5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一） ——周期性与奇偶性 年 级：高一 学 科：数学（人教A版） 主讲人：王晓庆 学 校：榆次区第四中学 学习目标 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期． 3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性． 生活处处有数学：尤其在航空航天领域，三角函数的运用是至关重要的。 在科技潮流中，三角函数以其独特的数学魅力，成为航天事业的得力助手。从轨道的精准计算、高度与角度的实时测量、预测星体位置、甚至指导着火箭的精确飞行，三角函数的应用无处不在。 思政元素 复习 2.类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 提出问题 定义域、值域、单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别重要的． 1.函数性质的研究思路： 绘制函数图象—观察图象、发现性质—证明性质 3.生活中，有很多“周而复始”的现象，你能举出几个例子吗？ 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式（k∈Z）中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律． 性质探究 一般地，设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有那么函数就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 1.周期性 概念解析 思考：0可以做周期吗？is 思考： 若sin( 60°＋60°)＝sin 60°，则60°为正弦函数y＝sin x的一个周期吗？ 思考： 函数y＝sin x，[-4π，4π]是一个周期函数吗？ 根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π． 概念解析 周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且 ≠０，常数都是它的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 温馨提示：如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期． 温馨提示：并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期． 典例解析 函数y＝Asin(ωx＋φ) 及 函数y＝Acos(ωx＋φ) (A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0) 的周期为 探究与发现 归纳总结 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点中心对称，余弦曲线关于y轴对称. 这个事实，也可由诱导公式=；cos(-x)=得到 . 所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 2.奇偶性 简化研究过程 可以先在它的一个周期上研究函数的性质，再利用周期性将这一性质扩展到整个定义域。 思考： 知道一个函数具有周期性和奇偶性 ，对研究它的图象与性质有什么帮助? 证明函数y=的奇偶性 × × √ 达标检测 达标检测 √ 达标检测 √ 课堂小结 例2 求下列函数的周期： (1)； (2)； (3) 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|). (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin( ＋ )＝sin ，则 为正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　) (2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　) (3)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　) 2.函数f(x)＝eq \r(2)sin 2x的奇偶性为 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 3.函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为(　　) A.eq \f(π,2)　　　　　　　　 B．π C．2π D．4π 解析：f(x)定义域为R，关于原点对称， ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))＝－cos eq \f(3,4)x， ∴f(－x)＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)x))＝－cos eq \f(3,4)x=f(x)， ∴函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))为偶函数. 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 $$