专题07与勾股定理有关的应用题-2024-2025学年八年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题07与勾股定理有关的应用题 1．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 2．在△ABC中，， 若如图①，则有 ；若△ABC是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当△ABC是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，△ABC是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则△ABC的面积是________． 3．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 4．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 5．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 6．如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？ 7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 8．如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 9．如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 9．如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米． (1)求小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法） 10．如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 11．某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 12．某游乐场部分平面图如图所示，点在同一直线上，点在同一直线上，，测得． (1)求入口到大摆锤的距离； (2)现要在距离大摆锤的处修建游乐项目旋转木马（即），点在同一直线上，且使旋转木马到过山车的距离最近．求过山车到旋转木马的距离． 13．材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”． 实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）材料中的方法体现的数学思想是（    ） A．函数思想      B．分类讨论思想     C．数形结合思想      D．整体思想 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点M， （2）试说明； （3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 14．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路?（即问：与是否垂直?）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 15．如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度． 16．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，． (1)连接，求的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 17．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 18．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米（米）．将它往前推进一些（于点E，且米），踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米（米），求秋千绳（或）的长度． 19．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 20．如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 21．金秋十月，某校体育运动会顺利举行，运动员们在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障．如图，过道上A、B两点相距，C、D为两个班级，于点A，于点B，为方便同学们接取饮用水，现要在过道上临时设立一个饮水站E，使得C、D两个班级到E站的距离相等． (1)请用直尺（不带刻度）和圆规画出饮水站E的位置（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)已知，求饮水站E到点B的距离． 22．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，求长方形的面积． 23．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 24．【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等．           【项目方案】 (1)方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ (2)方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ (3)【项目总结】我认为方案是最优化方案． 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07与勾股定理有关的应用题 1．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析，的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 点即为中转站的位置； 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ，的最小值为． 2．在△ABC中，， 若如图①，则有 ；若△ABC是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当△ABC是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，△ABC是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则△ABC的面积是_______． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，对于（1），根据题意猜想即可；对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）△ABC是钝角三角形且为钝角时，．故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则，即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴，解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 3．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1)9.5m；(2)不能成功． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则，，， 在中，， ． （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接， 则，． 在中，． ，余线仅剩7m， ∴， ∴不能上升12m，即不能成功． 4．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时；(2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ，， （小时），即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 5．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：因为工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置， 所以， 在中，， 所以快艇距离岸边还有； （2）解：因为在中，， 所以， 所以， ， 所以绳子被收上来． 6．如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？ 【答案】向外滑了13米 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理在实际生活中的运用，理解题目中云梯的长度不变，正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，运用勾股定理求出的长，再求的长，然后利用勾股定理即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，米， ∴（米）， 在直角中，米， ∴米， ∴向外滑了米． 7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)①见解析；②；(2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负，即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ，解得，即， ． 8．如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1)A、两点之间的距离为；(2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连结． 在中，°，，， ． 即A、两点之间的距离为． （2）解：， ， ， ∴是直角三角形且， 四边形纸片的面积 ． 9．如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 9．如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米． (1)求小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】(1)17千米；(2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线间间距线段，线段垂直平分线的尺规作图和线段垂直平分线的性质． （）过点作于，由平行线间间距相等得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （2）如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求． 10．如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴，解得，即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 11．某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离． 【答案】5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键． 根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点C作，垂足为点E， 则， 由题意得：米，米，米 则， 在中，由勾股定理得： ,即，解得米． 答：该生头顶C到门铃A的距离为5米． 12．某游乐场部分平面图如图所示，点在同一直线上，点在同一直线上，，测得． (1)求入口到大摆锤的距离； (2)现要在距离大摆锤的处修建游乐项目旋转木马（即），点在同一直线上，且使旋转木马到过山车的距离最近．求过山车到旋转木马的距离． 【答案】(1)入口到大摆锤的距离为．(2)过山车到旋转木马的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理，即可求解的值． （2）根据垂线段最短，可得，再根据勾股定理，即可求解的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：入口到大摆锤的距离为． （2）解：∵使旋转木马到过山车的距离最近， ∴， ∵，， ∴， 答：过山车到旋转木马的距离为． 13．材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”． 实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）材料中的方法体现的数学思想是（    ） A．函数思想      B．分类讨论思想     C．数形结合思想      D．整体思想 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点M， （2）试说明； （3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】（1）C；（2）见解析（3）见解析 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：C；                      （2）由题意可得：， ∴， ∵直线m，直线m， ∴， ∴， ∴，   在和中， ，∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴ 又 ∴， ∴， ∴． 14．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路?（即问：与是否垂直?）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是从村庄到河边的最近路，说明见解析；(2)千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，则，然后由垂线段最短即可得出结论； （2）设千米，则千米，千米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是为从村庄到河边的最近路，理由如下： ，千米，千米，千米， ， △BCH是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边的最近路； （2）解：设千米，则千米， 千米， 在中，由勾股定理得：，即，解得：， 答：原来的路线的长为千米． 15．如图，数学活动课上，老师带领全班学生测量旗杆高度，已知旗杆顶端垂下了一根绳子，绳子的末端点距离地面的高度为米，老师让小明拿起绳子末端向前走了米至点处，此时绳子末端距离地面的高度为米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设绳子长为米，过点作于点，根据题意可得米，米，米，米，由勾股定理得，求解出后，即可求旗杆的高度． 【详解】解：设绳子长为米，如图，过点作于点， 根据题意得米，米，米，米， 在中，由勾股定理得，解得：， ∴旗杆的高度为米． 答：旗杆的高度为米． 16．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，． (1)连接，求的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【答案】(1)；(2)12540元 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再根据求出这块塑胶场地的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：在中，，，， ∴，， ∴ ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元． 17．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理推出，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：米，米，米， ， ， ， （米）， （米）． 18．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米（米）．将它往前推进一些（于点E，且米），踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米（米），求秋千绳（或）的长度． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设米，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：设米， 米， 米， 米， 根据勾股定理可得， ， 解得． 的长度为米． 19．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务． (1)已知：如图，在中，．求线段的长． (2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米；(2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）风筝沿方向再上升米，则，由勾股定理得，，则他应该再放出米线，计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ∴（米），∴线段的长为米． （2）解：风筝沿方向再上升米，则， 由勾股定理得，， ∵，∴他应该再放出8米线． 20．如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为；(2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）在中，勾股定理求得，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解； （2）勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：由题意可知， 在中，， ∴． 在中，， ∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）解：∵，，，∴，∴． 21．金秋十月，某校体育运动会顺利举行，运动员们在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障．如图，过道上A、B两点相距，C、D为两个班级，于点A，于点B，为方便同学们接取饮用水，现要在过道上临时设立一个饮水站E，使得C、D两个班级到E站的距离相等． (1)请用直尺（不带刻度）和圆规画出饮水站E的位置（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)已知，求饮水站E到点B的距离． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和作图、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用是解答本题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）设，则，在和中，由勾股定理得，，则，即，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）解：由题意得，， 设，则， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， 即，解得， 答：饮水站到点的距离为． 22．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，求长方形的面积． 【答案】60 【分析】本题考查了勾股定理的运用，设阴影部分的直角三角形的未知边长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该长方形的面积． 【详解】如图，设阴影部分的直角三角形的未知边长为x，则，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴，， ∴长方形的面积， ∴长方形的面积为60． 23．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会；(2)27米；(3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米；故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即，解得：， ∴米，∴梯子的长度是25米． 24．【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等．           【项目方案】 (1)方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ (2)方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ (3)【项目总结】我认为方案是最优化方案． 【答案】(1)至少需要布设个监控器；(2)至少需要布设个监控器；(3)． 【分析】利用勾股定理求出，根据河流的长度是，求出需要布设的监控的数量； 过作于点，构造直角三角形利用勾股定理求出，设，则，在中，，在中，，得到方程，解方程求出，可知此时监控监测的范围是，根据河流的长度求出布设监控的数量； 因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 在中，， 【详解】（1）解：，，， 在中，， 又河流的长度是， ，至少要布设个监控； （2）解：如下图所示， 过作于点， 则， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ，整理得：，解得：，      此时，符合题意， ，至少需要布设8个监控器； （3）解：因为方案2监控的距离与方案1相同，需要按装的监控的数量少，所以方案2是最优方案． 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$