湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考（四）数学试题

湖南师大附中2025届高三月考试卷（四） 数学 时量：120分钟 满分：150分得分： 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（为虚数单位），则的模（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知命题；命题是质数，则（ ） A. 均是真命题 B. 均是真命题 C. 均是真命题 D. 均是真命题 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 5. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长等于2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 6. 已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥内接于直径为的球，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程恰有两个根为，且分别满足和，则的值为（ ） A. B. C. 57 D. 77 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数与，下列说法正确的是（ ） A. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的，并向左平移个单位可以得到的图象 B. 与的图象存在相同的对称中心 C. 与在区间上单调性相同 D. 当时，与的图象有且仅有个交点 10. 已知三次函数，则（ ） A. 当时，函数为单调递增函数 B. 当时，函数的图象关于对称 C. 存在，使得函数图象关于直线对称 D. 函数有三个零点的一个充分条件是 11. 已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为分别交轴于两点，设，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 四点共圆 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则____________. 13. 若数列的前项和是首项为，公比为的等比数列，则的前项积为__________. 14. 现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记锐角三角形的内角的对边分别为，的面积为，已知. （1）求角； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，点分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动. （1）抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止.抽到卡片送精美校园明信片一张，抽到卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有卡片的概率. （2）领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前个福袋，自第个开始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设，记乙同学摘到最大的福袋概率为. ①若，求； ②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取） 19. 已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. （1）求点，的坐标； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 湖南师大附中2025届高三月考试卷（四） 数学 时量：120分钟 满分：150分得分： 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）. 【17题答案】 【答案】（1） 证明：取的中点为，连接， 点是的中点，则且， 又点是的中点，底面是矩形， 则且， 且四边形是平行四边形，， 又平面在平面内，平面； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；②的最大值为，的值为. 【19题答案】 【答案】（1）， （2）证明如下： 设， 则过，且斜率为的直线方程为， 联立， 消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上， 即有，所以， 因为， 则 ， 由（1）知， 所以数列是以3为首项，为公比的等比数列； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $