2025年甘肃省九年级中考数学一轮复习 能力素养提升课件 命题点精练22　圆的基本性质

2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 1 命题点精练22　圆的基本性质 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 本课结束 41 1.(2022·兰州)如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝(　　C　　) A．70°　 　B．60°　 　C．50°　 　D．40° 解 ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠ACD＋∠D＝90°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B＝50°.故选C. 2.(2024·长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为(　　B　　) A．4 B．4eq \r(2) C．5 D．5eq \r(2) 解 ∵OE⊥AB，AB＝8， ∴AE＝EB＝4， ∴OA＝eq \r(AE2＋OE2)＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).故选B. 3.如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是eq \o(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠D的度数是(　　A　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 解 连接OB，如图， ∵点B是eq \o(AC,\s\up8(︵))的中点，∠AOC＝120°， ∴∠AOB＝eq \f(1,2)∠AOC＝eq \f(1,2)×120°＝60°， ∴∠D＝eq \f(1,2)∠AOB＝30°.故选A. 4．如图，⊙O的半径为1 cm，正六边形内接于⊙O，则图中阴影部分面积为(　　B　　) A.eq \f(π,3) cm2 B.eq \f(π,6) cm2 C.eq \f(π,2) cm2 D.eq \f(π,5) cm2 解 如图，连接BO，CO，OA. 由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形， ∴∠AOB＝∠OBC＝60°， ∴OA∥BC， ∴△OBC的面积＝△ABC的面积， ∴图中阴影部分的面积等于扇形BOC的面积＝eq \f(60π×12,360)＝eq \f(π,6)(cm2)．故选B. 5.(2016·兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(　　C　　) A．45° B．50° C．60° D．75° 解 设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β. ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠ABC＝∠AOC， ∵∠ADC＝eq \f(1,2)β，∠ADC＝α，而α＋β＝180°， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＋β＝180°，,α＝\f(1,2)β，)))解得：β＝120°，α＝60°，即∠ADC＝60°.故选C. 6．(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(　　B　　) A．1.25 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.45 m 解 如图，连接OA， ∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1 m， ∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5 m， 设拱门所在圆的半径为r m， ∴OA＝OC＝r m，而CD＝2.5 m， ∴OD＝(2.5－r) m，∴r2＝0.52＋(2.5－r)2， 解得：r＝1.3，∴拱门所在圆的半径为1.3 m．故选B. 7.(2024·永昌三模)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD. (1)求证：AD＝BC； (2)连接OM，BD，若BD是⊙O的直径，AB＝2AD＝8，求OM的长． (1)证明 ∵AB＝CD， ∴eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(CD,\s\up8(︵))， ∴eq \o(AB,\s\up8(︵))－eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(CD,\s\up8(︵))－eq \o(AC,\s\up8(︵))， 即eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))， ∴AD＝BC. (2)解 如图，BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°. ∵AB＝2AD＝8， ∴AD＝4，BD＝eq \r(16＋64)＝4eq \r(5)， ∴OD＝OB＝2eq \r(5)， 设AM＝x，则BM＝8－x. ∵AD＝BC， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴DM＝BM＝8－x. 在Rt△ADM中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3， ∴DM＝5， ∵DM＝BM，OD＝OB， ∴OM⊥BD. ∴在Rt△ODM中，由勾股定理得OM＝eq \r(DM2－DO2)＝eq \r(25－20)＝eq \r(5). 8.如图，△ABC内接于⊙O，E是eq \o(BC,\s\up8(︵))的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为(　　D　　) A．70° B．65° C．60° D．55° 解 连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝20°， ∵E是eq \o(BC,\s\up8(︵))的中点，∴eq \o(BE,\s\up8(︵))＝eq \o(CE,\s\up8(︵))， ∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝eq \f(1,2)∠BAC＝35°， ∴∠OBE＝∠OBC＋∠EBC＝55°， ∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE＝55°.故选D. 9.(2022·南京)如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1∶2∶4，则∠D＝ 72 °. 解 如图，延长ED到H， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＋∠ADC＝∠BAD＋∠BCD＝180°，　 又∵∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1∶2∶4， ∴∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠CDH的度数之比为1∶2∶4∶3， ∵∠EAB＋∠FBC＋∠GCD＋∠CDH＝360°， ∴∠CDH＝360°×eq \f(3,1＋2＋4＋3)＝108°， ∴∠ADC＝180°－108°＝72°， 故答案为72. 10.(2023·常州)如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝ 4eq \r(2) ． 解 如图，连接CD、OC. ∵∠DAC＝∠ABC， ∴eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(DC,\s\up8(︵))，∴AC＝CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC＝CD＝4，∴AD＝eq \r(2)AC＝4eq \r(2).故答案为4eq \r(2). 11.(2024·永昌三模)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB. (1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． (1)证明 ∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°， ∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°－90°＝90°. (2)解 ∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∴BD垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝eq \f(1,2)∠ADC＝30°， ∵CF∥AD，∴∠F＋∠BAD＝180°， ∴∠F＝90°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∵∠FBC＋∠ABC＝180°， ∴∠FBC＝∠ADC＝60°， ∴BC＝2BF＝4， ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴BC＝eq \f(1,2)BD， ∵BD是圆的直径， ∴圆的半径长是4. 12.(2023·无锡)如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E.DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD. (1)求∠F 的度数； (2)若 DE·DC＝8，求⊙O的半径． 解 (1)如图，连接OD， ∵FD为⊙O的切线， ∴∠ODF＝90°， ∵DF∥AB， ∴∠AOD＝180°－∠ODF＝90°， ∴∠ACD＝eq \f(1,2)∠AOD＝45°， ∵CF＝CD， ∴∠F＝∠CDF＝eq \f(180°－45°,2)＝67.5°. (2)∵OA＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠EAD＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACD＝∠EAD， ∵∠ADE＝∠CDA， ∴△DAE∽△DCA， ∴eq \f(DE,DA)＝eq \f(DA,DC)， ∴DA2＝DE·DC＝8， ∵DA＞0， ∴DA＝2eq \r(2)， ∵OA2＋OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0， ∴OA＝2， 即⊙O的半径为2. 13.如图，AB是⊙O的直径，eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(DC,\s\up8(︵))＝2eq \o(BD,\s\up8(︵))，连接AC、CD、AD.CD交AB于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E. (1)求证：AC＝CD； (2)连接OE，若DE＝2，求OE的长． (1)证明 ∵eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(DC,\s\up8(︵))＝2eq \o(BD,\s\up8(︵))， ∴AD＝CD，B是CD的中点， ∴eq \o(BD,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵)). ∵AB是⊙O的直径，∴eq \o(ADB,\s\up8(︵))＝eq \o(ACB,\s\up8(︵))， ∴eq \o(ADB,\s\up8(︵))－eq \o(BD,\s\up8(︵))＝eq \o(ACB,\s\up8(︵))－eq \o(BC,\s\up8(︵)). 即eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))，∴AD＝AC，∴AC＝CD. (2)解 如图，连接BD， ∵AD＝DC＝AC， ∴∠ADC＝∠DAC＝60°，　 ∵CD⊥AB， ∴∠DAB＝eq \f(1,2)∠DAC＝30°，　 ∵BM切⊙O于点B，AB是直径， ∴BM⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴BM∥CD， ∴∠AEB＝∠ADC＝60°， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△BDE中， ∵∠DBE＝90°－∠DEB＝30°， ∴BE＝2DE＝4， ∴BD＝eq \r(BE2－DE2)＝eq \r(16－4)＝2eq \r(3)， 在Rt△BDA中， ∵∠DAB＝30°， ∴AB＝2BD＝4eq \r(3)， ∴OB＝eq \f(1,2)AB＝2eq \r(3)， 在Rt△OBE中，OE＝eq \r(OB2＋BE2)＝eq \r(12＋16)＝2eq \r(7). $$