2025年山东省济南九年级中考数学一轮复习 教材考点复习 训练——解直角三角形及其应用

2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——解直角三角形及其应用 学生版 知识清单梳理 知识点一　锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则sin A＝，cos A＝，tan A＝. 2.特殊角的三角函数值 （1）sin 30°＝ ；cos 30°＝；tan 30°＝. （2）sin 45°＝；cos 45°＝；tan 45°＝ . （3）sin 60°＝；cos 60°＝ ；tan 60°＝. 知识点二　解直角三角形 3.解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形. 4.直角三角形中的边角关系 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边. （1）三边关系为 . （2）三角的关系为 . （3）边角关系为sin A＝，cos A＝，tan A＝. 知识点三　解直角三角形的应用 5.（1）仰角、俯角：如图1，图中仰角是 ，俯角是 . （2）坡度（坡比）、坡角：如图2，坡角为 ，坡度（坡比）i＝tan α＝ . （3）方向角：如图3，A点位于O点的 方向，B点位于O点的 方向，C点位于O， 点的 方向. 　 高频考点过关 考点一　锐角三角函数 1.（2024槐荫二模）如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上.☉O过点A，E且与AB交于点C，点D是☉O上一点，则tan∠CDE＝ . 2.（2024市中一模）计算：－2cos 60°＋＋（π－2 024）0. 考点二　解直角三角形 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是（　 　） A.3 B.6 C.8 D.9 4.在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2. （1）求证：AD＝CD； （2）若tan B＝3，求线段AB的长. 考点三　解直角三角形的应用 考法一　仰角、俯角问题 5.（2022济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上点C测得最高点A的仰角为22°，再向前70 m至点D，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（　 　）（精确到1 m.参考数据：sin 22°≈0.37， tan 22°≈0.40，sin 58°≈ 0.85，tan 58°≈1.60） A.28 m　 B.34 m　 C.37 m　 D.46 m 6.（2024历城一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝8 m，CD的坡度为i＝1∶，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°. （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度.（结果精确到1 m）（参考数据： tan 27°≈0.5，≈1.7） 考法二　坡度、坡角问题 7.（2024东南片区一模）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600 m高的山峰，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟.（结果精确到0.1 min） （参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33） 考法三　方向角问题 8.（2023历下九校联考）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　 　） A.200tan 70°米　 B.米 C.200sin 70°米　 D.米 9.（2023章丘二模）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上. （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.（结果保留根号） （参考数据：sin 37°＝cos 53°≈0.60，cos 37°＝sin 53°≈0.80，tan 37°≈2，tan 76°≈4） 考法四　实物模型问题 10.（2024历下一模）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下： 活动 课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够.现在为使房前的纳凉区域增加到2.76 m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC的长. 测量数据抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB长为4 m，其与墙面的夹角∠BAD＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5 m.通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76 m宽的阴影DF，如图3，求出BC的长即可. 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离； （2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC长度. 运算过程 ........ 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分.（结果精确到0.01 m，参考数据：sin 70°≈0.940，cos 70°≈0.342，tan 70°≈2.747，≈1.732） 达标演练检测 1.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（　 　）（参考数据：tan 43°≈0.9，sin 43°≈0.7，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，结果保留整数） A.188 m　 B.269 m C.286 m D.312 m 2. 如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢（　 　） A.（24－12） m B.（24－8） m C.（24－6） m D.（24－4） m 3. （2023槐荫二模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为 . 4. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A处 海里.（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 5.（2024历下一模）计算：｜－2｜－（π－2）0＋－4tan 45°. 6.（2023历下二模）如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1∶2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡CF，点E、点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF行走了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°.（测角器的高度忽略不计，结果保留根号.参考数据：sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25） （1）求点D到地面的垂直高度DE的长； （2）求楼AB的高度. 2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 ——解直角三角形及其应用 学生版 知识清单梳理 知识点一　锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则sin A＝，cos A＝，tan A＝. 2.特殊角的三角函数值 （1）sin 30°＝　　；cos 30°＝；tan 30°＝. （2）sin 45°＝；cos 45°＝；tan 45°＝　1　. （3）sin 60°＝；cos 60°＝　　；tan 60°＝. 知识点二　解直角三角形 3.解直角三角形 由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形. 4.直角三角形中的边角关系 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边. （1）三边关系为　a2＋b2＝c2　. （2）三角的关系为　∠A＋∠B＝∠C　. （3）边角关系为sin A＝，cos A＝，tan A＝. 知识点三　解直角三角形的应用 5.（1）仰角、俯角：如图1，图中仰角是　∠1　，俯角是　∠2　. （2）坡度（坡比）、坡角：如图2，坡角为　α　，坡度（坡比）i＝tan α＝　　. （3）方向角：如图3，A点位于O点的　北偏东30°　方向，B点位于O点的　南偏东60°　方向，C点位于O， 点的　北偏西45°（或西北）　方向. 　 高频考点过关 考点一　锐角三角函数 1.（2024槐荫二模）如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上.☉O过点A，E且与AB交于点C，点D是☉O上一点，则tan∠CDE＝　　. 2.（2024市中一模）计算：－2cos 60°＋＋（π－2 024）0. 解：－2cos 60°＋＋（π－2 024）0＝2－2×＋3＋1＝5. 考点二　解直角三角形 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是（　B　） A.3 B.6 C.8 D.9 4.在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2. （1）求证：AD＝CD； （2）若tan B＝3，求线段AB的长. （1）证明：∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°.在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AE＝4， ∴∠DEA＝60°，DE＝AE＝2.∵EC＝2，∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠C.又∵∠EDC＋∠C＝∠DEA＝60°，∴∠C＝30°＝∠DAE，∴AD＝CD. （2）解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC＝∠AFB＝90°. ∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝6.在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，∠C＝30°，∴AF＝AC＝3.在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，tan B＝3，∴BF＝＝1，∴AB＝＝. 考点三　解直角三角形的应用 考法一　仰角、俯角问题 5.（2022济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上点C测得最高点A的仰角为22°，再向前70 m至点D，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（　C　）（精确到1 m.参考数据：sin 22°≈0.37， tan 22°≈0.40，sin 58°≈ 0.85，tan 58°≈1.60） A.28 m　 B.34 m　 C.37 m　 D.46 m 6.（2024历城一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝8 m，CD的坡度为i＝1∶，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°. （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度.（结果精确到1 m）（参考数据： tan 27°≈0.5，≈1.7） 解：（1）由题意得：DE⊥EC， 在Rt△DEC中，CD的坡度为i＝1∶，CD＝8， ∴tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°， ∴DE＝CD＝4（m），即DE的长为4 m. （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F. 根据题意得：DE⊥EA，AB⊥AE， ∴四边形AEDF是矩形， ∴DF＝EA，FA＝DE＝4 m， 设AC＝x m，在Rt△DEC中， EC＝CD·cos∠DCE＝8×cos 30°＝8×＝4（m）， ∴DF＝AE＝CE＋AC＝x＋4， 在Rt△ACB中，∠BCA＝45°， ∴AB＝AC·tan∠BCA＝AC·tan 45°＝x， 在Rt△BDF中，∠BDF＝27°， ∴BF＝DF·tan∠BDF＝DF·tan 27°≈0.5（x＋4）， ∵BF＋AF＝AB，∴0.5（x＋4）＋4＝x，解得：x＝4＋8≈15，∴AB≈15 m.答：塔AB的高度约为15 m. 考法二　坡度、坡角问题 7.（2024东南片区一模）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600 m高的山峰，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计） （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟.（结果精确到0.1 min） （参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33） 解：（1）如图，过B点作BC⊥AF于点C，BE⊥DF于点E，则四边形BEFC是矩形. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝300 m， ∴EF＝BC＝AB＝150 m， ∴DE＝DF－EF＝600－150＝450（m）， 答：登山缆车上升的高度DE为450 m. （2）在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∠DBE＝53°，DE＝450 m，∴BD＝≈＝562.5（m）， ∴从山底A处到达山顶D处大约需要： ＋＝19.375≈19.4（min）， 答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4 min. 考法三　方向角问题 8.（2023历下九校联考）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P，Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　B　） A.200tan 70°米　 B.米 C.200sin 70°米　 D.米 9.（2023章丘二模）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上. （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.（结果保留根号） （参考数据：sin 37°＝cos 53°≈0.60，cos 37°＝sin 53°≈0.80，tan 37°≈2，tan 76°≈4） 解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－37°－53°＝90°. 在Rt△ABC中，sin B＝， 所以AC＝AB·sin 37°≈25×0.6＝15（海里）. 答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里. （2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，由题意易知，D，C，M在一条直线上. 在Rt△ACM中，CM＝AC·sin∠CAM≈15×0.8＝12（海里），AM＝AC·cos∠CAM≈15×0.6＝9（海里）. 在Rt△ADM中，tan∠DAM＝， 所以MD＝AM·tan 76°≈36（海里）. 所以AD＝＝＝9（海里）， CD＝MD－MC＝24（海里）. 设缉私艇的速度为v海里/小时，则有＝， 解得v＝6.经检验，v＝6是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时6海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截. 考法四　实物模型问题 10.（2024历下一模）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下： 活动 课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够.现在为使房前的纳凉区域增加到2.76 m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC的长. 测量数据抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB长为4 m，其与墙面的夹角∠BAD＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5 m.通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76 m宽的阴影DF，如图3，求出BC的长即可. 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离； （2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC长度. 运算过程 ........ 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分.（结果精确到0.01 m，参考数据：sin 70°≈0.940，cos 70°≈0.342，tan 70°≈2.747，≈1.732） 解：（1）如图1，作BM⊥AD于点M， ∵AB＝4 m，∠BAD＝70°. ∴在Rt△BAM中，sin∠BAM＝， 即sin 70°＝， ∴BM＝sin 70°×4≈0.940×4＝3.76 m， 答：遮阳篷前端B到墙面AD的距离约为3.76 m. 　　 （2）解：如图2，作BM⊥AD于点M，CH⊥AD于点H，延长BC交DE于点K，则BK⊥DE. ∴四边形BMHC、四边形HDKC是矩形， 由（1）得BM＝3.76 m， ∴DK＝HC＝BM＝3.76 m， 在Rt△ABM中，cos∠BAM＝， 即cos 70°＝， ∴AM＝cos 70°×4≈0.342×4＝1.368（m）， 由题意，得DF＝2.76 m， ∴FK＝DK－DF＝3.76－2.76＝1（m）， Rt△CFK中，tan∠CFK＝，即tan 60°＝， ∴CK＝1×tan 60°≈1×1.732＝1.732（m）， ∴BC＝AD－AM－CK＝3.5－1.368－1.732＝0.40（m）， 答：挡沿部分BC的长约为0.40 m. 达标演练检测 1.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（　C　）（参考数据：tan 43°≈0.9，sin 43°≈0.7，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，结果保留整数） A.188 m　 B.269 m C.286 m D.312 m 2. 如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢（　B　） A.（24－12） m B.（24－8） m C.（24－6） m D.（24－4） m 3. （2023槐荫二模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为 　　. 4. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A处　140　海里.（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 5.（2024历下一模）计算：｜－2｜－（π－2）0＋－4tan 45°. 解：｜－2｜－（π－2）0＋－4tan 45°＝2－1＋3－4×1＝0. 6.（2023历下二模）如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1∶2（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡CF，点E、点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF行走了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°.（测角器的高度忽略不计，结果保留根号.参考数据：sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25） （1）求点D到地面的垂直高度DE的长； （2）求楼AB的高度. 解：（1）∵i＝1∶2，即＝.设DE＝x米，则CE＝2x米.由勾股定理得DE2＋CE2＝CD2，即x2＋4x2＝202，解得x＝4.答：点D到地面的垂直高度DE的长为4米. （2）如图，过点D作DG⊥AB于点G. ∵DE⊥BE，AB⊥BE，∴四边形DEBG是矩形，∴BG＝DE，DG＝BE.∵AB⊥BE，∠ACB＝45°，∴AB＝BC.由（1）知DE＝4米，CE＝2DE＝8米.设AB＝BC＝y米，∴DG＝BE＝CE＋BC＝（8＋y）米，AG＝AB－BG＝AB－DE＝（y－4）米.在Rt△ADG中，AG＝DG·tan 14°，即y－4≈（8＋y）×0.25，解得y＝8. 答：楼AB的高度为8米. 学科网（北京）股份有限公司 $$