3.大单元进阶练3 函数的实际应用-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本优质课件PPT（练册）

数学 1 第三章 函 数 大单元进阶练3 函数的实际应用（必考） 2 一阶 分类提能力 类型1 利润最值问题 一次函数最值问题的特点：1.商品单价是确定的；2.利润为销量的 一次函数；3.由于一次函数本身并无最值，所以题目中一定会出现“超 过”“不足”“不超过”“不低于”等关键词来限定自变量的取值范 围；4.确定最值时需先利用不等式确定自变量的取值范围，再利用一次 函数增减性确定函数最值； 二次函数最值问题的特点：1.商品单价是不确定的；2.通常商品销 量是单价的一次函数，则利润为单价的二次函数；3.通常不涉及限定自 变量取值范围的关键词；4.通常可直接利用二次函数性质，即自变量取 值为 时，函数取得最值；5.若有条件限定自变量取值范围时，需确 定 是否在范围内，再利用二次函数增减性确定最值. . . . . . . 3 1.[2024眉山]眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业蓬 勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用 780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品 进价多15元. （1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？ 解：设A款文创产品每件的进价是 元，则B款文创产品每件的进价是 元，根据题意得，，解得 ， 经检验， 是原分式方程的解且符合题意， . 答：A款文创产品每件的进价是80元，B款文创产品每件的进价是65元. 4 （2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元， 根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产 品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最 大利润是多少元？ 解：设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品 件，利 润为 元， 根据题意得 ， ，随 的增大而增大， 由题意得，解得 ， 当时，利润最大， . 答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获 得的利润最大，最大利润是1 800元. 5 2.[2024遵义红花岗区一模改编]为了更好地体验生活，完成好假期实践活 动，小琪想售卖过年灯笼，每个灯笼的成本价为10元，每周销售量 （个） 与销售单价 （元）之间的函数关系如图所示. 第2题图 （1）当销售单价定为17元时，求每周的销售数量； 解：设 . 经过点， ， 解得 .当时， . 答：当销售单价定为17元时，每周的销售数量是4个； 6 第2题图 （2）当销售单价为多少时，每周利润达到最大值，最大 值是多少？ 解：设利润为 元，根据题意得 . ， 二次函数的图象开口向下， 时， （元）. 答：当销售单价为14元时，每周利润达到最大值，最大值 是64元； 7 第2题图 （3）若某周灯笼价格出现浮动，但始终满足 ， 求这周利润的范围. 解：，且 ， 由（2）知，这周利润最大值为64元； ， 元时，本周利润有最小值，此时 ， 这周的利润范围为48元至64元. 8 3.[2024滨州]春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本 为2 000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价 （单位：元/张）之间满足一次函数关系，且是整数 ，部分 数据如下表所示： 电影票售价 （元/张） 40 50 售出电影票数量 （张） 164 124 （1）请求出与 之间的函数关系式； 解：设与之间的函数关系式是 ， 由表格可得，解得 即与之间的函数关系式是，且是整数 ； 9 （2）设该影院每天的利润（利润票房收入-运营成本）为 （单位：元），求与 之间的函数关系式； 解：由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是 ，且 是整数 ； 10 （3）该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 解：由（2）知， ， ，且 是整数， 当或41时，取得最大值，此时 ， 答：该影院将电影票售价 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润 是4 560元. 11 类型2 抛物线型问题 第4题图 4.名师原创目前各地景观中，音乐喷泉必不 可少，随着音乐的舒缓激昂，喷嘴中喷出 的喷泉呈抛物线形同步喷射而出，搭配灯 光效果蔚为壮丽.如图①是某酒店广场建立 的一个音乐喷泉，东南西北四个方向各设 置了一个喷嘴，将其中一对相对的喷嘴喷泉截面抽象到平面直角坐标系中， 12 如图②所示，点，为喷嘴，距地面均为1米，， 均为蓄水盘，直 径分别为2米，4米. 喷泉功率最小时，最高点刚好喷射入， 处，功率最 大时，最高点刚好可以喷射入，处.已知 米，轴， ， 分别是线段，的中点， ，图中右侧抛物线的关系式 为 （忽略的取值范围），左右抛物线关于 轴对称.功率 最小时，右侧抛物线的关系式为 . 第4题图② （1）功率最小时，左侧抛物线的关系式 为____________________， 距离地面 的高度为___米； 4 （2）经过调整，平时关闭音乐时，喷泉保持恒定的抛物线喷射，且为了 达到较为美观的视觉效果，使得抛物线喷射水柱落在点 处，求此时左、 右两侧抛物线的关系式，并在图中画出草图； 第4题图② 第4题解图 解：由题意知点，点 ，分别代入 ， 得解得 此时右侧抛物线的关系式为 ， 由对称性可得左侧抛物线的关系式为 . 画出草图如解图； 14 （3）经过观察，当喷射水柱落在中央的挡水 柱上（即 ）时，配合灯光的观赏性更强， 请直接写出此时 的取值范围. 解： . 【解法提示】由（2）知当抛物线经过点时，；当抛物线经过点 时，将，分别代入 ，得 解得，的取值范围为 . （提示：水柱不能到达点下方的一小段上，会落在 的蓄水盘中） 第4题图② 15 5.[2024安顺西秀区二模]如图，某跳水运动员进 行10米跳台跳水训练，水面边缘点 ， 运动员（可视为一质点）在空中运动的路线是经 过原点 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动 员在空中最高处点 ，正常情况下，运动 员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打 开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误.运动 员入水后，运动路线为另一条抛物线. 第5题图 16 （1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； 解：由题意得，抛物线的顶点为 ， 可设抛物线的解析式为 ， 把代入解析式得 ， . 抛物线的解析式为 . 第5题图 17 （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，入水点恰好距点 的水平距离为 5米，问该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由； 第5题图 解：该运动员此次跳水失误了，理由如下： 由题意得，当距点 水平距离为5时， 对应的横坐标为 . 将 代入解析式， 得 ， ， 该运动员此次跳水失误了； 18 第5题图 （3）在该运动员入水点的正前方有， 两点， 且米， 米，该运动员入水后 运动路线对应的抛物线解析式为 ，且顶点 距水面4米.若该运动 员的出水点在之间（含，两点），求 的取值范围. 19 解：米，米，点 的坐标为 ， 点，的坐标分别为， . 令，则 ， 解得（舍去）， ， 入水点的坐标为 . 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 ，且顶点 距水面4千米， 第5题图 当抛物线过点时， ， 把代入，得 ， 同理，当抛物线过点时， ， 由点在之间得的取值范围为 . 20 第6题图 6.名师原创如图①，为某古代石桥，该石桥有17个大小相同的桥洞，桥面 平直，其中三个桥洞图案如图②所示. 每个桥洞均可抽象成抛物线形状， 其最大高度为，宽度为 .将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方 向为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系， . 21 第6题图② （1）求 这条抛物线的函数关系式； 解：设 ， 由题意得顶点坐标为 ， ， 又 函数图象经过点 ， ，解得 ， ； 22 （2）若一艘高于水平面 的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部 最宽处两侧距桥洞的水平距离均不能小于，设它顶部最宽处长为 ， 则 应满足何条件小船才能顺利通过？ 第6题图② 解：当时， ， 解得， ； 则桥洞高于水面处的宽度为 ， 小船顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不能小于 ， 它顶部最宽处 ， 答：小船要通过桥洞，则它顶部最宽应不大于 ； 23 （3）将图②中三个桥洞所在的抛物线向右平 移 个单位长度，平移后的图象在 时，最大值不超过3，结合函数图象， 直接写出 的取值范围. 解：或 . 第6题图② 第6题解图 【解法提示】如解图，点， 的坐标分别为 ，，在点， 之间， 设直线与函数图象的交点为，， ，由（2）知，平移前它们的坐 标为 ，， ， ， 在向右平移过程中，当仅有图象段或 段的整体或 部分在 内时，该函数图象的最大值不超过3， 24 当平移原图象上点 并使其横坐标为11时， 图象平移了 个单位， 当平移原图象上点 并使其横坐标为9时， 图象平移了 个单位， 当平移原图象上点 并使其横坐标为11时， 图象平移了 个单位， 当平移原图象上点 并使其横坐标为11时，图象平移了11个单位， 第6题解图 即当 或 时，平移后的图象在 时，最大值不超过3. 二阶 综合与实践 7.[2024广州]一个人的脚印信息 往往对应着这个人某些方面的基 本特征.某数学兴趣小组收集了大 量不同人群的身高和脚长数据， 通过对数据的整理和分析，发现 身高和脚长 之间近似存在一个 函数关系，部分数据如表： 脚长 … 23 24 25 26 27 28 … 身高 … 156 163 170 177 184 191 … 第7题图 26 （1）在图①中描出表中数据对应的点 ； 解：描点如解图； 第7题解图 27 （2）根据表中数据，从和 中选择一个函 数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解 析式（不要求写出 的取值范围）； 解: 转化为 , 与的函数不可能是 ，故选一次函数 ， 将点， 代入解析式得 解得 这个一次函数的解析式为 ； 28 （3）如图②，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为 ，请根据（2） 中求出的函数解析式，估计这个人的身高. 解：当时， . 答：估计这个人的身高为 . 29 8.综合与实践 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间 的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形 和图 形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形 之间 的距离.例如，如图①，，线段的长度称为点与直线 之间的 距离，当时，线段的长度也是与 之间的距离. 第8题图 30 【应用】 （1）如图②，在等腰中，，， 点为 边上一点，过点作交于点.若 ，，则与 之间的距离是____； 第8题解图① 【解法提示】如解图①，过点作于点 ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ； 第8题图② 31 （2）如图③，已知直线与双曲线 交于，两点，点与点之间 的距离是_____，点与双曲线 之间的离是____； 第8题图② 【解法提示】把代入 中，得 ，，把代入 ，得 ，， 双曲线的解析式为 ，联立 得，即 ，解得 ,,, ; 32 如解图②，作，交轴于点,交轴于点,且 与双曲线有一个交点连接，设直线的解析式为 ,则整理,得 , ， 或 （不符合题意，舍去）， 直线 的解析式为 ，由，解得 ， ，，，即点 与 双曲线之间的距离是 ； 第8题解图② 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外沿到高速路的距离不超过 时，需要在高 速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图④）.有一条“东南-西北” 走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外沿呈双曲线的形状，它们之间 的距离小于 .现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图⑤所 示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为 ，小区外 沿所在双曲线的函数表达式为 ，那么需要在高速路旁修 建隔音屏障的长度是多少？ 34 第8题解图③ 解：如解图③，作直线交轴于点 ，交 于、两点，作，，垂足为、 两点，作，垂足为，当 时，隔音 屏障的长度为 的长. ,, , , ，即 ， 由与联立得 ，解得或 ， ， ， 则 ， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米. 35 9.[2024盐城]请根据以下素材，完成探究任务. 制定加工方案 生产 背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有 “风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服 装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总 件数和“风”服装相等. 36 生产 背景 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的 获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如 果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元. 信息整理 现安排名工人加工“雅”服装， 名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 37 探究任务 任务1 探寻变量关系 求、 之间的数量关系. 解：根据题意知安排70名工人加工一批夏季服装， 安排名工人加工“雅”服装， 名工人加工“风”服装， 加工“正”服装的有 人， “正”服装总件数和“风”服装相等， ， 整理得 ； 38 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于 的函数表达式. 解：根据题意得，“雅”服装每天获利为 ， ， 整理得 ， ； 39 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案. 解：由任务2得 ， , 当 时，获得最大总利润，此时 ， 为整数， ，关于 的函数图象开口向下， 取或 ， 当时， ，不符合题意；当时， ，符合题意， ， 综上，安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加 工“正”服装，即可获得最大总利润. 40 $$