北京市八一学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷

北京市八一学校2025届高三年级12月月考 2024.12.04 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，且，那么的值可以是 A. B. C. D. 2. 下列函数中，定义域为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在上单调递减 5. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知与是非零向量，且，则是与垂直的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 7. 已知直线与圆有公共点,则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 9. 已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 已知，其中为虚数单位，，则_________． 12. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，则_________；_________． 13. 已知正方形的边长为2，以为圆心的圆与直线相切．若点是圆上的动点，则的最大值是_________． 14. 已知，且双曲线与椭圆有共同的焦点，则双曲线的离心率为__________． 15. 给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论： ①； ②点在圆的内部； ③曲线关于原点对称，也关于直线对称； ④曲线至少经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确命题的序号为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 17. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由（参考数据：） 19. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 20. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为. （1）求椭圆的方程; （2）设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围. 21. 设数列：．已知，定义数表，其中 （1）若，写出； （2）若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”； （3）若数列与中的1共有个，求证：数表中1的个数不大于． 北京市八一学校2025届高三年级12月月考 2024.12.04 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 【11题答案】 【答案】1 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 63 【13题答案】 【答案】8 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 选条件①：三角形不存在，不满足题意； 若选条件②：边上高线的长为． 若选条件③：三角形有两解，不符合题意． 【18题答案】 【答案】（1） （2）存在，理由如下： 设，则， 令，可得， 当时，，当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且， 所以时，， 若切线相互垂直，则存在，且， 存在满足题意，例如. 【19题答案】 【答案】（1），有两个零点 （2）证明如下： 当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 证明： 充分性： 若，由于 令，由此数列． 由于． 从而有，即充分性成立； 必要性： 若． 由于是不同的数列， （1）设，对任意的正整数， ①若，可得， 所以． ②若，可得， 所以． 同理可证时，有成立． （2）设，对任意的正整数， 若，可得， 所以有，则是相同的数列，不符合要求． 若，可得， 所以有，则是相同的数列，不符合要求． 同理可证时，是相同的数列，不符合要求． 综上，数表满足“”的充分必要条件为“”； （3） 证明： 由于数列中的1共有个，设中1的个数为， 因此中0的个数为，中1的个数为，中0的个数为， 若，则数表的第行为数列， 若，则数表的第行为数列； 所以数表中1的个数为； 因此，数表中1的个数不大于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $