专项复习提升（二） 全等三角形（教用版+学用版）2024-2025学年北京地区人教版八年级上册数学期末复习

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（二） 全等三角形 考点一 全等三角形的性质与判定 1．（2024北京·期末）右图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024北京·期末）根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024北京·期末）如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（   ） A． B．平分 C．平分 D． 4．（2024北京·期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ）    A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 5．（2024北京·期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为(　　) A．60° B．75° C．90° D．120° 6．（2024北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2024北京·期末）如图，，要使，则需再添加一个条件是 （写出一个即可）．    8．（2024北京·期末）如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是 ． 9．（2024北京·期末）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为 ．    10．（2024北京·期末）如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点画交于点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________． 11．（2024北京·期末）如图，点B是射线上一点，射线的端点A在直线上，按要求画图并填空：    (1)过点B作直线平行直线； (2)用量角器作的角平分线，交直线于点F； (3)作射线，交直线于点G； (4)若，则______（用含α的式子表示）； (5)请用等式写出的数量关系______． 12．（2024北京·期末）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条，的中点连在一起（即，），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论． 13．（2024北京·期末）如图，在和中，点A、C、E在同一直线上，，，．求证：． 14．（2024北京·期末）如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 15．（2024北京·期末）我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给添加一个条件：如图，，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由． 16．（2024北京·期末）已知：如图，，，，连接，，，过点作于点．过点A作的高线，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 17．（2024北京·期末）如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 考点二 角的平分线的性质 1．（2024北京·期末）如图，在中，，平分交于点，如果，那么点到边的距离为 . 2．（2024北京·期末）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点E，当，的面积为3时，的长为 ． 3．（2024北京·期末）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 ． 4．（2024北京·期末）如图，点D，E，F分别是线段上的点，． (1)猜想与的数量关系，并证明． (2)用画图工具在备用图中作的平分线交于点M，过点A作交的延长线于点N． ①补全备用图； ②若，求的大小． 5．（2024北京北京二中·期末）如图，直线，交于点， (1)过点画的垂线，其中点位于上方，点位于下方； (2)画的平分线； (3)当时，求． 6．（2024北京·期末）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分．    (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（2024北京·期末）下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 8．（2024北京·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 9．（2024北京·期末）在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理． 以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法． 方法1： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）连接； （3）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作射线． 所以射线即为的平分线． 方法2： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）在射线上分别截取，使； （2）分别过点作的垂线，两垂线交于点； （3）作射线． 所以射线即为的平分线． 请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题： (1)请证明方法1中的是的平分线； (2)①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）； ②写出方法2中是的平分线的依据． 参考答案 考点一 全等三角形的判定与性质 1．【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据三角形内角和为求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数即可． 【详解】解：如下图， 由三角形内角和定理得， 由全等三角形的性质可得． 故此题答案为：D． 2．【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：已知三角形的三边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及其夹角确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及一边的对角确定时，可知此时这个三角形是不确定的，故该选项符合题意； 已知直角三角形的斜边和一条直角边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 故此题答案为：． 3．【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、，可根据判定，故A不符合题意； B、平分，可根据判定，故B不符合题意 C、平分，不能判定，故C不符合题意； D、，可根据判定，故D不符合题意． 故此题答案为：C． 4．【答案】B 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：点O为、的中点， ，， 由对顶角相等得， 在和中， ， ， ， 即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度， 故此题答案为：B． 5．【答案】C 【分析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答． 【详解】如图， ∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， ∵BC=EF，AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠1=∠4， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠ACB+∠DEF=90°． 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目． 6．【答案】D 【分析】根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， 故此题答案为． 7．【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了添加条件证明三角形全等，添加，根据题意，由得到，因为可由证明． 【详解】解：添加； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ 8．【答案】140 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出，再证明，推出，即可求解． 【详解】.解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故此题答案为：140． 9．【答案】 【分析】证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴ 10．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，两点之间垂线段最短 【分析】（1）根据平行线的画法作图即可； （2）利用直角三角板一条直角边与重合，沿平移，直到另一直角边过点，画出垂线即可； （3）根据垂线段最短即可判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3），依据：两点之间垂线段最短 11．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【分析】（1）利用直尺平移画平行线即可； （2）先量得的度数，再画出使的射线即可得到的角平分线； （3）利用直尺画出射线即可； （4）利用平行线的性质得到，，结合角平分线的定义可得结论； （5）利用垂直定义得到，再利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求： （2）解：如图，射线和点F即为所求： （3）解：如图，射线和点G即为所求：    （4）解：∵直线，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ （5）解：∵， ∴， ∴ 12．【答案】C；D；证明见详解． 【分析】本题解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合． 【详解】解：C；D；理由如下： 连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴点与点的距离为该花瓶内底的宽． 13．【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明出是解题关键．由平行线的性质可证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 14．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， 即． 15．【答案】证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，过点A作于点，根据“”可证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点A作于点， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 16．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解答此题的关键． （1）根据题意，得到，，从而得到，由此得到证明． （2）根据已知条件，得到，即，又，，从而得到，进而得到，由此得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， 由（1）得：，， ， ， 在和中， ， ， ． 17．【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， (3)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ； ②， 证明：如图，作交的延长线于， ， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： ， 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？ 考点二 角的平分线的性质 1．【答案】4 【分析】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点D作交于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：如图，过点D作交于点E， ， ， ，平分， ， 点到边的距离为4， 故此题答案为：4． 2．【答案】1 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点E作于F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵，的面积为3， ∴， ∴， ∵是边上的高线，的平分线交于点E， ∴， 故此题答案为：1． 3．【答案】20 【分析】此题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作，交延长线于点，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后由四边形的面积求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴四边形的面积 ． 故此题答案为：20． 4．【答案】(1)，证明见解析； (2)①见解析；② 【详解】（1），证明如下： ∵∴，∵，∴，∴. （2）①补全备用图如下： ②∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵的平分线交于点M，∴，∴. 5．【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）利用三角尺过点画即可； （2）利用量角器画即可； （3）由对顶角的性质可得，证明，可得，结合平分，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； ． （2）解：如图，即为所求； ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6．【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）直接运用角平分线的性质定理即可证明结论； （2）先证明可得，即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于点F，平分， ∴； （2）解：∵于点F， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．【答案】(1)补图见解析； (2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【分析】（）根据题意补全图形，即可； （）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等) 8．【答案】证明见详解． 【分析】方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论； 方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论． 【详解】证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F， ∵平分，，，∴， 又∵，∴，∴， ∵点D是中点，∴， ∴，∴， ∴，即， 又∵点D是中点，∴； 方法二：如图，延长至点E，使得，连接， ∵点D是中点，∴， 又∵，，∴， ∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴， 又∵点D是中点，∴． 9．【答案】(1)见解析 (2)①见解析；判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图、角平分线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用“”证明，得出，即可得证； （2）①根据题意，补全图形即可；②根据全等三角形的判定与性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 平分， （2）解：①如图，射线即为所作， ②由作图可得：，， 在和中， ， ， ， 平分 故依据是：判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（二） 全等三角形 考点一 全等三角形的判定与性质 1．（2024北京·期末）右图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据三角形内角和为求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数即可． 【详解】解：如下图， 由三角形内角和定理得， 由全等三角形的性质可得． 故此题答案为：D． 2．（2024北京·期末）根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：已知三角形的三边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及其夹角确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及一边的对角确定时，可知此时这个三角形是不确定的，故该选项符合题意； 已知直角三角形的斜边和一条直角边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 故此题答案为：． 3．（2024北京·期末）如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、，可根据判定，故A不符合题意； B、平分，可根据判定，故B不符合题意 C、平分，不能判定，故C不符合题意； D、，可根据判定，故D不符合题意． 故此题答案为：C． 4．（2024北京·期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ）    A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：点O为、的中点， ，， 由对顶角相等得， 在和中， ， ， ， 即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度， 故此题答案为：B． 5．（2024北京·期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为(　　) A．60° B．75° C．90° D．120° 【答案】C 【分析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答． 【详解】如图， ∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， ∵BC=EF，AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠1=∠4， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠ACB+∠DEF=90°． 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目． 6．（2024北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， 故此题答案为． 7．（2024北京·期末）如图，，要使，则需再添加一个条件是 （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了添加条件证明三角形全等，添加，根据题意，由得到，因为可由证明． 【详解】解：添加； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ 8．（2024北京·期末）如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是 ． 【答案】140 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出，再证明，推出，即可求解． 【详解】.解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故此题答案为：140． 9．（2024北京·期末）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为5，，则的长为 ．    【答案】 【分析】证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴ 10．（2024北京·期末）如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： (1)过点画交于点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，两点之间垂线段最短 【分析】（1）根据平行线的画法作图即可； （2）利用直角三角板一条直角边与重合，沿平移，直到另一直角边过点，画出垂线即可； （3）根据垂线段最短即可判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3），依据：两点之间垂线段最短 11．（2024北京·期末）如图，点B是射线上一点，射线的端点A在直线上，按要求画图并填空：    (1)过点B作直线平行直线； (2)用量角器作的角平分线，交直线于点F； (3)作射线，交直线于点G； (4)若，则______（用含α的式子表示）； (5)请用等式写出的数量关系______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【分析】（1）利用直尺平移画平行线即可； （2）先量得的度数，再画出使的射线即可得到的角平分线； （3）利用直尺画出射线即可； （4）利用平行线的性质得到，，结合角平分线的定义可得结论； （5）利用垂直定义得到，再利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求： （2）解：如图，射线和点F即为所求： （3）解：如图，射线和点G即为所求：    （4）解：∵直线，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ （5）解：∵， ∴， ∴ 12．（2024北京·期末）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条，的中点连在一起（即，），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论． 【答案】C；D；证明见详解． 【分析】本题解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合． 【详解】解：C；D；理由如下： 连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴点与点的距离为该花瓶内底的宽． 13．（2024北京·期末）如图，在和中，点A、C、E在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明出是解题关键．由平行线的性质可证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 14．（2024北京·期末）如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， 即． 15．（2024北京·期末）我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给添加一个条件：如图，，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，过点A作于点，根据“”可证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点A作于点， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 16．（2024北京·期末）已知：如图，，，，连接，，，过点作于点．过点A作的高线，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解答此题的关键． （1）根据题意，得到，，从而得到，由此得到证明． （2）根据已知条件，得到，即，又，，从而得到，进而得到，由此得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， 由（1）得：，， ， ， 在和中， ， ， ． 17．（2024北京·期末）如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， (3)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ； ②， 证明：如图，作交的延长线于， ， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： ， 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？ 考点二 角的平分线的性质 1．（2024北京·期末）如图，在中，，平分交于点，如果，那么点到边的距离为 . 【答案】4 【分析】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点D作交于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：如图，过点D作交于点E， ， ， ，平分， ， 点到边的距离为4， 故此题答案为：4． 2．（2024北京·期末）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点E，当，的面积为3时，的长为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点E作于F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵，的面积为3， ∴， ∴， ∵是边上的高线，的平分线交于点E， ∴， 故此题答案为：1． 3．（2024北京·期末）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】此题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作，交延长线于点，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后由四边形的面积求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴四边形的面积 ． 故此题答案为：20． 4．（2024北京·期末）如图，点D，E，F分别是线段上的点，． (1)猜想与的数量关系，并证明． (2)用画图工具在备用图中作的平分线交于点M，过点A作交的延长线于点N． ①补全备用图； ②若，求的大小． 【答案】(1)，证明见解析； (2)①见解析；② 【详解】（1），证明如下： ∵∴，∵，∴，∴. （2）①补全备用图如下： ②∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵的平分线交于点M，∴，∴. 5．（2024北京北京二中·期末）如图，直线，交于点， (1)过点画的垂线，其中点位于上方，点位于下方； (2)画的平分线； (3)当时，求． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）利用三角尺过点画即可； （2）利用量角器画即可； （3）由对顶角的性质可得，证明，可得，结合平分，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； ． （2）解：如图，即为所求； ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6．（2024北京·期末）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）直接运用角平分线的性质定理即可证明结论； （2）先证明可得，即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于点F，平分， ∴； （2）解：∵于点F， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2024北京·期末）下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 【答案】(1)补图见解析； (2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【分析】（）根据题意补全图形，即可； （）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等) 8．（2024北京·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 【答案】证明见详解． 【分析】方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论； 方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论． 【详解】证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F， ∵平分，，，∴， 又∵，∴，∴， ∵点D是中点，∴， ∴，∴， ∴，即， 又∵点D是中点，∴； 方法二：如图，延长至点E，使得，连接， ∵点D是中点，∴， 又∵，，∴， ∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴， 又∵点D是中点，∴． 9．（2024北京·期末）在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理． 以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法． 方法1： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）连接； （3）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作射线． 所以射线即为的平分线． 方法2： 已知：． 求作：射线，使它平分． 作法：如图， （1）在射线上分别截取，使； （2）分别过点作的垂线，两垂线交于点； （3）作射线． 所以射线即为的平分线． 请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题： (1)请证明方法1中的是的平分线； (2)①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）； ②写出方法2中是的平分线的依据． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图、角平分线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用“”证明，得出，即可得证； （2）①根据题意，补全图形即可；②根据全等三角形的判定与性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 平分， （2）解：①如图，射线即为所作， ②由作图可得：，， 在和中， ， ， ， 平分 故依据是：判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$