精品解析：江苏省常州市西夏墅高级中学2024-2025学年高三上学期11月学情调研测试数学试题

常州市西夏墅高中2024—2025学年度第一学期学情调研 高三数学阶段调研测试 2024.11 本试卷共19大题 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若中只有1个元素，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求集合，再根据题意确定的取值范围. 【详解】，得，且，所以， 因为，且中只有1个元素， 所以. 故选：B 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简，然后由复数的几何意义可得. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点在第二象限． 故选：B． 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据结合正弦函数的性质求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】在中，， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 11 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由定比数列的项之间的性质求出的值，再用等比中项知道，从而计算出结果. 【详解】∵，∴，∴ ∴ 故选：C 5. 函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以. 故选：C 6. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 7. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得. 【详解】由，得且函数关于点对称． 由对任意，，均有， 可知函数在上单调递增． 又因为函数的定义域为R， 所以函数在R上单调递增． 因为a，b为关于x的方程的两个解， 所以，解得， 且，即． 又， 令，则， 则由，得， 所以． 综上，t 的取值范围是. 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（    ） A. 某组数据的经验回归方程一定过点 B. 数据，，，，，，19，的分位数是 C. 甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18 D. 若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据经验回归方程必过样本中心点即可判断A；根据百分位数的定义即可判断B；根据分层抽样的性质即可判断C；根据方差的性质即可判断D. 【详解】对于A，经验回归方程必过样本中心点，故A正确； 对于B，将数据按从小到大的顺序排列为， 因为， 所以分位数是，故B错误； 对于C，由题意，各层人数分别为， 所以样本容量为18，故C正确； 对于D，若一组数据的方差为16， 则另一组数据的方差为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，得，由正弦定理得和余弦定理化简得，即可判断A；将代入化简成，由基本不等式可得它的最小值，即可判断B；由正弦定理边化角可得，再由的范围可得的范围，即可判断C；由正弦定理求出，再由余弦定理可得，即可判断D. 【详解】由，得， 由正弦定理得，由余弦定理得， 则，当时，，即， 当时，，又，所以， 所以，所以， 所以，故选项A错误； 由，则，当且仅当时，故选项B正确； 在中，，由正弦定理，， 若为锐角三角形，又，则，故， 所以，所以，则， 所以，故选项C正确； 在中，由正弦定理，又，，， 得，则 由余弦定理，， 得， 整理得，解得，或， 当时，有，又，所以， 因为，则不成立，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论，其中所有正确结论的是（ ） A. 的第2项小于3 B. 为递减数列 C. 为等比数列 D. 中存在小于的项 【答案】ABD 【解析】 【分析】推导出，求出，的值，进而即可判断A；利用数列单调性的定义即可判断B；利用反证法即可判断C，D． 【详解】对于A，由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由，则，两式作差可得， 所以，则，整理可得， 又，解得，故A正确； 对于B，结合选项A知，当时，， 可得，所以数列为递减数列，故B正确； 对于C，假设数列为等比数列，设其公比为， 则，即，则，可得，解得，不合乎题意， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，假设对，都有，则， 所以，与假设矛盾，即假设不成立，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题在推断选项C，D的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】30 【解析】 【分析】分只有同学A到甲学校、除同学A外还有一名同学去甲学校两种情况即可. 【详解】若只有同学A到甲学校，则有种可能， 若除同学A外还有一名同学去甲学校，则有种可能， 故共有种可能. 故答案为：30. 13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得. 【详解】记与交于点O，， 由题知，①， 在中，由余弦定理有②， 联立①②解得， 所以， 因为，所以. 所以， 以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以. 故答案为： 14. 定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数对称中心定义判断函数对称中心，再应用对称中心性质分组求和计算即可. 【详解】关于对称，则 ∴，则关于对称， ， ∴，则． 故答案为：；． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 16. 已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且． （1）分别求数列和数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）应用等比数列通项公式建立方程组可解出，利用待定系数法可求出； （2）应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出. 【小问1详解】 解：设等比数列的公比为q，且有， 由于解得 所以数列的通项公式为． 由于是等差数列，设， 则有， 所以,解得 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 所以 ． 17. 如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°． （1）证明：平面； （2）若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由． 【答案】（1）证明：取中点，连结， ∵△为正三角形，∴， ∵侧面底面, 平面，平面平面， ∴面， ∵与平面所成角为45°， ∴即为与平面所成角，即°， ∵ ∴，∴即， ∵侧面底面，平面，平面平面， ∴平面. （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法的二面角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得、且， 连接，则由题，所以，， 所以两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ∴，，,， 设平面法向量，平面法向量， 则，即，令，解得，即， ，即，令，解得，即， ∴， 即，解得或， ∴存在或使得平面与平面夹角余弦为. 18. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线； （2）若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，可得切点处的斜率，即可由点斜式求解直线方程， （2）将不等式变形为，构造函数，利用单调性与导数之间的关系，分离参数即可求解，或者利用分类讨论，求解导函数的正负求解. 【小问1详解】 ， 当时，，， 故切线方程为：，即； 【小问2详解】 法一：不妨设，则， 同除以得， 所以在单调递增， 所以， ①若，恒成立，符合题意； ②若，则恒成立， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以； ③若，同理，恒成立， 由②可知，当时，， 所以不存在满足条件的， 综上所述，. 法二：， 令， 则只需在单调递增，即恒成立， ， 令，则恒成立， 又， ①当时，，在单调递增成立； ②当时，，在单调递增， 又当时，，故不恒成立，不满足题意； ③当时，由得， 则在单调递减，在单调递增， 因为恒成立，所以， 解得，故； 综上，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值; （2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数; （3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】（1）62 （2）182 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率直方图平均数的计算公式求解即可； （2）由分析知，则，由原则求解即可； （3）由题意可得出，对求导，得到函数的单调性和最值，即可求出答案. 【小问1详解】 设样本平均数的估计值为 则． 解得．所以样本平均数的估计值为62． 【小问2详解】 因为学生的初试成绩近似服从正态分布，其中． 所以．所以． 所以估计能参加复试的人数为． 【小问3详解】 由该学生获一等奖的概率为可知：． 则． 令．． 当时，;当时，． 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以．所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市西夏墅高中2024—2025学年度第一学期学情调研 高三数学阶段调研测试 2024.11 本试卷共19大题 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若中只有1个元素，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 11 D. 9 5. 函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 7. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（    ） A. 某组数据的经验回归方程一定过点 B. 数据，，，，，，19，的分位数是 C. 甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18 D. 若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4 10. 已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，则 11. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论，其中所有正确结论的是（ ） A. 的第2项小于3 B. 为递减数列 C. 为等比数列 D. 中存在小于的项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有__________种. 13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________. 14. 定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且． （1）分别求数列和数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和． 17. 如图，三棱柱中，侧面底面，△是边长为的正三角形，，与平面所成角为45°． （1）证明：平面； （2）若点为中点，点为棱上一点，且满足，是否存在使得平面与平面夹角余弦为，若存在求出值，存不存在请说明理由． 18. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线； （2）若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围. 19. 某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值; （2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数; （3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 附：若随机变量服从正态分布，则， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $