2025年甘肃省九年级中考数学一轮复习课件 能力素养提升 命题点精练21　特殊的平行四边形的性质与判定（一）

2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 1 命题点精练21　特殊的平行四边形的性质与判定 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 本课结束 43 (一)菱形的性质与判定 1．(2024·通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是(　　D　　) A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2＋OB2＝AD2 D．AD2＋OA2＝OD2 解 ∵∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OA2＋OB2＝AD2， ∴OA2＋OD2＝AD2， ∴∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意； ∵AD2＋OA2＝OD2， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意．故选D. 2.(2023·乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝(　　B　　) A．2　　　B.eq \f(5,2)　　　C．3　　　D．4 解 ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝eq \f(1,2)AC，OB＝eq \f(1,2)BD，AC⊥BD， ∵AC＝6，BD＝8， ∴OC＝3，OB＝4， ∴CB＝eq \r(OB2＋OC2)＝5， ∵E为边BC的中点， ∴OE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2).故选B. 3．(2024·无锡)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为(　　C　　) A.eq \f(\r(3),5) B.eq \f(\r(7),5) C.eq \f(\r(21),14) D.eq \f(5\r(7),14) 解 延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCH＝60°， 设BC＝CD＝x， ∵E是CD的中点， ∴CE＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)x， ∵EH⊥BH， ∴EH＝CE·sin 60°＝eq \f(\r(3),4)x，CH＝CE·cos 60°＝eq \f(1,4)x， ∴BH＝BC＋CH＝eq \f(5,4)x， ∴BE＝eq \r(BH2＋EH2)＝eq \f(2\r(7),4)x， ∴sin∠EBC＝eq \f(EH,BE)＝eq \f(\f(\r(3),4)x,\f(2\r(7),4)x)＝eq \f(\r(21),14).故选C. 4．(2023·深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为(　　B　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4， ∵将线段AB水平向右平得到线段EF， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形ECDF为平行四边形， 当CD＝CE＝4时，▱ECDF为菱形， 此时a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.故选B. 5.(2022·湘西州)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32eq \r(3)，则CD的长为(　　C　　) A．4 B．4eq \r(3) 　C．8 D．8eq \r(3) 解 ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA＝eq \f(1,2)AC，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD＝eq \f(1,2)BD(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)， ∴OD＝4，BD＝8， 由eq \f(1,2)AC·BD＝32eq \r(3)得， eq \f(1,2)×8·AC＝32eq \r(3)， ∴AC＝8eq \r(3)， ∴OC＝eq \f(1,2)AC＝4eq \r(3)， ∴CD＝eq \r(OC2＋OD2)＝8.故选C. 6．(2024·绥化)如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是(　　A　　) A.eq \f(24,5) B．6 C.eq \f(48,5) D．12 解 ∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8， ∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝eq \r(BC2－BO2)＝eq \r(52－42)＝3， ∴AC＝2OC＝6， ∵菱形ABCD的面积＝AE·BC＝eq \f(1,2)BD×AC＝OB·AC， ∴AE＝eq \f(OB·AC,BC)＝eq \f(4×6,5)＝eq \f(24,5).故选A. 7.(2022·营口)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 AB＝AD ．(写出一个即可) 解 这个条件可以是 AB＝AD，理由如下： 由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABED是菱形， 故答案为AB＝AD(答案不唯一)． 8．(2022·郴州)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形． 证明 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，CA平分∠DCB， ∴∠DAC＝∠BAC＝eq \f(1,2)∠DAB，∠DCA＝∠ACB＝eq \f(1,2)∠DCB， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB， ∵AE＝CF， ∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)， ∴DE＝BE＝BF＝DF， ∴四边形DEBF是菱形． 9.(2023·丽水)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为(　　D　　) A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3) 解 如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴OA＝OC，∠BAO＝eq \f(1,2)∠DAB＝30°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OB＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)， ∴OA＝eq \r(AB2－OB2)＝eq \r(12－（\f(1,2)）2)＝eq \f(\r(3),2)， ∴AC＝2OA＝eq \r(3).故选D. 10．(2023·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件： AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD) ，使四边形ABCD成为菱形． 解 当添加“AD∥BC”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加“AB＝CD”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加“OB＝OD”时， ∵AD＝BC，AC⊥BD， ∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)， ∴AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“∠ADB＝∠CBD”时， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD)． 11．(2022·凉山州)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． (1)证明 ∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△FAE≌△CDE(AAS)， ∴AF＝CD， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD，∴AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BD＝eq \f(1,2)BC， ∴四边形ADBF是菱形． (2)解 ∵四边形ADBF是菱形， ∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积， ∵点D是BC的中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40， ∴eq \f(1,2)AB·AC＝40，∴eq \f(1,2)×8·AC＝40， ∴AC＝10，∴AC的长为10. 12．(2022·广元)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE. (1)求证：四边形AECD为菱形； (2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． (1)证明 ∵E为AB中点， ∴AB＝2AE＝2BE. ∵AB＝2CD，∴CD＝AE. 又∵AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠EAC， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD， ∴平行四边形AECD是菱形． (2)解 ∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°， ∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC， ∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°， ∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形， ∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝eq \r(3)BC＝2eq \r(3)， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)×AC×BC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3). 13．(2024·哈尔滨)四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC. (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形； (2)如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外)． (1)证明 ∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO， 在△ADO和△CBO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADO＝∠CBO，,∠AOD＝∠COB，,OA＝OC，)) ∴△ADO≌△CBO(AAS)，∴OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形． (2)解 与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF.理由： 由(1)知：四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC， ∴△ABC和△ADC为等边三角形， ∵CH⊥AD， ∴AH＝DH， 即CH为AD的垂直平分线， ∴AE＝DE. 同理：CE＝AE， ∴AE＝DE＝EC. ∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD， ∴∠ACH＝eq \f(1,2)∠ACD＝30°， ∵∠FEC＝75°， ∴∠EFC＝180°－∠ACH＝∠FEC＝75°， ∴∠EFC＝∠FEC， ∴CF＝CE. ∵△ABC和△ADC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠CAD＝60°， ∵CE＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°， ∠AEC＝180°－∠EAC－∠ECA＝120°， ∴∠AEG＝∠AEC－∠FEC＝45°， ∴△AGE为等腰直角三角形， ∴AE＝AG， ∴AG＝EC. $$