北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

北师大实验中学2024－2025学年度第一学期12月月考试卷 高二数学 2024年12月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知表示圆，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 3. 从本不同的书中选出本分配给位同学，每人一本，则分配方案总数为（ ） A. B. C. D. 4. 平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 刍甍（chúméng）是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍（如图），底面为矩形，且，平面和为全等的正三角形，，则平面和底面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，、各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证与的长度不变，当、各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆．已知，且在椭圆的右顶点时，恰好在点，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若椭圆与双曲线有相同的焦点是两曲线的一个交点，则的面积是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 10. 已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知空间向量，若，则__________． 12. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 13. 直线：被圆：截得的弦长最短，则实数______. 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 15. 已知曲线过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，给出下列四个结论： ①曲线关于对称； ②若点在曲线上，则其方程为； ③对于任意，曲线围成的图形的面积一定小于； ④存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程． 16. 有四个数字， （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ （3）若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 17. 已知点是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，是线段的中点． （1）当时，求与的坐标． （2）为坐标原点，记直线的斜率为，若，求直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知过点，直线． （1）求的方程； （2）已知与关于直线对称，求直线被截得的弦长； （3）若是直线上的动点，为上的动点，为坐标原点，直接写出的最小值． 20. 已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． （1）当直线与轴垂直时，求； （2）在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 21. 已知椭圆过点，且离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知、是椭圆的左、右焦点，是第一象限内椭圆上的一点，分别连接并延长交椭圆于点分别表示和的面积，求的最大值． 北师大实验中学2024－2025学年度第一学期12月月考试卷 高二数学 2024年12月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】（或，答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）192 （2）10 （3）2130 【17题答案】 【答案】（1），中点 （2） 【18题答案】 【答案】（1）在菱形中，连接，得等边， 因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以． 因为平面平面，且， 所以平面． （2） （3）存在满足条件的点，，理由如下： 设， 则， 若平面，则， 解得，故存在满足条件的点，且． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2）存在，， 【21题答案】 【答案】（1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $