专题08与整式乘法相关的拓展探究题-2024-2025学年八年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题08与整式乘法相关的拓展探究题 1．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算： （1）；（2）；（3）； 但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成： （1）； （2） ； （3）； 观察上述解法，你能发现什么规律． （1）【问题解决】 用你发现的规律直接写出______． （2）【拓展探究】 请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______． （3）【拓展延伸】 下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由． 【答案】（1）6396；（2）；（3）正确，理由见解析 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确根据图形列出算式，再推导、运用平方差公式． （1）运用题目中给出的方法进行求解； （2）结合（1）题中算式的特点进行归纳、求解； （3）运用图形面积的不同求解方法进行推理、证明． 【详解】解：（1）由题意得， ，故答案为：6396； （2）由题意得，，故答案为：； （3）规律正确， ∵， 又∵， ∴规律正确． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】 （1）； 【应用结论】 （2）已知，，分别求与的值； 【变式拓展】 （3）因式分解： 【答案】（1）；（2）36；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，因式分解，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案； （2）结合（1）中的公式进行计算即可； （3）根据平方差公式和（1）中的公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由图可得： 大正方形的边长为，故大正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为， ，故答案为：； （2）由（1）知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （3） ． 3．（21-22八年级上·北京东城·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______； （2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； 探究问题： （1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______． 【答案】解决问题：（1）或或或或或或（写出一个即可）；是；（2）2；探究问题：（1）（2）；拓展结论： 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（1）根据即可求解； （2）根据即可求解；拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题（1）： ∵ ∴小于的“和美数”有：或或或或或或（写出一个即可）； ∵， ∴是为“和美数”；故答案为：或或或或或或（写出一个即可）；是； （2）∵ ∴ ∴；故答案为：2 探究问题（1）： ∵， ∴ ∴；故答案为： （2）∵， ∴要使S为“和美数”，则 拓展结论：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值是；故答案为： 4．（23-24七年级下·山西太原·期中）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1；图2； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 【知识迁移】 （4）若，则_________．（直接写出结果） 【答案】（1）图1：，图2：；（2）；（3）；（4）13 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图形的阴影部分可直接进行求解； （2）根据图中所给阴影部分面积可直接进行求解； （3）设，则有，然后根据完全平方公式可进行求解； （4）由题意易得，然后根据整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图1可知满足的乘法公式为；由图2可知满足的乘法公式为； 故答案为，； （2）根据图形可知：图中阴影部分的面积为或者， ∴满足的关系式为； （3）由可设，则， ∴， ∵两正方形的面积和为20，即， ∴， ∴， ∴； （4）由题意可知：， ∴ ∵， ∴；故答案为13． 5．（23-24七年级下·山东聊城·期末）综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_______． 【探究实践】 （2）类比图，写出图中所表示的数学等式______； （3）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式； （4）利用（）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，求； 【拓展应用】 （5）用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，写出的所有可能取值． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）；（）或 【分析】（）边长为的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等即可求解； （）边长为的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等即可求解； （）根据多项式乘法法则展开运算即可； （）由（）中得到的结论得到，代入已知条件计算即可； （）所拼成的长方形或正方形的面积为：，从因式分解的角度看，可分解为或展开计算即可得的值 本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得：，故答案为：； （）由题意得：， 故答案为：； （） ； （）∵，， ∴ ； （）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为， 从因式分解的角度看，可分解为或， 所以或， 所以或． 6．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【阅读材料】 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以． 又因为，，所以． 【探究实践】 （1）若，，求的值； 【拓展应用】 （2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】（1）（2）40 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，完全平方公式及平方差公式，根据题意表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意可得，，再求得，最后根据进行求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为，，所以， ． （2）设正方形、正方形的边长分别为a，b． 由题意得：，， 所以，即，得， 因为，又因为，所以， 7．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．图1中阴影部分面积可表示为： 图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． (1)用两种不同方法表示图4 中阴影部分面积： 方法1：，方法2：； (2)由(1)可得到一个关于 的等量关系式是； (3)若， ，求的值． 【知识迁移】 (4)如图，正方形 和正方形 的边长分别为，()，若 是的中点，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】（1）， （2） ；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积问题； （1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积等于长方形的面积，即可求解． （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据完全平方公式变形即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：方法方法2：， （2） （3）∵，， （4）阴影部分面积等于 ∴阴影部分面积等于 8．（22-23八年级上·河北邢台·期末）乘法公式的探究及应用．    【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式_________； 【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题： ①若，，求的值； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①3；②9996；（3） 【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案； （2）①由（1）可知，进而代入相对于的值即可求解； ②将变形为，再应用平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式将每个括号变形，即可求出答案． 【详解】解：（1）大的正方形边长为，面积为，小正方形边长为，面积为， ∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积， ∴图1阴影部分面积， 图2阴影部分面积， ∵图1的阴影部分与图2面积相等， ∴， 故答案为：； （2）①∵，， 即：， ∴； ② ； （3） ． 9．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）［阅读理解]数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．    例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． [类比探究] （1）如图②是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③）观察图③请你写出，，之间的等量关系：__________________； ［解决问题]（2）若，直接写出代数式的值，并求的值； ［拓展应用]（3）已知m，n为实数，，求的值． 【答案】（1）（2），；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式与几何图形的应用，正确表示出对应选项图形中各部分的面积是解题的关键． （1）根据图③中大正方形的面积等于里面小正方形的面积加上4个小长方形的面积求解即可； （2）等式两边同时除以x即可得到，然后利用（1）中的结论求解即可； （3）设，，然后得到，然后由得到，然后利用（1）中的结论求解即可． 【详解】（1）∵图③中里面小正方形的边长为 ∴； （2）∵ ∴， ∴ 由（1）得， ∴ ∴； （3）设， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 由（1）得， ∴ ∴ ∴． 10．（23-24八年级上·广东珠海·期末）【综合探究】实践：把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为，的小长方形（图1），再展开还原（图2）沿着折痕（虚线部分）剪开，拼成一个大正方形（图3）． (1)猜想：①图3中间小正方形的边长为_______；（用含，的式子表示） ②根据材料，直接写出式子，，之间的等量关系_______； (2)应用：若，，求的值； (3)拓展：若，求的值． 【答案】(1)①；②；(2)41；(3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何背景的应用，关键是能根据图形结合完全平方公式得到对应的结论，并能进行相关的应用． （1）①由图形即可得出答案；②由图大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，即可得出答案； （2）由（1）可得：，代入，，进行计算即可得出答案； （3）设，，则，，在利用完全平方公式的变形得出，即可得解． 【详解】（1）解：①由图3可得：阴影正方形边长为， 故答案为：； ②由图大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，， ， 故答案为： （2）解：由（1）可得：， ，， ， ； （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ． 11．（23-24七年级下·山西运城·期中）学习情境：在学习整式的乘法中，智慧小组通过对同一面积的不同表达和比较，利用图1 和图2发现并验证了乘法公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景.这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 数学思考：（1）请写出图1表示的代数恒等式________________________． 深入探究：（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 拓展应用： 【提出问题】，，，，是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 【几何建模】用长方形的面积表示两个正数的乘积，以为例：画宽为，长为的长方形，如图3，将这个的长方形从右边切下长，宽3的一条（阴影部分），拼接到原长方形的上面（阴影部分）． 【思路分析】几何建模步骤原长方形面积可以有两种不同的表达方式：长方形面积或的长方形与右上角的长方形面积之和，即长方形面积，用文字表述的速算方法是：十位数字2与2加1的和相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 体验操作：（3）请你参照上述几何建模步骤，计算．写出几何建模步骤：__________________． 归纳提炼：（4）两个十位数字相同，并且个位数字之和是的两位数相乘的速算方法是（用字母表示：设十位上的数字为，个位上的数字分别为，）：________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）画宽为，长为的长方形，如图，将这个的长方形从右边切下长，宽的一条（阴影部分），拼接到原长方形的上面；（4） 【分析】（1）结合题意，根据正方形面积，利用割补法进行分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据长方形和正方形的面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （3）根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案； （4）根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：（1）如图 图中阴影部分的面积可以表示为， 也可以表示为，即 ∴图1表示的代数恒等式为， 故答案为：； （2）根据题意，如图 其面积可以表示为； （3）画宽为，长为的长方形，如图，将这个的长方形从右边切下长，宽的一条（阴影部分），拼接到原长方形的上面（阴影部分）． 理由如下：几何建模步骤原长方形面积可以有两种不同的表达方式：长方形面积或的长方形与右上角的长方形面积之和，即长方形面积，用文字表述的速算方法是：十位数字2与2加1的和相乘，再乘以100，加上个位数字2与8的积，构成运算结果． 故答案为：画宽为，长为的长方形，如图，将这个的长方形从右边切下长，宽的一条（阴影部分），拼接到原长方形的上面； （4）十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；即； 故答案为：． 12．（23-24七年级下·山东济南·期中）【方法呈现】 若满足，求的值． 设，，则，， ． 【类比探究】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； 设，，则______，______，则的值为______； （2）若满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，已知正方形的边长为分别是边上的点，且，四边形为长方形，分别以，为边作正方形，阴影部分的面积是12． ①______，______；（用含的式子表示） ②求长方形的面积． 【答案】（1）2，3，5；（2）13；（3）①，；②8 【分析】本题考查完全平方公式的应用、平方差公式，灵活运用完全平方公式求解是解答的关键． （1）仿照例题方法，结合完全平方公式求解即可； （2）设，，则，利用完全平方公式求解即可； （3）①根据正方形的性质结合图形可得答案；②根据阴影面积等于正方形与正方形的面积差列等式，结合例题方法以及平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）设，，则，， ∴， 故答案为：2，3，5； （2）设，，则，， ∵， ∴ ； （3）①由题意，， 由图可知，，， 故答案为：，； ②由题意，正方形的面积为，正方形的面积为， ∵阴影部分的面积是12， ∴， 设，，则，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴长方形的面积为． 13．（23-24七年级下·福建三明·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1：____________，方法2：____________； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是____________ （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则______． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形的边长分别为，若，，E是的中点，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】（1），；（2）；（3）①24；②；（4）4 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积； （2）根据（1）中两种方法得到的面积相等列出等式即可； （3）①先求出，再根据所求式子进行求解即可；②先求出，再根据进行求解即可； （4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：（1）方法1：，方法2：； 故答案为：，； （2）∵（1）中方法1和方法2表示的图形面积相等， ∴； 故答案为：； （3）①，， ， ∴ ， 故答案为：； ②∵，， ∴ ， ∴； （4）阴影部分面积和为：       阴影部分面积和等于． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【方法介绍】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．在教科书第一章《整式的乘除》中，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地解释了整式乘法的法则．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 数学老师为各小组同学提供若干张大小形状完全相同的小长方形卡片，如图1，小长方形卡片的长记为a，宽记为b．各小组同学利用“数形结合”探究时，摆放卡片要求不能重叠．第一小组同学用4张小长方形卡片如图2摆放，构造出一个正方形；第二小组同学用5张小长方形卡片如图3摆放，构造出一个大长方形，两个小组联合提出下列问题，请回答： （1）图2中阴影部分的形状为； （2）求图3中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （3）若图2中阴影部分的面积为67，图3中阴影部分的面积为246，求每个小长方形卡片的面积． 【方法拓展】 在第一、二小组的带动下，第三小组同学用9张小长方形卡片如图4摆放，构造出一个更大的长方形，若图中左下角的阴影部分的面积为，右上角阴影部分的面积为，且． （4）求小长方形卡片的长a和宽b的值； （5）若将AB的长增加x，如图5，此时图中左下角的阴影部分增加的面积为，右上角阴影部分增加的面积为，请说明的值与x的值是否有关． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）28；（4），；（5）见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）由题意得，图2中阴影部分是边长为的正方形； （2）用最大的长方形面积减去5个小长方形卡片的面积即可得到答案； （3）根据题意得到，，再根据进行求解即可； （4）由题意得，， ，再由得到，解方程即可得到答案； （5）由题意得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，图2中阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：正方形； （2）图3中最大的长方形的长为，宽为，则其面积为， ∴图3中的阴影部分面积为； （3）由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴每个小长方形卡片的面积为28； （4）由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （5）由题意得，， ∴ ． 15．（23-24八年级上·江西南昌·期末）【母题呈现】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为． 【知识应用】 （1）根据图②所得的公式，若，，则_____． （2）若x满足，求的值． 【拓展应用】 如图③，四边形中，于点E，，，，若E与的面积和为，则△ABE与△CDE的面积和为__________．        【答案】母题呈现：；类比探究： ；知识应用：（1）5；（2）3；拓展应用：23 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用， 母题呈现：由题意知，； 类比探究：由题意知，； 知识应用（1）将，代入，计算求解即可； （2）由题意知，，根据，计算求值即可； 拓展应用：由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据，计算求值即可． 【详解】解：母题呈现：由题意知，，故答案为：； 类比探究：由题意知，，故答案为：； 知识应用：（1）∵，， ∴， ∴；故答案为：5； （2）解：由题意知，， ∴，故答案为：3； 拓展应用：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故答案为：． 16．（23-24七年级下·浙江金华·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．    【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得． （2）根据图2：若，，求的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为，长方体③的体积为(结果不需要化简)．则因式分解．      【拓展延伸】 （4）尝试因式分解： (5)应用：已知，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；；；（4）；(5) 【分析】本题主要考查的是因式分解的应用，列代数式和几何体，根据题目中给出的信息进行列式计算是解题的关键． （1）结合图1，可得； （2）由图2得：，代入计算即可； （3）结合图5，可知长方体②的体积，长方体③的体积，则； （4）由（3）可知：； (5)将变形为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）由图1得：， 故答案为：； （2）由图2得：， 即， ，， ， ，，， ， ； （3）根据图4可知：长方体②的体积， 长方体③的体积， 则 ， 故答案为：；；； （4）由（3）可知： ； (5) ， ，， ． 17．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【探究发现】 如图1，有型，型正方形卡片和型长方形卡片各若干张． （1）由1张型卡片，2张型卡片，3张型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式_______________． （2）选取1张型卡片，16张型卡片，________张型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含,的式子表示为________． 【拓展提升】 （3）如图，正方形边长分别为，，已知，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）64；；（3）20 【分析】本题主要考查考查完全平方公式的几何意义，以及多项式乘以多项式玘几何图形的关系： （1）用两种方法表示图2的面积，即可得出等式； （2）由拼图可得是完全平方式，则，即，从而得出答案； （3）表示阴影部分的面积，化成，再整体代入求值即可． 【详解】解：方法1：大长方形的面积为， 方法2：图2中五部分的面积和为：， 因此有； 故答案为：； （2）由面积拼图可知， 故答案为：64，； （3）由图形面积之间的关系可得， ． ∵，， ∴原式；故答案为：20 18．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）（2）（3）5（4）13（5） 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，“完美数”的定义． （1）根据“完美数”的定义解答即可． （2）利用配方法把原式变形，进而求出m，n的值，然后计算即可． （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算出x，y的值，然后再计算即可． （4）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答即可． （5）将等式变形求得，利用配方法即可求得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ， ∴，， ∴， 故答案为： （3） 即， 即， ∴，， ∴， 故答案为：5． （4） ， 要使S为“完美数”，则， 解得： （5）， ∴， ∴ ， ∵ ∴取的最小值． 19．（23-24七年级下·福建福州·期末）在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程时，错解成，数学老师带领学生们探究的括号展开形式． (1)老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下： 解：（乘方的定义） （步骤②） 步骤②用到的依据是__________（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出的括号展开形式； (2)老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将，分别看成边长为a，b的两个正方形，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为__________，因此阴影部分的面积用a，b可表示为_________，还可以表示为__________，从而得到的展开形式． (3)拓展延伸： ①由平方的非负性，探究与的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为，求护栏长度的最小值． 【答案】(1)乘法分配律，推导见解析；(2)，，或，， (3)①；②20 【分析】（1）根据乘法的分配律，展开计算即可，仿照示例解答即可． （2）根据题意，长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为，还可以表示为，或长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为还可以表示，解答即可． （3）①根据，得到，继而得到． ②根据长方形的面积为25，长为，得到宽为，表示周长为．解答即可． 本题考查了运算的分配律，实数的非负性，几何解释，应用，熟练掌握实数的非负性，公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：步骤②用到的依据是分配律． 故答案为：乘法分配律． 解：的展开形式推导如下： ． （2）根据题意，长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为，还可以表示为，或长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为还可以表示， 故答案为：，，或，，． （3）解：①由平方的非负性知， ∵， ∴， ∴． ②∵长方形的面积为25，长为， ∴宽为， ∴周长为：， ∴护栏长度的最小值为20． 20．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2)，90；(3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【详解】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）有图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 试卷第30页，共31页 试卷第31页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08与整式乘法相关的拓展探究题 1．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算： （1）；（2）；（3）； 但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成： （1）； （2） ； （3）； 观察上述解法，你能发现什么规律． （1）【问题解决】 用你发现的规律直接写出______． （2）【拓展探究】 请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______． （3）【拓展延伸】 下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由． 2．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】 （1）； 【应用结论】 （2）已知，，分别求与的值； 【变式拓展】 （3）因式分解： 3．（21-22八年级上·北京东城·期中）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和美数”．例如，是“和美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于的“和美数”______；并判断是否为“和美数”______； （2）若二次三项式（x是整数）是“和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； 探究问题： （1）已知“和美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为______； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值是______． 4．（23-24七年级下·山西太原·期中）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1；图2； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 【知识迁移】 （4）若，则_________．（直接写出结果） 5．（23-24七年级下·山东聊城·期末）综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_______． 【探究实践】 （2）类比图，写出图中所表示的数学等式______； （3）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式； （4）利用（）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，求； 【拓展应用】 （5）用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，写出的所有可能取值． 6．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）综合与实践 【阅读材料】 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以． 又因为，，所以． 【探究实践】 （1）若，，求的值； 【拓展应用】 （2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积． 7．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2)．图1中阴影部分面积可表示为： 图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式： 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． (1)用两种不同方法表示图4 中阴影部分面积： 方法1：，方法2：； (2)由(1)可得到一个关于 的等量关系式是； (3)若， ，求的值． 【知识迁移】 (4)如图，正方形 和正方形 的边长分别为，()，若 是的中点，求图中的阴影部分面积的和． 8．（22-23八年级上·河北邢台·期末）乘法公式的探究及应用．    【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式_________； 【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题： ①若，，求的值； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 9．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）［阅读理解]数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．    例如：教材在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于这两个数的平方差”，即，利用了如图①的图形表示它的几何意义：深色阴影部分面积为，也可转化成一个一边长为，另一边长为的长方形，其阴影部分面积为，由于阴影部分面积相同，因此有． [类比探究] （1）如图②是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形．（如图③）观察图③请你写出，，之间的等量关系：__________________； ［解决问题]（2）若，直接写出代数式的值，并求的值； ［拓展应用]（3）已知m，n为实数，，求的值． 10．（23-24八年级上·广东珠海·期末）【综合探究】实践：把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为，的小长方形（图1），再展开还原（图2）沿着折痕（虚线部分）剪开，拼成一个大正方形（图3）． (1)猜想：①图3中间小正方形的边长为_______；（用含，的式子表示） ②根据材料，直接写出式子，，之间的等量关系_______； (2)应用：若，，求的值； (3)拓展：若，求的值． 11．（23-24七年级下·山西运城·期中）学习情境：在学习整式的乘法中，智慧小组通过对同一面积的不同表达和比较，利用图1 和图2发现并验证了乘法公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景.这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 数学思考：（1）请写出图1表示的代数恒等式________________________． 深入探究：（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 拓展应用： 【提出问题】，，，，是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 【几何建模】用长方形的面积表示两个正数的乘积，以为例：画宽为，长为的长方形，如图3，将这个的长方形从右边切下长，宽3的一条（阴影部分），拼接到原长方形的上面（阴影部分）． 【思路分析】几何建模步骤原长方形面积可以有两种不同的表达方式：长方形面积或的长方形与右上角的长方形面积之和，即长方形面积，用文字表述的速算方法是：十位数字2与2加1的和相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 体验操作：（3）请你参照上述几何建模步骤，计算．写出几何建模步骤：__________________． 归纳提炼：（4）两个十位数字相同，并且个位数字之和是的两位数相乘的速算方法是（用字母表示：设十位上的数字为，个位上的数字分别为，）：________． 12．（23-24七年级下·山东济南·期中）【方法呈现】 若满足，求的值． 设，，则，， ． 【类比探究】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； 设，，则______，______，则的值为______； （2）若满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，已知正方形的边长为分别是边上的点，且，四边形为长方形，分别以，为边作正方形，阴影部分的面积是12． ①______，______；（用含的式子表示） ②求长方形的面积． 13．（23-24七年级下·福建三明·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1：____________，方法2：____________； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是____________ （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则______． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形的边长分别为，若，，E是的中点，求图中的阴影部分面积的和． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【方法介绍】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．在教科书第一章《整式的乘除》中，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地解释了整式乘法的法则．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 数学老师为各小组同学提供若干张大小形状完全相同的小长方形卡片，如图1，小长方形卡片的长记为a，宽记为b．各小组同学利用“数形结合”探究时，摆放卡片要求不能重叠．第一小组同学用4张小长方形卡片如图2摆放，构造出一个正方形；第二小组同学用5张小长方形卡片如图3摆放，构造出一个大长方形，两个小组联合提出下列问题，请回答： （1）图2中阴影部分的形状为； （2）求图3中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （3）若图2中阴影部分的面积为67，图3中阴影部分的面积为246，求每个小长方形卡片的面积． 【方法拓展】 在第一、二小组的带动下，第三小组同学用9张小长方形卡片如图4摆放，构造出一个更大的长方形，若图中左下角的阴影部分的面积为，右上角阴影部分的面积为，且． （4）求小长方形卡片的长a和宽b的值； （5）若将AB的长增加x，如图5，此时图中左下角的阴影部分增加的面积为，右上角阴影部分增加的面积为，请说明的值与x的值是否有关． 15．（23-24八年级上·江西南昌·期末）【母题呈现】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为． 【知识应用】 （1）根据图②所得的公式，若，，则_____． （2）若x满足，求的值． 【拓展应用】 如图③，四边形中，于点E，，，，若E与的面积和为，则△ABE与△CDE的面积和为__________．        16．（23-24七年级下·浙江金华·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．    【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式， （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得． （2）根据图2：若，，求的值 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为，长方体③的体积为(结果不需要化简)．则因式分解．      【拓展延伸】 （4）尝试因式分解： (5)应用：已知，，求出的值． 17．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【探究发现】 如图1，有型，型正方形卡片和型长方形卡片各若干张． （1）由1张型卡片，2张型卡片，3张型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式_______________． （2）选取1张型卡片，16张型卡片，________张型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含,的式子表示为________． 【拓展提升】 （3）如图，正方形边长分别为，，已知，，求阴影部分的面积． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 19．（23-24七年级下·福建福州·期末）在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程时，错解成，数学老师带领学生们探究的括号展开形式． (1)老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下： 解：（乘方的定义） （步骤②） 步骤②用到的依据是__________（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出的括号展开形式； (2)老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将，分别看成边长为a，b的两个正方形，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为__________，因此阴影部分的面积用a，b可表示为_________，还可以表示为__________，从而得到的展开形式． (3)拓展延伸： ①由平方的非负性，探究与的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为，求护栏长度的最小值． 20．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$