陕西省汉中市汉台中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

高二第二次月考数学试题* 1 / 4 汉台中学 2023 级高二年级第二次月考数学试题 命题 曾正乾 审题 张红东 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．设    ,4,3 , 3,2,a x b z  ，且 a //b ，则 xz 等于（ ） A．-4 B．9 C．-9 D． 64 9 2．抛物线 2y x 的准线方程是（ ） A． 1 4 x   B． 1 2 x   C． 1 4 y   D． 1 2 y   3．空间内有三点      3,1, 4 , 2,1,1 , 1,2,2P E F ，则点 P 到直线 EF 的距离为（ ） A． 14 B．3 2 C． 3 D． 2 3 4．5 名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同报名方法共有（ ） A．10 种 B．20 种 C．25 种 D．32 种 5．某椭圆的两焦点坐标分别为 1( 5,0)F  ， 2 ( 5,0)F ， P 是椭圆上一点，若 1 2PF PF ， 1 2 8PF PF  ， 则该椭圆的方程是（ ） A． 2 2 1 7 2 x y   B． 2 2 1 2 7 x y   C． 2 2 1 9 4 x y   D． 2 2 1 4 9 x y   6． 6 1 x x       展开式中常数项为（ ） A．-40 B．40 C．-20 D．20 7．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M，N 分别为棱 1 1C D ， 1CC 的中点，下列判断中正确的个数为（ ） ①直线 1B M BN ； ② AD 平面 1 1CDD C ； ③BN∥平面 ADM. A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知双曲线 2 2 2 2 : 1 x y C a b   ，两焦点分别为 1F ， 2F ，过右焦点 2F 作直线 l交右支于A ， B 点，且 2 5 3 AB AF ，若 1 π 3 F AB  ，则双曲线C的离心率为（ ） 高二第二次月考数学试题* 2 / 4 A． 3 2 B． 5 3 C． 7 5 D． 2 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分． 9．满足不等式  2 1A 7 N , 3n n n n     的 n 的值可为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．设两条不同直线 1l ， 2l 的方向向量分别为 1e ， 2e ，两个不同平面 1 ， 2 的法向量分别为 1n ， 2n ，下列命 题正确的是（ ） A．若 1 2//e e ，则 1 2l l// B．若 1 1e n ，则 1 1/ /l  C．若 1 1/ /e n ，则 1 1l  D．若 1 ， 2 的夹角为60，则 1 2 1 cos , 2 n n  11．某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有7 个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相 声不排在最后一位，则不同的排法种数为（ ） A． 6 1 1 5 6 5 5 5A C C A B． 7 6 7 6A 2A C． 6 4 5 6 4 5A A A D． 7 6 5 7 6 5A 2A A  第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 若直线 2y x 是双曲线   2 2 2 1 0 y x b b    的一条渐近线，则b ______. 13．甲、乙等 6 位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排 2 位同学，每位同学只去一个社 区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有 . 14．若   9 2 x 的展开式中二项式系数和为 A，所有项系数和为 B，则 A B  . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（13 分） 已知空间三点 ( 2,0,2), ( 1,1,2), ( 3,0,4)A B C   ，设 ,a AB b AC  . （1）求 a 和 b 的夹角 的余弦值； （2）若向量 ka b 与 2ka b 互相垂直，求 k 的值. 高二第二次月考数学试题* 3 / 4 16．（15 分）（1）计算 ； （2）已知   7 7 0 1 71 2x a a x a x    . ①求 1 2 3 7a a a a   ； ②求 0 2 4 6a a a a   17．（15 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的右焦点 F 与抛物线 2 4y x 的焦点重合，且椭圆 的离心率为 3 3 ． （1）求椭圆C的方程； （2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于 M，N 两点， 8MN  ，求直线方程． 18．（17分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵ 所在平面垂直， M 是CD ︵ 上异于 C，D 的点． (1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC； (2)当三棱锥 M－ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所 成二面角的正弦值． 4 4 4 4 4 5 6 9C C C C .    高二第二次月考数学试题* 4 / 4 19. （17 分）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装 饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图 1 所示的一种椭圆洞窗，由椭 圆 1C 和圆 2C 组成， 1F ， 2F 是椭圆的两个焦点，圆 2C 以线段 1 2F F 为直径， （1）设计如图所示的洞窗，椭圆 1C 的离心率应满足怎样的范围？ （2）经测量椭圆的长轴为 4 分米，焦距为 2 分米. （i）从 1F 射出的任意一束光线 1F A照在左侧距椭圆中心 4 分米的竖直墙壁上，如图 2 所示.建模 小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线 AB，B 为切点，然后用量角器探究猜测 1AF B 是定值， 请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组同学想设计一个如图 3 的四边形装饰，满足：点 P 是 1C 上的一个动点，P，Q 关 于原点对称，过 P 和Q分别做圆的切线，交于 R，S，求四边形装饰 PRQS 面积S的取值范围. 2023级高二年级第二次月考数学参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 g C A D B C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 AB AC BD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 122: 13.18: 14.513. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15题【解析】(1)由点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),得a=AB=1,L,0),b=AC=(-1,0,2),所以 COs0=_ a.b -1 0 同V2×5 10,所以ā和方夹角0的余弦值为- 6分 10 (2)由(1)可得ā+b=(k-1,k,2),a-25=(k+2,k,4): 因为向量kā+i与ka-2五互相垂直，则(a+b)(ā-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8=0, 由整理可得2+长-10=0：解得k=2成长=多所以k的值为2或 5 Γ2 -13分 16题【解折】1)由C+C+Cg++C=C+C+Cg++C=Cg+Cg++C=C5-10x9x8x7x =252 1×2×3×4×5 -5分 (2)①在(（1-2x）=a+ax+.…+a,x2中，取x=0得a。=1,-7分 取x=1得a6+a+a42+43+.+a,=-1…①，所以a+a2+a3+.…+a,=-1-a=-2.-----10分 ②取x=-1得4-a1+42-4+.-a,=3'=2187…②，①+②得2(a+42+a4+a6)=2186, 所以a,+a2+a4+a6=1093.-- --15分 17题【解析】(1)抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，所以椭圆中c=1,-1分 因为椭圆的离心率为5，即e=C_1-5,所以a=5,公=d-心2=3-1=2,4分 a43 所以椭圆方程为父+少严 =1 5分 32 (2)当直线斜率不存时，易知此时MW=4,不合题意：-6分 所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为y=k(x一1)，如图所示： =x-)得r-(22+4到r+=0, y2=4x 联立 -8分 设M(G,),N(:,),则x+x= 2k2+4 -10分 k2 根据焦点弦公式可得MN=5+5+p=2+4+2=8, -12分 k2 解得k2=1,k=1, -14分 所以直线方程为y=x-1或y=-x+1 -15分 18题【解析】(I)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD 因为BC⊥CD,BCC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. -3分 因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BCnCM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DMC平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. 6分 (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系Dz. —-8分 当三棱锥M一ABC体积最大时，M为CD的中点. 由题设得D0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M0,1,1), AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0.0). 10分 nM=0, -2x+y+z=0, 设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则 即 nB=0, (2y=0. 可取n=(1,0,2). 13分 DA是平面MCD的法向量， -14分 因此，cos(m,n=n1 nDA 5,sin (n.Da)25 5 16分 所以面MB与面MCD所成二面角的正弦值是 5 17分 19题【解析】 D由题知椭圆满足b>c>0→>→a-d2>d2→d>2c2→e<分放e0, 2 -3分 2 2）(i)由测量数据可得2a=4,2c=2,故C:+三，F-,0,墙壁所在直线x三4 4分 易知直线FA斜率存在，设FA:y=k(x+1),可得A(-4,-3k),设切线AB:y+3k=m(x+4), 0+3=7m(+4到则3+4m）r+8m4m-3x+44m-3P-12=0,-5分 3x2+4y2=12 联立 相切可得△=64m2(4m-3k)2-16(3+4m2)[(4m-3k)2-3]=0, 则4m2(4m-3k)2-(3+4m2)(4m-3k)2+3(3+4m2)=0,、则(4m-3k)2=3+4m2>0,-6分 切点xg= 4m(4m-3k)_4m(4m-3k)_ 4m 3+4m2 (4m-3k)2 4m-3k -7分 4m2(3k-4m)+(4m-3k)3+42） 12km2-16m3+12m+16m3-9k-12am2 yR= 3+4m 3+4m2 12m-9k34m-3k)_3 3+4m2 (4m-3k)24m-3k' 8分 故B趴 4m 3k 3 FA=(-3,-3k),FB·FA=0,故FB⊥FA, 则∠AEB= -10分 (ii)设动点P(xoyo),则Q(-x,一%)，不妨设过P(xo,yo)点的两条切线法向量为n=(a,b)，11分 过Q(-x,-%)点的两条切线法向量为乃=(a2,b),均为非零向量， 故切线方程为a,(x-x)+b(y-%)=0和a(x+x)+b(y+o)=0, 则满足 +b-1和色5+=1 Va+6☒ VG+b房 -12分 由此可知两组切线分别对应平行，四边形PROS是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，垂足为H,G, 由于P,Q关于原点对称，故R,S也关于原点对称，又OR=OS,OG⊥PR,OH⊥QS, 故△ROG兰△SOH,故PR=PG+RG=PK+KS=PS,故平行四边形PROS是菱形. RG 13分 H Q 下面研究菱形PRQS的面积：过O作PR垂线GH,则GH=2,由(i)可知∠POR=),故△POR~△PG0! 2d2 设OP=d,则有： =√PR-d,解得PR= d d2-1' 则S= Vd2-1 其中d2=+坊=3+号，d2的取值范围是[3,4， -15分 4 2t 2 S= 设dP=1,°V-11在[3,4上是单调函数，故s的取值范围是 -17分 V2+ t 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 汉台中学 2023 级高二上学期第二次月考 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴二维码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！