精品解析：广东省惠州市第八中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

广东省惠州市惠城区第八中学2024-2025学年第一学期高一12月月考数学试卷 一、单选题（5分╳8=40分） 1. 以下选项中，是集合的元素的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 是的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（6分╳3=18分） 9. 已知函数的值域是，则它的定义域可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ） A. 方程有三个根 B. 的单调减区间为和 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（5分╳3=15分） 12. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 13. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则__________. 14. 已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______. 四、解答题（共77分） 15. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16. 已知关于不等式的解集为. （1）当为空集时，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； 17. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x． （1）求函数f（x）在R上的解析式； （2）解关于x的不等式f（x）＜3． 18. 函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，（且），且. （1）求b的值，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于x的方程有两个不同的解，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市惠城区第八中学2024-2025学年第一学期高一12月月考数学试卷 一、单选题（5分╳8=40分） 1. 以下选项中，是集合的元素的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 2. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围. 【详解】因为，且， 所以，即的取值范围是. 故选：D 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定形式可得结论. 【详解】易知命题“”的否定是“”. 故选：B 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则，即的取值范围是. 故选：C. 5. 是的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】当时，有，所以． 反之不一定成立，例如，当时，满足， 但不满足条件，所以不满足充分性，即p是q的必要不充分条件． 故选：B 6. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法可得答案. 【详解】， 其图象是对称轴为，开口向上的抛物线， 所以当时，有最小值，为， 当时，有最大值，为， 则的取值范围为. 故选：C. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、多选题（6分╳3=18分） 9. 已知函数的值域是，则它的定义域可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意令，，求出对应的x值，结合二次函数的性质以及选项即可求解. 【详解】令，解得； 令，解得； 由二次函数的图象与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是，，． 故选：ACD． 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可得，可判断A；利用基本不等式的性质计算可判断BCD. 【详解】因为，所以，所以， 所以，故A错误； 所以，所以， 所以，则，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 11. 记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ） A. 方程有三个根 B. 的单调减区间为和 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由的定义可得图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】由的含义可得图象如下图所示， 由图象可知： 对于A，与有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确； 对于B，的单调递减区间为和，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，无最小值，D错误. 故选：AC. 三、填空题（5分╳3=15分） 12. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为：. 13. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可. 【详解】因为是角终边上一点，所以， 由三角函数的定义，得，解得. 故答案为：. 14. 已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示， 因为方程有四个根且， 由图象可知，，可得， 则， 设，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 四、解答题（共77分） 15. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】 （1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知⫋，即可求m的取值范围. 【详解】， （1）时，， ∴； （2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋， 又且， ∴，解得； 【点睛】本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题. 16. 已知关于不等式的解集为. （1）当为空集时，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； 【答案】（1）；（2）最小值为. 【解析】 【分析】（1）当为空集时，通过判别式小于0，转化求的取值范围； （2）化简，利用基本不等式求解最小值； 【详解】解：(1)为空集，所以方程无实根, ,即,解得, 实数的取值范围为; (2)由（1）知,则, 当且仅当,即时等号成立. 所以的最小值为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，属于中档题． 17. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x． （1）求函数f（x）在R上的解析式； （2）解关于x的不等式f（x）＜3． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可． （2）利用分段函数的表达式分别进行求解即可． 【小问1详解】 当时，，则， 由是定义在R上的奇函数，得，且， 故． 【小问2详解】 当时，恒成立； 当时，显然成立； 当时，解得，即. 综上所述：不等式的解集为． 18. 函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 ， ，， 令，则， 易知单调递减，该函数值域为即； 【小问2详解】 令，则在上恒成立， 当时，恒成立，； 当时，等价于恒成立， 令. 当且仅当时取等号，. 综上，. 19. 已知函数，（且），且. （1）求b的值，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于x的方程有两个不同的解，求实数m的取值范围. 【答案】（1），为奇函数，理由如下： 定义域满足，即， 又，故为奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由解得b，由定义判断的奇偶性 （2）由对数函数单调性解不等式 （3）分析得，由参变分离法，原命题等价于有两个不同的解，令化简得，即可由数形结合法判断m的范围. 【小问1详解】 由得，故，. 为奇函数，理由如下： 定义域满足，即， 又，故为奇函数. 【小问2详解】 ，，即，即，解得. 故不等式的解集为 【小问3详解】 的定义域为，，为增函数，∵，∴，∴. 经检验不符合方程，故可化为， 又，可化为，令，则. ∵关于x的方程有两个不同的解，即等价于在有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个交点. ∵，当且仅当时等号成立，且在单调递减，在单调递增，， 故当与的图象在有两个交点时，，即. 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $