3.10 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·基础夯实练优质课件PPT（讲册）

数学 1 第三章 函 数 命题点10 二次函数的图象与性质 （必考） 2 要点归纳 要点1 二次函数的图象与性质（图象 抛物线） 概念 形如,,为常数且 的函数叫作 的二次函数 三种表达式 一般式 顶点式 交点式 . . 3 大 致 图 象 开 口向上 ______________________________ ________________________________ ________________________________ 开 口向下 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 4 对称轴 直线 ①_ ____ 直线 ②___ 直线 ③_ _____ 顶点坐标 ④_ _____________ ⑤______ — ， 5 最值 时， 有最 小值⑥_ ______ 时， 有 最小值⑦___ 时， 有最 ⑧____值 时， 有最 大值⑨_ ______ 时， 有 最大值⑩___ 时， 有最 ⑪____值 小 大 6 增减 性 在对称轴左侧时，随 增大而⑫______； 在对称轴右侧时，随 增大而⑬______ 在对称轴左侧时，随 增大而⑭______； 在对称轴右侧时，随 增大而⑮______ 减小 增大 增大 减小 注：特别地，若已知二次函数的表达式为 ，则二次函数图象 必过原点；反之，若已知二次函数 的图象过原点，则必 有 . 7 要点2 对称轴的理解与应用 （1）求对称轴 例1 抛物线过和 两点，则此抛物线的 对称轴为（⑯___） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 √ 方法指导 如图1，若抛物线上两点的纵坐标相等， 横坐标不相等 ，则对称轴为直线 . 图1 8 （2）判断函数类型：给出几组自变量与函数值 的对应值，若有下表的 特征，则该函数为二次函数； 【获取信息】由表可得，该二次函数的图象性质： ①开口⑰______，对称轴为直线⑱______，顶点坐标为⑲________； ②当时，随的增大而 ⑳______，当时，随 的增大而㉑ ______；函数有最㉒____值，为㉓____； ③该二次函数的图象与 轴的交点有㉔___个，坐标为㉕_______________， 与 轴的交点坐标为㉖________. 向上 减小 增大 小 2 ， 9 方法指导 ①已知对称轴为直线, 与轴的一个交点为, 则与 轴的另 一个交点坐标为㉚___________;②若已知抛物线上任意一点的坐标为 , 对称轴为直线,则点 关于对称轴对称的点的坐标为㉛______________. 例2变式题图 变式 如图，抛物线 的对称轴 为直线，抛物线与直线交于点 ，根据图象 可知抛物线的对称轴为㉘__________，点 关于对称轴 对称的点 的坐标为㉙_______. 直线 （3）利用对称轴求点坐标 例2 已知抛物线与轴的一个交点的坐标为 ，则此抛 物线与 轴的另一个交点的坐标为㉗______ . 10 （4）利用对称轴比较函数值大小 例3 多解法 若二次函数的图象过 ， ，，则 的大小关系是（㉜___） A. B. C. D. √ 11 方法指导 解法1：代入法.若二次函数表达式已知，将点的横坐标代入，求 出对应的纵坐标直接比较； 解法2：异侧转同侧结合增性比较.需求出点关于对称轴对称的点的横坐标， 然后利用同侧的增减性比较，如图2，3; 图2 图3 12 解法3：距离法.先定开口方向，再算“距离”，开口向上，距离对称轴越远 的值越大，开口向下，距离对称轴越远的值越小.如图4，因为抛物线开口 向上，点 到抛物线对称轴直线 的距离的大小关系为 （用含 的代数式分别表示距离），所以的 大小关系是㉝____㉞____ ㉟____. 图4 13 （5）利用对称轴求自变量取值范围内函数最值（涉及分类讨论） 例4 已知二次函数，当 时，该二次函数的最 大值为㊱___． 1 14 图5 思维点拨如图5，通过对称轴在所给区间左侧、内部、 右侧三种情况分类讨论,求出符合条件的 的值. ①当 时，有㊲________________，解得㊳______； ②当时， 的最大值为㊴___， 【答案】㊷___ 0 B 不符合题意； ③当 时，有㊵________________，解得㊶_______. 变式 已知二次函数，当自变量 的值满足 时，与其对应的函数值的最大值为，则 的值为（ ） A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 15 方法指导 已知二次函数图象的对称轴为直线 ，且函数 图象经过点和，根据下列二次函数图象，当 时，函数 的最大值与最小值如下: 图象 ______________________________ _______________________________ _______________________________ ____________________________ 最大值 最小值 16 图象 _____________________________________ ______________________________________ _____________________________________ _____________________________________ 最大值 最小值 注：①当对称轴在自变量取值范围左侧或右侧时，函数在所给自变量取值 范围端点处取得最大值与最小值； ②当对称轴在自变量取值范围内时，函数在顶点处取得一个最值，在所给 自变量取值范围距对称轴较远处一端点取得另一个最值. 温馨提示:更多二次函数增减性与区间最值问题见《专项培优练》P36 17 要点3 二次函数图象与，， 的关系 决定抛物线的开口方 向， 决定开口大小 ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下 、 决定抛物线对称轴的位 置（对称轴为直线 ） ，对称轴为㊸_____； ，对称轴在 轴㊹____侧； ，对称轴在 轴㊺____侧 决定抛物线与 轴交点的 位置 ，抛物线过原点； ，抛物线与 轴交于正半轴； ，抛物线与 轴交于负半轴 轴 左 右 18 决定抛物线与 轴的交点个数 时，与 轴有唯一的交点（顶点）； 时，与 轴有㊻______交点； 时，与 轴没有交点 特殊 关系 （1）先把含、、 的项移到等式（或不等式）的一边； （2）看到，比较和1的大小；看到，比较 与 的大小； （3）看到，令，看的值；看到 ，令 ，看 的值； （4）看到，令，看的值；看到 ，令 ，看 的值 两个 19 随堂练习 1.根据表格填空： 表达式 顶点式： 交点式： 一般式： 由表达式直 接得到的信 息 ①顶点坐标为 ______； ②对称轴为直线 ______； ③有最____值为___ ①与 轴交点 坐标为_____________； ②对称轴为直 线 ______ ①与 轴交点坐标为 _________； ②对称轴为直线______ 大 4 和 20 表达式 顶点式： 交点式： 一般式： 最值 ___时， ____ ___时， ____ ______时， ________ 与坐标轴交 点坐标 与 轴交点坐标为 ___ _________________ ___；与 轴交点坐标为______ 与 轴交点坐 标为______ 与 轴交点坐标为____ ___________________ ____________ 2 和 1 4 和 21 表达式 顶点式： 交点式： 一般式： 画出示意图 _____________________________________________ ________________________________ ___________________________________________________ 22 第2题图 2.已知二次函数 图象的对称轴为直 线，与轴的一个交点的坐标为 ，其部分图象 如图所示，下列结论中正确的是____________（填序号）. ①③④⑦⑨ ； ②； ③ ； ④； ⑤; ⑥ ; ⑦一元二次方程的两个根是 ， ； ⑧当时， ； ⑨当时，随 的增大而增大； ⑩若点,是函数图象上的两点，则 . 23 温馨提示：请完成《分层作业本》P36-37习题 24 $$