内蒙古鄂尔多斯市三校联考2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市三校联考九年级（上）第一次月考数学试卷 一、单项选择题（30分） 1．（3分）下列函数关系中，不属于二次函数的是（　　） A．y＝1﹣x2 B．y＝（3x+2）（﹣2x﹣3）+6x2 C．y＝ax2+bx+c（a≠0） D．y＝（x﹣2）2+2 2．（3分）用配方法解3x2﹣6x＝6配方得（　　） A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣3）2＝3 D．（x﹣4）2＝3 3．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解．则m的值是（　　） A．6 B．5 C．2 D．﹣6 4．（3分）若抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2020的值为（　　） A．2019 B．2021 C．2020 D．2022 5．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）要得到二次函数y＝﹣x2+2x﹣2的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 7．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．12 8．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＜0；②一次函数y＝x+bc的图象不过第四象限；③b+2a＜0；④方程ax2+bx+c＝0两根之和小于0；⑤b2＜4ac，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（18分） 11．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是　 　． 12．（3分）某公司举行年会晚宴，出席者两两碰杯一次，总共碰杯19900次，设晚宴共有x人参加，根据题意，可列方程　 　． 13．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a²﹣b²，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 　 　． 14．（3分）已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）²+3的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是 　 　（用小于号连接）． 15．（3分）关于二次函数y＝3x²+1和y＝3（x﹣1）²，以下说法：①它们的开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是（0，1）；③当x＞2时，它们的函数值都是y随x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点，其中正确的有 　 　．（填序号） 16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　 　． 三、解答题（72分） 17．（8分）解方程： （1）（x﹣1）2＝6x+6； （2）3x2﹣． 18．（9分）如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形面积为8． （1）求此抛物线的解析式； （2）求当﹣1≤x≤3时，y的取值范围； （3）直接写出当y＞3时，x的取值范围． 19．（7分）阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到　 　的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 20．（7分）水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　 　斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 21．（8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝xm． （1）若矩形花园ABCD的面积为168m²，求x的值； （2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD、AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1.5为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD的面积S的最大值． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2． （1）y与x之间的函数关系式； （2）求自变量x的取值范围； （3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 23．（11分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线的形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离为5m． （1）经过同学们的讨论，共提出下图三种方案，请你结合所给方案中的一种建立适当的平面直角坐标系（如图），求出抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度； （3）现在有一艘货船载有一长方体集货物后高3.8m，宽5m从桥下通过，该船是否能安全通过？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值； （3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由． 2020-2021学年内蒙古鄂尔多斯市三校联考九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（30分） 1．（3分）下列函数关系中，不属于二次函数的是（　　） A．y＝1﹣x2 B．y＝（3x+2）（﹣2x﹣3）+6x2 C．y＝ax2+bx+c（a≠0） D．y＝（x﹣2）2+2 【分析】先把选项B中的函数化简得到y＝﹣13x﹣6，然后根据二次函数的定义分别进行判断即可． 【解答】解：y＝1﹣x2是二次函数； y＝（3x+2）（﹣2x﹣3）+6x2＝﹣6x2﹣9x﹣4x﹣6+6x2＝﹣13x﹣6，它是一次函数，不是二次函数； y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数； y＝（x﹣2）2+2是二次函数． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2．（3分）用配方法解3x2﹣6x＝6配方得（　　） A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣3）2＝3 D．（x﹣4）2＝3 【分析】根据配方法的一般步骤，可得答案． 【解答】解：系数化为1，得 x2﹣2x＝2， 配方，得 （x﹣1）2＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了配方法，配方是解题关键． 3．（3分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解．则m的值是（　　） A．6 B．5 C．2 D．﹣6 【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程得：4﹣2m+8＝0， 解得m＝6． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握． 4．（3分）若抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2020的值为（　　） A．2019 B．2021 C．2020 D．2022 【分析】根据抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），可以求得m2﹣m的值，然后代入所求式子即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0）， ∴m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1， ∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021， 故选：B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、代数式求值，解答本题的关键是求出m2﹣m的值． 5．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）． 【解答】解：A．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误； B．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误； C．由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误； D．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 6．（3分）要得到二次函数y＝﹣x2+2x﹣2的图象，需将y＝﹣x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【分析】只需看顶点坐标是如何平移得到的即可． 【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， ∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线． 故选：D． 【点评】考查两个二次函数的图象的平移问题． 7．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．12 【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0 （x﹣4）（x﹣2）＝0 ∴x1＝4，x2＝2， 由三角形的三边关系可得： 腰长是4，底边是2， 所以周长是：4+4+2＝10． 故选：B． 【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长． 8．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5＝0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围． 【解答】解：分类讨论： ①当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根； ②当a﹣5≠0即a≠5时， ∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根 ∴16+4（a﹣5）≥0， ∴a≥1． ∴a的取值范围为a≥1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＜0；②一次函数y＝x+bc的图象不过第四象限；③b+2a＜0；④方程ax2+bx+c＝0两根之和小于0；⑤b2＜4ac，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，以及二次函数与一次函数的性质分别进行分即可得出答． 【解答】解：由图象可知，x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， 故①错误； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， ∴c＞0， ∵﹣＞0， ∴b＞0， ∴bc＞0， ∴一次函数y＝x+bc的图象过第一、第二、第三象限， 故②正确； ∵﹣＞0，a＜0， ∴﹣b＜2a， 即2a+b＞0， 故③错误； 由根与系数的关系知： x1+x2＝﹣＞0， 故④错误； ∵图象与x轴有两个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac， 故⑤错误， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象系数之间的关系，关键是根据抛物线开口方向、与坐标轴的交点、对称轴、根与系数的关系解决问题． 10．（3分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过解方程x2﹣x+＝0得x1＝，x2＝，则An，Bn两点为（，0），（，0），所以AnBn＝﹣，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣，然后进行分数的混合运算即可． 【解答】解：当y＝0时，x2﹣x+＝0， （x﹣）（x﹣）＝0， 解得x1＝，x2＝， ∴An，Bn两点为（，0），（，0）， ∴AnBn＝﹣， ∴A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣ ＝1﹣ ＝． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 二、填空题（18分） 11．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是　x1＝﹣3，x2＝2　． 【分析】根据抛物线与x轴的交点的意义得到当x＝﹣3或x＝2时，y＝0，即可得到方程ax2+bx+c＝0的解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0）， ∴当x＝﹣3或x＝2时，y＝0， 即方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝2． 故答案为x1＝﹣3，x2＝2． 【点评】本题考查了抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c＝0的解为交点的横坐标． 12．（3分）某公司举行年会晚宴，出席者两两碰杯一次，总共碰杯19900次，设晚宴共有x人参加，根据题意，可列方程　x（x﹣1）＝19900　． 【分析】设晚宴共有x人参加，由出席者两两碰杯一次且总共碰杯19900次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设晚宴共有x人参加， 根据题意得：x（x﹣1）＝19900． 故答案为：x（x﹣1）＝19900． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a²﹣b²，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 　3或﹣7　． 【分析】根据题目中的规定的法则将方程转化为（x+2）2﹣52＝0，再解方程即可求解． 【解答】解：∵（x+2）*5＝0， ∴（x+2）2﹣52＝0， （x+2）2＝52， ∴x+2＝±5， 解得x＝3或﹣7． 故答案为3或﹣7． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，属于新定义题型，将所求方程转化为一元二次方程是解题的关键． 14．（3分）已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）²+3的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是 　y2＜y3＜y1　（用小于号连接）． 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向及对称轴，再由点离对称轴的远近可求得答案． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴点离对称轴越近则函数值越大， ∵B（，y2）离对称轴最近，A（﹣1，y1）离对称轴最远， ∴y2＜y3＜y1， 故答案为y2＜y3＜y1． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题的关键． 15．（3分）关于二次函数y＝3x²+1和y＝3（x﹣1）²，以下说法：①它们的开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是（0，1）；③当x＞2时，它们的函数值都是y随x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点，其中正确的有 　①③　．（填序号） 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝3x²+1和y＝3（x﹣1）²，a＝3， ∴它们的开口方向、大小相同，故①正确； 二次函数y＝3x²+1的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为（0，1），y＝3（x﹣1）²的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，0），故②错误； 当x＞2时，它们的函数值都是y随x的增大而增大，故③正确； 二次函数y＝3x²+1与坐标轴有一个交点（0，1），y＝3（x﹣1）²与坐标轴有两个交点，坐标为（0，3），（1，0），故④错误； 故答案为：①③． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，注意第④问中是与坐标轴，并不是x轴，此处既包括x轴，也包括y轴． 16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　（1+，2）或（1﹣，2）　． 【分析】先计算出自变量为0时所对应的二次函数值得到C点坐标，则过CD中点与x轴平行的直线为y＝2，再利用等腰三角形的性质得点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点，然后解方程﹣x2+2x+3＝2即可确定P点坐标． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）， ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形， ∴点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点， 当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝1+，x2＝1﹣， ∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2）． 故答案为（1+，2）或（1﹣，2）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等腰三角形的性质． 三、解答题（72分） 17．（8分）解方程： （1）（x﹣1）2＝6x+6； （2）3x2﹣． 【分析】（1）先将方程化为一般形式，然后利用公式法即可解答此方程； （2）根据公式法可以解答此方程． 【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝6x+6， ∴x2﹣2x+1﹣6x﹣6＝0， ∴x2﹣8x﹣5＝0， a＝1，b＝﹣8，c＝﹣5， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣5）＝84＞0， ∴x＝＝＝＝4， ∴x1＝4+，x2＝4﹣； （2）3x2﹣， a＝3，b＝﹣4，c＝2， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24＞0， ∴x＝＝＝＝， 故答案为：x1＝，x2＝． 【点评】本题考查解一元二次方程—公式法，解答本题的关键是会用公式法解答一元二次方程． 18．（9分）如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形面积为8． （1）求此抛物线的解析式； （2）求当﹣1≤x≤3时，y的取值范围； （3）直接写出当y＞3时，x的取值范围． 【分析】（1）由矩形面积及BO长度，求出点F坐标，根据顶点A（0，1）设抛物线顶点式，然后将点F坐标代入解析式求解． （2）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，离对称轴越远的点，y值越大． （3）先求出y＝3时一元二次方程的解，然后根据抛物线开口方向求解． 【解答】解：（1）∵A（0，1）为抛物线顶点， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵C，F在抛物线上， ∴BC＝BF， ∵矩形CDEF面积为CF•OB＝8， ∴CF＝＝4， ∴BC＝CF＝2， ∴点F坐标为（2，2）， 设抛物线解析式为y＝ax2+1， 把（2，2）代入解析式得2＝4a+1， 解得a＝， ∴抛物线解析式为y＝x2+1． （2）∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＝0时，y取最小值为1， ∵3﹣0＞0﹣（﹣1）， ∴x＝3时y取最大值， 把x＝3代入y＝x2+1得． ∴1≤y≤． （3）把y＝3代入y＝x2+1得3＝x2+1， 解得x＝﹣2或x＝2， ∴y＞3时，x＜﹣2或x＞2． 【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，二次函数与不等式的关系． 19．（7分）阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到　降次　的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程． （2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程． 【解答】解：（1）换元，降次 （2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣2． 由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2． 由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0， b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根． 所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2． 【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便． 20．（7分）水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　150+300x　斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可； （2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可． 【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是150+×30＝150+300x（斤）； （2）根据题意得：（6﹣4﹣x）（150+300x）＝450， 解得：x＝或x＝1， 当x＝时，销售量是150+300×＝300＜360； 当x＝1时，销售量是150+300＝450（斤）． ∵每天至少售出360斤， ∴x＝1． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解． 21．（8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝xm． （1）若矩形花园ABCD的面积为168m²，求x的值； （2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD、AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1.5为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD的面积S的最大值． 【分析】（1）直接利用矩形面积求法结合一元二次方程的解法得出答案； （2）首先得出S与x之间的关系，进而利用二次函数增减性得出答案． 【解答】解：（1）∵BC＝xm，则AB＝（26﹣x）m， ∴x（26﹣x）＝168， 解得：x＝， x1＝，x2＝， 答：x的值为m或m； （2）由题意可得出： S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是13m和6m， 考虑到树的生长，篱笆围矩形ABCD时，要将以P为圆心，1.5m为半径的圆围在内， ∴14.5≤x≤18.5， ∵a＝﹣1＜0，在对称轴的右边S随x的增大而减小， ∴当x＝14.5时，S取到最大值为：S＝﹣（14.5﹣13）2+169＝166.75， 答：花园面积S的最大值为166.75平方米． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数增减性求出最值是解题关键． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为xs，四边形APQC的面积为ymm2． （1）y与x之间的函数关系式； （2）求自变量x的取值范围； （3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【分析】（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可； （2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可． 【解答】解：（1）∵出发时间为x，点P的速度为2mm/s，点Q的速度为4mm/s， ∴PB＝12﹣2x，BQ＝4x， ∴y＝×12×24﹣×（12﹣2x）×4x ＝4x2﹣24x+144． （2）∵x＞0，12﹣2x＞0， ∴0＜x＜6． （3）不能， 4x2﹣24x+144＝172， 解得：x1＝7，x2＝﹣1（不合题意，舍去） 因为0＜x＜6．所以x＝7不在范围内， 所以四边形APQC的面积不能等于172mm2． 【点评】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． 23．（11分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线的形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离为5m． （1）经过同学们的讨论，共提出下图三种方案，请你结合所给方案中的一种建立适当的平面直角坐标系（如图），求出抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度； （3）现在有一艘货船载有一长方体集货物后高3.8m，宽5m从桥下通过，该船是否能安全通过？ 【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式； （2）根据题意可知水面宽度变为6m时x＝2或x＝8，据此求得对应y的值即可得； （3）将x＝代入解析式可得y的值，再与3.8比较即可． 【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0）， 由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5， 把点（0，0）代入得： 0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5． （2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝， 所以水面上涨的高度为米． （3）将x＝代入解析式得， y＝﹣×（﹣5）2+5＝3.75m＜3.8m， 所以该船不能顺利通过． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值； （3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标； （2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE面积S的最大值； （3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点， ∴，得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）， 即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m， ，得， ∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6， ∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）， ∴设点P的坐标为（p，2p+6）， ∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+， ∵﹣3＜p＜﹣1， ∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝， 即△PAE面积S的最大值是； （3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形， ∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上， ∴OA＝PQ， ∵点A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∴PQ＝3， ∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上， ∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3）， ∴， 解得，或（舍去）， 当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4， 即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）． 【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/9/17 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$