2025年甘肃省九年级中考数学一轮复习 能力素养提升课件 命题点精练24　与圆有关的计算

2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 1 命题点精练24　与圆有关的计算 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 本课结束 41 1．(2023·兰州)如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示，是一条圆弧AB，圆弧的半径OA＝20 cm，圆心角∠AOB＝90°，则eq \o(AB,\s\up8(︵))＝(　　B　　) A．20π cm B．10π cm C．5π cm D．2π cm 解 ∵圆弧的半径OA＝20 cm，圆心角∠AOB＝90°， ∴eq \o(AB,\s\up8(︵))的长＝eq \f(90π×20,180)＝10π(cm)．故选B. 2.(2024·呼和浩特)如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为(　　B　　) A．26° B．27° C．28° D．30° 解 如图，连接OG，OF，OD，OE，DF，连接AC，则AC是正五边形CEFGH，正方形ABCD的对称轴， ∴∠AOD＝eq \f(360°,4)＝90°，∠FOG＝∠EOF＝eq \f(360°,5)＝72°， ∵AC是正五边形CEFGH的对称轴， ∴∠AOG＝∠AOF＝eq \f(1,2)∠FOG＝36°， ∴∠DOF＝90°－36°＝54°，∴∠DOE＝72°－54°＝18°， ∴∠AMF＝∠MFD＋∠MDF＝eq \f(1,2)∠DOE＋eq \f(1,2)∠AOF＝eq \f(1,2)×18°＋eq \f(1,2)×36°＝9°＋18°＝27°.故选B. 3.(2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是(　　A　　) A.eq \f(4,3)π－eq \r(3) B.eq \f(4,3)π C.eq \f(2,3)π－eq \r(3) D.eq \f(4,3)π－eq \f(\r(3),4) 解 如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B， ∵OA＝OO′＝AO′＝2， ∴三角形AOO′是等边三角形， ∴∠AOO′＝60°，OB＝eq \f(1,2)OO′＝1， ∴AB＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)， ∴S弓形AO′＝S扇形AOO′－S△AOO′＝eq \f(60π×22,360)－ 2×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2π,3)－eq \r(3)， ∴S阴影＝S弓形AO′＋S扇形AO′O＝eq \f(2π,3)－eq \r(3)＋eq \f(2π,3)＝eq \f(4π,3)－eq \r(3).故选A. 4.(2024·包头)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是eq \o(AB,\s\up8(︵))上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则eq \o(AC,\s\up8(︵))的长为(　　B　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D．π 解 如图，连接BC， ∵OD＝DC，BD⊥OC， ∴BC＝OB， ∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∵∠AOB＝80°，∴∠AOC＝20°， ∴eq \o(AC,\s\up8(︵))的长为eq \f(20π×3,180)＝eq \f(π,3).故选B. 5.如图，从一块半径为8 cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形BAC，则扇形BAC中弧BC的长为(　　D　　) A.eq \f(4π,3) cm B.eq \f(8π,3) cm C.eq \f(4\r(3)π,3) cm D.eq \f(8\r(3)π,3) cm 解 作OD⊥AB于点D，连接AO，如图，则AD＝BD， ∵∠OAD＝eq \f(1,2)∠BAC＝30°， ∴OD＝eq \f(1,2)OA＝4 cm， ∴AD＝eq \r(OA2－OD2)＝eq \r(82－42)＝4eq \r(3)(cm)， ∴AB＝2AD＝8eq \r(3) cm， ∴弧BC的长＝eq \f(60·π×8\r(3),180)＝eq \f(8\r(3)π,3)(cm)，故选D. 6．如图，一块直角三角板的角的顶点落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的直径为6，则劣弧AB的长为(　　C　　) A．3　　　B．2π　　　C．π　　　D．6 解 连接AO，BO， ∵∠P＝30°， ∴∠AOB＝60°. ∵⊙O的直径为6， ∴OA＝3， ∴劣弧AB＝eq \f(60π×3,180)＝π.故选C. 7．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4.如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为 eq \f(8,3)π－2eq \r(3) ． 解 连接OD， 在Rt△OCD中，OC＝eq \f(1,2)OD＝2， ∴∠ODC＝30°，CD＝eq \r(OD2－OC2)＝2eq \r(3)， ∴∠COD＝60°， ∴阴影部分的面积＝eq \f(60π×42,360)－eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝eq \f(8,3)π－2eq \r(3)， 故答案为eq \f(8,3)π－2eq \r(3). 8．如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 eq \f(\r(2),2)π (结果保留π)． 解 ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD＝45°，AC＝eq \r(2)AB＝2eq \r(2)， ∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E， ∴eq \o(CE,\s\up8(︵))的长度为eq \f(45×π×2\r(2),180)＝eq \f(\r(2),2)π. 故答案为eq \f(\r(2),2)π. 9.如图，AB是⊙O直径，弦CD垂直于AB，交AB于点E，连接AC，∠CDB＝30°，CD＝4eq \r(3). (1)求∠CAB的度数； (2)求半径OC； (3)求eq \o(BC,\s\up8(︵))的弧长； (4)求阴影面积． 解 (1)∵∠CDB＝30°， ∴∠CAB＝∠CDB＝30°. (2)∵AB是⊙O直径，弦CD垂直于AB，CD＝4eq \r(3)， ∴CE＝DE＝2eq \r(3)， ∵∠COE＝2∠CAB＝60°， ∴sin∠COE＝sin 60°＝eq \f(CE,OC)＝eq \f(2\r(3),OC)＝eq \f(\r(3),2)， ∴OC＝4，∴半径OC为4. (3)∵eq \f(60π×4,180)＝eq \f(4,3)π，∴eq \o(BC,\s\up8(︵))的长度为eq \f(4,3)π. (4)扇形BOC的面积为eq \f(60π×42,360)＝eq \f(8,3)π， 根据题意可知，阴影部分的面积等于扇形BOC的面积， ∴阴影面积为eq \f(8,3)π. 10.(2023·鄂州)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是(　　C　　) A．5eq \r(3)－eq \f(\r(3),3)π B．5eq \r(3)－4π C．5eq \r(3)－2π D．10eq \r(3)－2π 解 连接OD. 在△ABC中，∠ABC＝90°， ∠ACB＝30°，AB＝4， ∴BC＝eq \r(3)AB＝4eq \r(3)， ∴OC＝OD＝OB＝2eq \r(3)， ∴∠DOB＝2∠C＝60°， ∴S阴＝S△ACB－S△COD－S扇形DOB＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(3)－eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(60π×（2\r(3)）2,360)＝ 8eq \r(3)－3eq \r(3)－2π＝5eq \r(3)－2π.故选C. 11.如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.若图中阴影部分的面积为10π，则∠CDE＝ 36° ． 解 连接OC， ∵∠AOB＝90°， CD⊥OA，CE⊥OB， ∴四边形CDOE是矩形， ∴OD＝CE，OC＝DE， ∴△DOE≌△CEO(HL)， ∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积＝10π， ∴eq \f(nπ×102,360)＝10π， ∴n＝36，∴∠BOC＝36°， ∵△DOE≌△CEO， ∴∠DEO＝∠BOC＝36°， ∵CD∥OE， ∴∠CDE＝∠DEO＝36°， 故答案为36°. 12.如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2. (1)求线段EC的长； (2)求图中阴影部分的面积． 解 (1)∵在矩形ABCD中，AB＝2DA， DA＝2， ∴AB＝AE＝4， ∴DE＝eq \r(AE2－AD2)＝2eq \r(3)， ∴EC＝CD－DE＝4－2eq \r(3). (2)∵sin∠DEA＝eq \f(AD,AE)＝eq \f(1,2)， ∴∠DEA＝30°，∴∠EAB＝30°， ∴图中阴影部分的面积为： S扇形FAB－S△DAE－S扇形EAB＝eq \f(90π×42,360)－eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)－eq \f(30π×42,360) ＝eq \f(8π,3)－2eq \r(3). 13.(2023·通辽)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交eq \o(AB,\s\up8(︵))于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为(　　A　　) A.eq \r(2)＋eq \f(π,6) B.eq \r(2)＋eq \f(π,3) C．2eq \r(2)＋eq \f(π,6) D．2eq \r(2)＋eq \f(π,3) 解 作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小， 在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交eq \o(AB,\s\up8(︵))于点D，∴∠AOD＝∠BOD＝30°， 由轴对称的性质，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，∴∠AOE＝90°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∵OA＝1， ∴AE＝eq \r(2)，eq \o(AD,\s\up8(︵))的长＝eq \f(30π×1,180)＝eq \f(π,6)， ∴阴影部分周长的最小值为eq \r(2)＋eq \f(π,6)， 故选A. 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点A在直线l上，AD与直线l相交所得的锐角为60°.点F在直线l上，AF＝8，EF⊥直线l，垂足为点F且EF＝6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点． 发现：AM的最小值为 eq \r(73)－3 ，AM的最大值为 10 ，OB与直线l的位置关系是 平行 ． 思考：矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在AD边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积． 解 发现：由题意可知OM＝OF＝3，AF＝8，EF⊥l， ∴OA＝eq \r(AF2＋OF2)＝eq \r(82＋32)＝eq \r(73). 当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为eq \r(73)－3. 当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值＝eq \r(AF2＋EF2)＝10. 如图1所示，连接OB，过点B作BG⊥l，垂足为G. ∵∠DAF＝60°， ∠BAD＝90°， ∴∠BAG＝30°. ∴GB＝eq \f(1,2)AB＝3.∴OF＝BG＝3， 又∵GB∥OF， ∴四边形OBGF为平行四边形， ∴OB∥FG，即OB∥l. 故答案为eq \r(73)－3；10；平行． 思考：如图2所示，连接OG，过点O作OH⊥EG，垂足为H. ∵∠DAF＝60°，EF⊥AF， ∴∠AEF＝30°. ∴∠GOE＝120°. ∴GE＝2EH＝2×eq \f(\r(3),2)×3＝3eq \r(3). ∴半圆与矩形重合部分的周长＝eq \f(120×π×3,180)＋3eq \r(3)＝2π＋3eq \r(3)； S重合部分＝S扇形GOE－S△GOE＝eq \f(120π×32,360)－ 3eq \r(3)×eq \f(3,2)×eq \f(1,2)＝3π－eq \f(9\r(3),4). $$