如图，已知，点、是射线上的两个动点，且，点是边上的点，若使点、、构成等腰三角形的点恰好只有一个，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可． 【详解】设，则， 如图1，当时，即， 以为圆心，以4为半径的弧交于点，此时， 则点，，构成的是等边三角形，则此时构成等腰三角形的点恰好只有一个． 如图2．当时，即， 过点作于点， ∵， ∴． ∴， 作的垂直平分线交于点，则． 此时，以，，构成的等腰三角形的点恰好有2个． 则当时，以，，构成的等腰三角形恰好只有一个． 综上，的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，主要通过数形结合的思想解决问题，解题关键在于熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【答案】（1）4；（2）2;想一想： 4；算一算：70°或40°或100°． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点，即可得到结论； 想一想：分四种情况：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD＝CD，⑤当BE=EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 算一算：如图3，当AD=CD，分三种情况：①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°；②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°；③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°；如图4，当AC=AE，CE=BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点； 故这样的等腰三角形能画2个， 故答案为：2； 想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CG，④当AD＝CD时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形，⑤当BE=EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， ∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； 算一算：如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°， 当AC=CE，CE=BE时， ∵∠A=20°， ∴∠AEC=∠A=20°， ∴∠B=10°， 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为70°或40°或100°． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与作图；特别注意利用分类讨论的方法，避免漏解． 【易错必刷十七 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】（共3小题） 1．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 2．（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 3．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】图见解析，10 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键． 【易错必刷十八 等腰三角形的性质和判定】（共3小题） 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，于是. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证得， ∴， 即的周长为20， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，同理可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵，， ∴的周长为； 故答案为16． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1、图2，，均是等腰直角三角形，， (1)在图1中，求证：； (2)若绕点顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问与还相等吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)与还相等，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，，即可证明； （2）由，可推出，证明，即可求解． 【详解】（1）解：，均是等腰直角三角形，且， ，， ， 即； （2），理由如下： ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【易错必刷十九 作一条线段等于已知线段】（共3小题） 1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 【详解】解：由作图知：， 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期末）已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【答案】①③⑤④② 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； ∴正确的顺序是①③⑤④② 故答案为：①③⑤④②． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段． (1)作一条线段，使它等于； (2)作一条线段，使它等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图： （1）如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，最后以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，则线段即为所求； （2）如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，最后以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，则线段即为所求； （2）解：如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则线段即为所求． 【易错必刷二十 作一个角等于已知角】（共3小题） 1．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，作一个角等于已知角的尺规作图，根据作图方法可得，则可依据证明，由全等三角形对应角相等可得，据此可得答案． 【详解】解：解：由作图知， ∴， ∴， ∴说明的依据是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图， 若， 根据尺规作图的痕迹， 则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了作图-基本作图．根据作图得到，于是得到结论． 【详解】解：由作图知，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示，已知． (1)尺规作图：过作的平行线，使得，在直线的异侧； (2)设点在边上，在题（1）的射线上取点，使得，问：，到直线距离是否相等？说出你的理由． 【答案】(1)见详解 (2)相等，理由如下： 【分析】（1）以点B为圆心，为半径，画弧分别交于，于两点M和G，以点A为圆心，以为半径，画弧交于于点N，以点N为圆心，以长为半径画弧，交于一点K，连接并延长，点D在线段的左边，所以，即可作答． （2）证明，再结合全等三角形的对应边上的高相等，即可作答． 本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：平行线如图所示： （2）解：相等，理由如下： 依题意，连接，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， 则F到直线距离是的边上的高，到直线距离是的边上的高， ∵，， ∴，到直线距离是相等（全等三角形的对应边上的高相等）． 【易错必刷二十一 作已知角的平分线】（共3小题） 1．（2024·河北石家庄·一模）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键． 由作图方法可得是的角平分线，进而根据，求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用，利用基本作图得到平分，平分，根据三角形内角和得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴， ， ∵ ， 而， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·北京大兴·期中）如图，在中，作的平分线，交于点P．在射线上，截取线段，使． (1)用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定及性质． （1）先作的平分线，再截取线段，使即可； （2）由角平分线的性质得，再根据证即可证出结论． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）证明：如图， 平分， ， 在和中， ， ， ． 【易错必刷二十二 作已知线段的垂直平分线】（共3小题） 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．根据作图痕迹逐项分析即可． 【详解】解：A．该图作的是的平分线，故不符合题意； B．该图作的是的垂直平分线，故符合题意； C．该图作的是的垂线，故不符合题意； D．该图作的是的垂直平分线，故不符合题意； 故选B． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）小军是这样完成“过直线上的点O作直线的垂线”这项任务的．如图，①以点O为圆心、任意长为半径画弧，分别交、于点M、N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径在直线同侧作弧，两弧交于点P；③作直线，则．你认为小军的作法正确吗？如果正确，请你给出证明；如果不正确，请指出错在哪里． 【答案】正确，见解析 【分析】本题考查了作图基本作图，根据作图证明即可得到． 【详解】解：小军的作法正确，证明如下 证明：如图，连接，， 根据作图过程可知：，， 又， ∴， ， ， ， ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是的一个外角．根据要求用尺规作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作的平分线； (2)作线段的垂直平分线，与交于点，与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）利用基本作图作出的平分线； （2）利用基本作图作出的垂直平分线，与交于点，与交于点即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：直线即为所求． 【易错必刷二十三 线段垂直平分线的性质与判定】（共3小题） 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图是一块三角形的草坪，A、B、C点处各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在（   ） A．三边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等即可求解．本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意． 【详解】解：水口到三棵树的距离相等， 灌溉出水口的位置应选在三边垂直平分线的交点上， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为19，则的长为 ． 【答案】9 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，构造方程解题，熟练掌握性质，灵活构造方程解题是解题的关键． 【详解】解：设， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∵的周长是， 根据题意，得，， ∴， 故答案为：9． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 【易错必刷二十四 角平分线性质定理及证明】（共3小题） 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知射线AP和，现有4个等式：①；②；③；④，其中一定能推出射线AP是的平分线的等式有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】在外部也可以找到符合①；②；③；④四个等式的射线AP，但这时射线AP不是的平分线，从而得出答案． 【详解】解：①如图，， 但射线AP不是的平分线； ②如图，， 但射线AP不是的平分线； ③如图，， 但射线AP不是的平分线； ④如图，， 但射线AP不是的平分线， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线．从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线． 2．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 【答案】2：3：4 【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案． 【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点． ∵CO、BO、AO分别平分 ∴ ∵，， ∴ 故答案为：2：3：4 【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由 (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)互相平行，见解析 (2)40° 【分析】（1）由平行线的性质定理可得，等量代换可得，利用平行线的判定定理可得结论； （2）由已知可得，利用角平分线的性质定理可得，利用平行线的判定定理可得，由平行线的性质定理可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 是的平分线， ， ； ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理． 【易错必刷二十五 角平分线的性质定理与判定】（共3小题） 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（    ） A．24 B．27 C．32 D．36 【答案】C 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可． 【详解】解：∵AD=DE，S△BDE=96， ∴S△ABD=S△BDE=96， 过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴DG=DF， ∴△ACD与△ABD的高相等， 又∵AB=3AC， ∴S△ACD=S△ABD=． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，点在内，于点，于点，且，，则 ． 【答案】/55度 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得平分，再根据三角形内角和定理求解． 【详解】∵，，且， ∴ ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，于，于，平分，． (1)求证：； (2)已知，．求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)32 【分析】（1）根据垂直的定义得出，以及角平分线的性质得出，再根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）求出，根据三角形的面积公式求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能根据全等三角形的判定定理推出是解此题的关键． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：，， ， ， 的面积是． 【易错必刷二十六 角平分线性质的实际应用】（共3小题） 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求： ①到两工厂的距离相等； ②在内，且到两条公路的距离相等． 你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线，作角的平分线，则与的交点F就是仓库的位置． 【详解】解：如图，点F为仓库的位置． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段的垂直平分线和角平分线，线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作线段垂直平分线和角平分线的一般步骤． 学科网（北京）股份有限公司 $$