第12章《 全等三角形》单元复习卷2024-2025学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第12章《 全等三角形》单元复习卷 一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1.(3分)如图, ABC≌ DEF,若∠C=40 ,则∠F等于( ) A.50 B.30 C.90 D.40 2.(3分)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画出射线OB,则∠AOB=( ) A.30 B.45 C.60 D.90 3.(3分)已知实数x、y满足,则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为( ) A.25 B.32 C.25或32 D.以上答案均不对 4.(3分)下列三角形:①有两个角等于60 的三角形;②有一个角等于60 的等腰三角形;③三个角都相等的三角形;④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 5.(3分)如图, ABC≌ ADE,∠ADE=80 ,∠C=40 ,∠DAC=35 ,则∠EAC的度数为( ) A.25 B.30 C.35 D.40 6.(3分)如图,在 ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则 ABD的周长为( ) A.25 B.22 C.19 D.18 7.(3分)下列命题:①如果两个角相等并且有一个公共顶点,那么它们是对顶角;②两条直线被第三条直线所截,内错角相等;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行;⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.其中真命题有( )个. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.(3分)如图,在 ABC中,AB=AC,∠A=36 ,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则以下推断错误的是( ) A.BD=BC B.AD=BD C.∠ADB=108 D.CDAD 9.(3分)如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍,则下列判断正确的是( ) A.腰是底的2倍 B.底是腰的2倍 C.顶角是90 D.底角是45 或72 10.(3分)如图, ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N.下列结论: ① BMO和 CNO都是等腰三角形; ②MN=BM+CN; ③BM=CN; ④BC=BM+CN; ⑤ AMN的周长=AB+AC. 其中正确的有( ) A.①②③ B.①②⑤ C.③④ D.②④⑤ 二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分) 11.(3分)如图, ABC≌ ADE,∠B=30 ,∠E=20 ,∠BAE=90 ,则∠EAC的度数为 . 12.(3分)已知图中的两个三角形全等,则∠ 的度数是 . 13.(3分)如图,在Rt ABC和Rt DEF中,AC∥DF,且AC=DF,AB=8,BE=6,DM=5,则阴影部分的面积是 . 14.(3分)如图,在 ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70 ,∠FAE=19 ,则∠C= 度. 15.(3分)如图,六边形ABCDEF的六个角都是120 ,边长AB=1cm,BC=3cm,CD=3cm,DE=2cm,则这个六边形的周长是: . 16.(3分)如图,在 ABC中,∠B=90 ,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,点Q是 ABC边上的一个动点,点Q从点B开始沿B C A方向运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.当点Q在边CA上运动时,出发 秒后, BCQ是以CQ为腰的等腰三角形. 三.解答题(共9小题,满分72分) 17.(6分)已知:如图,点E、F在线段BD上,BE=DF,AB∥CD,∠A=∠C. 求证:(1) ABF≌ CDE. (2)AF∥CE. 18.(6分)如图,在 ABC中,BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,BO和CO交于点O,过O作MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N. (1)指出图中的等腰三角形,并说明理由. (2)若AB=7,AC=5,求 AMN的周长. 19.(6分)已知 ABC是等边三角形,BD是中线,点E在BC的延长线上,且DE=DB. (1)如图1,求证:CD=CE; (2)如图2,过点D作DF∥BC交AB于点F,直接写出图中所有与CE相等的线段(CD除外). 20.(8分)如图,在 ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E. (1)若BC=10,求 ADE的周长; (2)若∠BAC=128 ,求∠DAE的度数. 21.(8分)如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,点P从点A出发,沿A B A方向以2cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D E方向以1cm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P到达点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t(s). (1)线段AB与DE有什么位置关系?并说明理由. (2)线段QE的长为 ;线段AP的长为 ;(用含t的式子表示) (3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值. 22.(9分)如图, ABC中,点D在边BC延长线上,∠ACB=100 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=50 . (1)求∠ACE的度数; (2)求证:AE平分∠CAF; (3)若AC+CD=14,AB=10,且S ACD=21,求 ABE的面积. 23.(9分)(1)如图1,已知:在 ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE、CF之间的数量关系是 , AEF的周长是 (2)如图2,若将(1)中“ ABC中,AB=AC=10”改为“若 ABC为不等边三角形,AB=8,AC=10”其余条件不变,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE、CF之间的数量关系是什么?证明你的结论,并求出 AEF的周长 (3)已知:如图3,D在 ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分 ABC的外角∠ACG,过点D作DE∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢?直接写出结论不证明. 24.(10分)规定:从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形的三个角分别相等,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”. 示例:如图1,在 ABC中,∠ACB=110 ,∠A=40 ,∠ABC=30 ,CD把 ABC分割成 ADC和 CDB两个小三角形,其中,∠CDB=110 ,∠DCB=40 ,∠ACD=∠ADC=70 . ∵∠ACD=∠ADC, ∴AC=AD,即 ADC为等腰三角形; 又∵∠B=∠B,∠DCB=∠A=60 ,∠ACB=∠CDB=110 , ∴ BDC与 BCA三个角分别相等; ∴CD为 ABC的“等角分割线”. (1)如图2,在 ABC中,CD为角平分线,∠A=50 ,∠B=30 ,求证:CD为 ABC的等角分割线; (2)在 ABC中,∠A=48 ,CD是 ABC的等角分割线,求∠ACB的度数. 25.(10分)【问题背景】 在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90 ,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60 ,试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系. 【初步探索】 小亮同学认为:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明 ABE≌ ADG,再证明 AEF≌ AGF,则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 . 【探索延伸】 在四边形ABCD中如图2,AB=AD,∠B+∠D=180 ,E、F分别是BC、CD上的点,∠EAF∠BAD,上述结论是否仍然成立?说明理由. 【结论运用】 如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30 的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70 的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50 的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角(∠EOF)为70 ,试求此时两舰艇之间的距离. 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A C B D D B 一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1.(3分)如图, ABC≌ DEF,若∠C=40 ,则∠F等于( ) A.50 B.30 C.90 D.40 【分析】根据全等三角形的性质,可得结论. 【解答】解:∵ ABC≌ DEF,AC∥DF, ∴∠C的对应角是∠F,∠C=∠F, ∵∠C=40 , ∴∠F=40 , 故选:D. 【点评】本题考查全等三角形的性质,掌握全等三角形的性质是解题的关键. 2.(3分)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画出射线OB,则∠AOB=( ) A.30 B.45 C.60 D.90 【分析】首先连接AB,由题意易证得 AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质,可求得∠AOB的度数. 【解答】解:连接AB, 根据题意得:OB=OA=AB, ∴ AOB是等边三角形, ∴∠AOB=60 . 故选:C. 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质.此题难度不大,解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB. 3.(3分)已知实数x、y满足,则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为( ) A.25 B.32 C.25或32 D.以上答案均不对 【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值,由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度,将其相加即可得出结论. 【解答】解:∵实数x,y满足|x﹣6|0, ∴x﹣6=0,y﹣13=0, 解得x=6,y=13, ∵6、6、13不能组成三角形, ∴等腰三角形的三边长分别为13、13、6, ∴等腰三角形周长为6+13+13=32. 故选:B. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、二次根式(绝对值)的非负性以及三角形三边关系,根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键. 4.(3分)下列三角形:①有两个角等于60 的三角形;②有一个角等于60 的等腰三角形;③三个角都相等的三角形;④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 【分析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断. 【解答】解:①有两个角等于60 的三角形是等边三角形; ②有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形; ③三个角都相等的三角形是等边三角形; ④三边都相等的三角形是等边三角形; 故选:D. 【点评】本题考查了等边三角形的判定:三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形. 5.(3分)如图, ABC≌ ADE,∠ADE=80 ,∠C=40 ,∠DAC=35 ,则∠EAC的度数为( ) A.25 B.30 C.35 D.40 【分析】根据全等三角形的性质可得∠E=∠C,根据三角形内角和定理可得∠DAE的度数,再根据∠DAC=35 ,进一步即可求出∠EAC的度数. 【解答】解:∵ ABC≌ ADE, ∴∠E=∠C=40 , ∵∠ADE=80 , ∴∠DAE=180 ﹣80 ﹣40 =60 , ∵∠DAC=35 , ∴∠EAC=60 ﹣35 =25 , 故选:A. 【点评】本题考查了全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键. 6.(3分)如图,在 ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则 ABD的周长为( ) A.25 B.22 C.19 D.18 【分析】根据题意可知MN垂直平分BC,即可得到DB=DC,然后即可得到AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC,从而可以求得 ABD的周长. 【解答】解:由题意可得, MN垂直平分BC, ∴DB=DC, ∵ ABD的周长是AB+BD+AD, ∴AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC, ∵AB=7,AC=12, ∴AB+AC=19, ∴ ABD的周长是19, 故选:C. 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质,三角形的周长,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 7.(3分)下列命题:①如果两个角相等并且有一个公共顶点,那么它们是对顶角;②两条直线被第三条直线所截,内错角相等;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行;⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.其中真命题有( )个. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质及判定方法、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项. 【解答】解:①如果两个角相等并且有一个公共顶点,那么它们是对顶角,错误,是假命题,不符合题意;②两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,故原命题错误,是假命题,不符合题意;③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故原命题错误,是假命题,不符合题意;④平面内垂直于同一直线的两直线平行,故原命题错误,是假命题,不符合题意;⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离,正确,是真命题,符合题意,故选:B. 【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解有关的定义及定理,难度不大. 8.(3分)如图,在 ABC中,AB=AC,∠A=36 ,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则以下推断错误的是( ) A.BD=BC B.AD=BD C.∠ADB=108 D.CDAD 【分析】根据已知条件AB=AC,∠A=36 ,可得 ABC是底角为72 的等腰三角形,再根据尺规作图可得BD平分∠ABC,再根据等腰三角形的性质对各选项进行判断即可. 【解答】解:在 ABC中, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠A=36 , ∴∠ABC=∠C(180 ﹣36 )=72 . ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=36 . ∴∠ABD=∠A. ∴AD=BD.故选项B正确; ∵∠BDC=∠A+∠ABD=72 . ∴∠C=∠BDC. ∴BD=BC.故选项A正确; ∵∠BDC=72 , ∴∠ADB=108 .故选项C正确; 在 BCD与 ACB中, ∵∠CBD=∠A=36 ,∠C为公共角. ∴ BCD∽ ACB. ∴. ∴BC2=AC•CD. ∵BC=BD=AD,AC=AD+CD. ∴AD2=(AD+CD)•CD.整理得,CD2﹣AD•CD﹣AD2=0. 解得,CDAD. ∴CDAD.故选项D错误. 故选:D. 【点评】本题考查了顶角为36 的等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 9.(3分)如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍,则下列判断正确的是( ) A.腰是底的2倍 B.底是腰的2倍 C.顶角是90 D.底角是45 或72 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分两种情况解答即可. 【解答】解:设等腰三角形的底角为2x,2x,顶角为x,可得:2x+2x+x=180 , 解得:x=36, 底角为72 ; 设等腰三角形的底角为x,x,顶角为2x,可得:2x+x+x=180 , 解得:x=45, 底角为45 ,顶角为90 , 故选:D. 【点评】此题考查等腰三角形的性质,关键是根据等腰三角形的性质分两种情况解答. 10.(3分)如图, ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N.下列结论: ① BMO和 CNO都是等腰三角形; ②MN=BM+CN; ③BM=CN; ④BC=BM+CN; ⑤ AMN的周长=AB+AC. 其中正确的有( ) A.①②③ B.①②⑤ C.③④ D.②④⑤ 【分析】由平行线得到角相等,由角平分线得角相等,根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质. 【解答】解:∵MN∥BC, ∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB, ∵BO是∠ABC的平分线,CO是∠ACB的平分线, ∴∠OBC=∠MOB,∠NOC=∠OCB, ∵∠MBO=∠MOB,∠NOCC=∠NCO, ∴ MOB, CON都是等腰三角形.故①正确; ∴MO=MB,ON=NC,即有MN=MO+NO=MB+NC故②正确; ∴ AMN的周长AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC,故⑤正确, 选项③在AB=AC条件下成立,但本题没有这个条件;④明显错误. ①②⑤正确, 故选:B. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质;题目利用了两直线平行,内错角相等,及等角对等边来判定等腰三角形的;等量代换的利用是解答本题的关键. 二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分) 11.(3分)如图, ABC≌ ADE,∠B=30 ,∠E=20 ,∠BAE=90 ,则∠EAC的度数为 40 . 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠D,∠BAC=∠DAE,再利用三角形的内角和等于180 求出∠DAE,然后求出∠BAC,再根据∠EAC=∠BAC﹣∠BAE计算即可得解. 【解答】解:∵ ABC≌ ADE, ∴∠B=∠D=30 ,∠BAC=∠DAE, ∵∠E=20 , ∴∠DAE=180 ﹣30 ﹣20 =130 , ∴∠BAC=130 , ∵∠BAE=90 , ∴∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=130 ﹣90 =40 , 故答案为:40 . 【点评】本题考查了全等三角形的性质,主要利用了全等三角形对应角相等,熟记性质并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键. 12.(3分)已知图中的两个三角形全等,则∠ 的度数是 50 . 【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可. 【解答】解:∵两个三角形全等, ∴ =50 . 故答案为:50 . 【点评】本题考查了全等三角形的性质,熟记性质并准确识图,确定出对应角是解题的关键. 13.(3分)如图,在Rt ABC和Rt DEF中,AC∥DF,且AC=DF,AB=8,BE=6,DM=5,则阴影部分的面积是 33 . 【分析】由“AAS”可证 ABC≌ DEF,可得S ABC=S DEF,AB=DE=8,由梯形的面积公式可求解. 【解答】解:∵AC∥DF, ∴∠ACB=∠DFE, 在 ABC和 DEF中, , ∴ ABC≌ DEF(AAS), ∴S ABC=S DEF,AB=DE=8, ∴S阴影=S四边形ABEM, ∴S阴影(AB+ME) BE(8+8﹣5) 6=33, 故答案为:33. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,证明三角形全等是解题的关键. 14.(3分)如图,在 ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70 ,∠FAE=19 ,则∠C= 24 度. 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC,得到∠EAC=∠C,根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可. 【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线, ∴EA=EC, ∴∠EAC=∠C, ∴∠FAC=∠EAC+19 , ∵AF平分∠BAC, ∴∠FAB=∠EAC+19 , ∵∠B+∠BAC+∠C=180 , ∴70 +2(∠C+19 )+∠C=180 , 解得,∠C=24 , 故答案为:24. 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键. 15.(3分)如图,六边形ABCDEF的六个角都是120 ,边长AB=1cm,BC=3cm,CD=3cm,DE=2cm,则这个六边形的周长是: 15cm . 【分析】凸六边形ABCDEF,并不是一规则的六边形,但六个角都是120 ,所以通过适当的向外作延长线,可得到等边三角形,进而求解. 【解答】解:如图,分别作边AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P. ∵六边形ABCDEF的六个角都是120 , ∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60 . ∴ APF、 BGC、 DHE、 GHP都是等边三角形. ∴GC=BC=3cm,DH=DE=2cm. ∴GH=3+3+2=8cm,FA=PA=PG﹣AB﹣BG=8﹣1﹣3=4cm,EF=PH﹣PF﹣EH=8﹣4﹣2=2cm. ∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15cm. 故答案为:15cm. 【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理;解题中巧妙地构造了等边三角形,从而求得周长.是非常完美的解题方法,注意学习并掌握. 16.(3分)如图,在 ABC中,∠B=90 ,AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,点Q是 ABC边上的一个动点,点Q从点B开始沿B C A方向运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.当点Q在边CA上运动时,出发 22或24 秒后, BCQ是以CQ为腰的等腰三角形. 【分析】分两种情况:当CQ=CB时;当QC=QB时;然后分别进行计算即可解答. 【解答】解:分两种情况: 当CQ=CB时,如图: ∵CB=CQ=12cm, ∴t24(秒); 当QC=QB时,如图: ∵QC=QB, ∴∠C=∠CBQ, ∵∠ABC=90 , ∴∠C+∠A=90 ,∠CBQ+∠QBA=90 , ∴∠QBA=∠A, ∴BQ=QA, ∴CQ=QAAC=10(cm), ∴t22(秒); 综上所述:当点Q在边CA上运动时,出发22或24秒后, BCQ是以CQ为腰的等腰三角形, 故答案为:22或24. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,分两种情况讨论是解题的关键. 三.解答题(共9小题,满分72分) 17.(6分)已知:如图,点E、F在线段BD上,BE=DF,AB∥CD,∠A=∠C. 求证:(1) ABF≌ CDE. (2)AF∥CE. 【分析】(1)根据BE=DF推出BF=DE,根据AB∥CD推出∠B=∠D,用AAS即可判定 ABF≌ CDE; (2)根据 ABF≌ CDE推出∠AFB=∠CED,根据“内错角相等,两直线平行”即可证明结论. 【解答】证明:(1)∵BE=DF, ∴BE+EF=DF+EF, 即BF=DE, ∵AB∥CD, ∴∠B=∠D, 在 ABF和 CDE中, , ∴ ABF≌ CDE(AAS); (2)∵ ABF≌ CDE, ∴∠AFB=∠CED, ∴AF∥CE. 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定三角形全等的方法是解决问题的关键. 18.(6分)如图,在 ABC中,BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,BO和CO交于点O,过O作MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N. (1)指出图中的等腰三角形,并说明理由. (2)若AB=7,AC=5,求 AMN的周长. 【分析】(1)根据角平分线的定义和平行线的性质可证 MOB和 NOC是等腰三角形,即可解答; (2)利用(1)的结论和等量代换可得 AMN的周长=AB+AC,从而进行计算即可解答. 【解答】解:(1)图中的等腰三角形有: MOB, NOC, 理由:∵BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB, ∵MN∥BC, ∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB, ∴∠ABO=∠MOB,∠ACO=∠NOC, ∴MB=MO,NO=NC, ∴ MOB和 NOC都是等腰三角形; (2)∵AB=7,AC=5,MB=MO,NO=NC, ∴ AMN的周长=AM+MN+AN =AM+MO+ON+AN =AM+MB+NC+AN =AB+AC =7+5 =12, ∴ AMN的周长是12. 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键. 19.(6分)已知 ABC是等边三角形,BD是中线,点E在BC的延长线上,且DE=DB. (1)如图1,求证:CD=CE; (2)如图2,过点D作DF∥BC交AB于点F,直接写出图中所有与CE相等的线段(CD除外). 【分析】(1)根据等边三角形的性质、外角的性质及等腰三角形的性质即可推理得出结论; (2)证明 AFD是等边三角形,由等边三角形的性质得出AF=DF=AD,则可得出结论. 【解答】证明:∵ ABC是等边三角形,BD是中线, ∴∠ABC=∠BCA=60 ,∠DBC=30 , ∵DE=DB, ∴∠DBC=∠E=30 , ∴∠BCA=∠CDE+∠E=60 , ∴∠CDE=∠E=30 , ∴CD=CE. (2)解:∵DF∥BC, ∴∠AFD=∠ABC=60 ,∠ADF=∠ACB=60 , ∴ AFD是等边三角形, ∴AF=DF=AD, ∵AB=AC, ∴BF=CD, ∵BD是中线, ∴CD=AD, ∵CD=CE, ∴AF=DF=AD=CE, ∴图中所有与CE相等的线段有AD,AF,DF,BF. 【点评】本题考查了等边三角形的性质,解决本题的关键是掌握等边三角形的性质. 20.(8分)如图,在 ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E. (1)若BC=10,求 ADE的周长; (2)若∠BAC=128 ,求∠DAE的度数. 【分析】(1)由在 ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD,AE=CE,继而可得 ADE的周长=BC; (2)由AD=BD,AE=CE,可求得∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,又由∠BAC=128 ,即可求得∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=52 ,继而求得答案. 【解答】解:(1)在 ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E, ∴AD=BD,AE=CE, 又∵BC=10, ∴ ADE周长为:AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10; (2)∵AD=BD,AE=CE, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE, 又∵∠BAC=128 , ∴∠B+∠C=180 ﹣∠BAC=52 , ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=52 , ∴∠DAE=∠BAC﹣(∠BAD+∠CAE)=128 ﹣52 =76 . 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用. 21.(8分)如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,点P从点A出发,沿A B A方向以2cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D E方向以1cm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P到达点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t(s). (1)线段AB与DE有什么位置关系?并说明理由. (2)线段QE的长为 8﹣t ;线段AP的长为 2tcm或(16﹣2t)cm ;(用含t的式子表示) (3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值. 【分析】(1)证明 ABC≌ EDC(SAS),可得∠A=∠E,然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论; (2)分两种情况讨论:当0≤t≤4时,AP=2t cm,当4<t≤8时,BP=(2t﹣8)cm,可得AP=8﹣(2t﹣8)=(16﹣2t)cm,进而可以解决问题; (3)先证 ACP≌ ECQ(ASA),得AP=EQ,再分两种情况列方程求解即可. 【解答】解:(1)AB∥DE. 在 ABC和 EDC中, , ∴ ABC≌ EDC(SAS), ∴∠A=∠E, ∴AB∥DE; (2)QE=8﹣t, 当0≤t≤4时,AP=2tcm, 当4<t≤8时,BP=(2t﹣8)cm, ∴AP=8﹣(2t﹣8)=(16﹣2t)cm, ∴.线段AP的长为 2tcm或(16﹣2t)cm; 故答案为:8﹣t,2tcm或(16﹣2t)cm; (3)如图,根据题意得 DQ=tcm, 则 EQ=(8﹣t)cm, 由(1)得:∠A=∠E,ED=AB=8cm, 在 ACP和 ECQ中, 在 ACP和 ECQ中, , ∴ ACP≌ ECQ(ASA), ∴AP=EQ, 当0≤t≤4时,2t=8﹣t, 解得:, 当4<t≤8时,16﹣2t=8﹣t, 解得:t=8, 综上所述,当线段PQ经过点C时,t的值为 或8. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,列代数式,一元一次方程的应用,解决本题的关键是得到 ACP≌ ECQ. 22.(9分)如图, ABC中,点D在边BC延长线上,∠ACB=100 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=50 . (1)求∠ACE的度数; (2)求证:AE平分∠CAF; (3)若AC+CD=14,AB=10,且S ACD=21,求 ABE的面积. 【分析】(1)根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=80 、∠CHE=90 ,进而得到∠ECH=40 ,然后根据∠ACE=∠ACD﹣∠ECH即可解答; (2)如图:过E点分别作EM⊥BF于M,EN⊥AC与N,根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH,最后根据角平分线的判定定理即可解答; (3)根据S ACD=S ACE+S CED结合已知条件可得EM=3,最后运用三角形的面积公式即可解答. 【解答】解:(1)∵∠ACB=100 , ∴∠ACD=180 ﹣100 =80 , ∵EH⊥BD, ∴∠CHE=90 , ∵∠CEH=50 , ∴∠ECH=90 ﹣50 =40 , ∴∠ACE=∠ACD﹣∠ECH=80 ﹣40 =40 . (2)证明:如图:过E点分别作EM⊥BF于M,EN⊥AC与N, ∵BE平分∠ABC, ∴EM=EH, ∵∠ACE=∠ECH=40 , ∴CE平分∠ACD, ∴EN=EH, ∴EM=EN, ∴AE平分∠CAF. (3)解:∵AC+CD=14,S ACD=21,EM=EN=EH, ∴, 即,解得EM=3, ∵AB=10, ∴. 【点评】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点,灵活运用相关知识点成为解答本题的关键. 23.(9分)(1)如图1,已知:在 ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,则图中共有 5 个等腰三角形;EF与BE、CF之间的数量关系是 BE+CF=EF , AEF的周长是 20 (2)如图2,若将(1)中“ ABC中,AB=AC=10”改为“若 ABC为不等边三角形,AB=8,AC=10”其余条件不变,则图中共有 2 个等腰三角形;EF与BE、CF之间的数量关系是什么?证明你的结论,并求出 AEF的周长 (3)已知:如图3,D在 ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分 ABC的外角∠ACG,过点D作DE∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢?直接写出结论不证明. 【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,然后求出∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,再根据等角对等边可得BE=DE,CF=DF,然后解答即可; (2)根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,然后求出∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,再根据等角对等边可得BE=DE,CF=DF,然后解答即可; (3)由(2)知BE=ED,CF=DF,然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系. 【解答】解:(1)BE+CF=EF. 理由如下: ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD, ∴∠DBC=∠DCB, ∴DB=DC ∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD, ∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD, ∴BE=DE,CF=DF,AE=AF, ∴等腰三角形有 ABC, AEF, DEB, DFC, BDC共5个, ∴BE+CF=DE+DF=EF, 即BE+CF=EF, AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20. 故答案为:5;BE+CF=EF;20; (2)BE+CF=EF, ∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD, ∵EF∥BC, ∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD, ∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD, ∴BE=DE,CF=DF, ∴等腰三角形有 BDE, CFD, ∴BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF. 可得 AEF的周长为18. (3)BE﹣CF=EF, 由(1)知BE=ED, ∵EF∥BC, ∴∠EDC=∠DCG=∠ACD, ∴CF=DF, 又∵ED﹣DF=EF, ∴BE﹣CF=EF. 【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断,熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键. 24.(10分)规定:从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形的三个角分别相等,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”. 示例:如图1,在 ABC中,∠ACB=110 ,∠A=40 ,∠ABC=30 ,CD把 ABC分割成 ADC和 CDB两个小三角形,其中,∠CDB=110 ,∠DCB=40 ,∠ACD=∠ADC=70 . ∵∠ACD=∠ADC, ∴AC=AD,即 ADC为等腰三角形; 又∵∠B=∠B,∠DCB=∠A=60 ,∠ACB=∠CDB=110 , ∴ BDC与 BCA三个角分别相等; ∴CD为 ABC的“等角分割线”. (1)如图2,在 ABC中,CD为角平分线,∠A=50 ,∠B=30 ,求证:CD为 ABC的等角分割线; (2)在 ABC中,∠A=48 ,CD是 ABC的等角分割线,求∠ACB的度数. 【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ACB,根据角平分线的定义得到,根据“等角三角形”的定义证明即可; (2)由题意可知 ACD为等腰三角形或者 BCD为等腰三角形,当 ACD是等腰三角形时,分为AC=AD,DA=DC,CA=CD,三种情形;当 BCD是等腰三角形时,分为BD=CD,BD=BC,CD=BC,三种情形,分别利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可. 【解答】(1)证明:∵在 ABC中,∠A=50 ,∠B=30 , ∴∠ACB=180 ﹣∠A﹣∠B=100 , ∵CD为角平分线, ∴, ∴∠BCD=∠A,∠DCA=∠A, ∴CD=AD, ∴ ACD为等腰三角形, 又∵∠BCD=50 ,∠B=30 , ∴∠BDC=180 ﹣∠B﹣∠BCD=100 , ∴∠BDC=∠ACB,∠B=∠B,∠BCD=∠A, ∴ BDC与 BCA三个角分别相等, ∴CD为 ABC的等角分割线; (2)解:∵∠A=48 ,CD是 ABC的等角分割线, ∴ ACD为等腰三角形或者 BCD为等腰三角形, 当 ACD是等腰三角形时, ①当AC=AD,∠A=∠BCD=48 时,如图, 则, ∴∠BDC=∠A+∠ACD=48 +66 =114 , ∠ACB=∠ACD+∠BCD=66 +48 =114 ; ②当DA=DC,∠A=∠BCD=48 时,如图, 则∠ACD=∠A=∠BCD=48 , ∴∠BDC=∠ACD+∠A=96 , ∠ACB=∠ACD+∠BCD=96 ; ③当CA=CD,∠A=∠BCD=48 时, 则∠ADC=∠A=∠BCD=48 , ∴AD∥BC,故此情况不存在; 当 BCD是等腰三角形时, ④当BD=CD,∠B=∠ACD时,如图, 则∠ACD=∠B=∠BCD, 由∠A+∠B+∠ACB=180 得,48 +3∠ACD=180 , ∴∠ACD=44 , ∴∠ACB=2∠ACD=88 ; ⑤当BD=BC,∠ACD=∠B时,如图, 则∠BCD=∠BDC, 设∠ACD=∠B= , 则∠BCD=∠BDC=∠A+∠ACD= +48 , 由∠B+∠BCD+∠BDC=180 得, +2( +48 )=180 , ∴ =28 , ∴∠ACB=2 +48 =104 ; ⑥当CD=BC,∠ACD=∠B时, 则∠ACD=∠B=∠BDC, ∴AC∥BD,故此情况不存在; 综上所述:∠ACB=114 或96 或88 或104 . 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,等腰三角形的分类等知识,解决问题的关键是根据等腰三角形的顶点正确分类讨论,画出图形. 25.(10分)【问题背景】 在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90 ,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60 ,试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系. 【初步探索】 小亮同学认为:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明 ABE≌ ADG,再证明 AEF≌ AGF,则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF=BE+FD . 【探索延伸】 在四边形ABCD中如图2,AB=AD,∠B+∠D=180 ,E、F分别是BC、CD上的点,∠EAF∠BAD,上述结论是否仍然成立?说明理由. 【结论运用】 如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30 的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70 的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50 的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角(∠EOF)为70 ,试求此时两舰艇之间的距离. 【分析】探索延伸:延长FD到G,使DG=BE,连接AG,证明 ABE≌ ADG和 AEF≌ AGF,得到答案; 结论运用:连接EF,延长AE、BF交于点C,得到EF=AE+BF,根据距离、速度和时间的关系计算即可. 【解答】解:初步探索:EF=BE+FD, 故答案为:EF=BE+FD, 探索延伸:结论仍然成立, 证明:如图2,延长FD到G,使DG=BE,连接AG, ∵∠B+∠ADC=180 ,∠ADG+∠ADC=180 ∴∠B=∠ADG, 在 ABE和 ADG中, , ∴ ABE≌ ADG, ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG, ∵∠EAF∠BAD, ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF, ∴∠EAF=∠GAF, 在 AEF和 AGF中, , ∴ AEF≌ AGF, ∴EF=FG, ∴FG=DG+FD=BE+DF; 结论运用:解:如图3,连接EF,延长AE、BF交于点C, ∵∠AOB=30 +90 +(90 ﹣70 )=140 , ∠EOF=70 , ∴∠EOF∠AOB, ∵OA=OB, ∠OAC+∠OBC=(90 ﹣30 )+(70 +50 )=180 , ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF=AE+BF成立, 即EF=1.5 (60+80)=210海里, 答:此时两舰艇之间的距离是210海里. 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,注意要正确作出辅助线. 学科网(北京)股份有限公司 $$