专题6.6 余角和补角（2大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题6.6 余角和补角（2大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】余角和补角的定义 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 【知识点2】余角和补角的性质 （1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的补角相等． 【要点提示】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°． 知识点与题型目录 【题型1】求一个角的余角......................................................1 【题型2】求一个角的补角......................................................2 【题型3】与余角、补角有关的计算..............................................2 【题型4】同(等)角的余(补)角相等的应用........................................3 【题型5】直通中考............................................................4 【题型6】拓展延伸............................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】求一个角的余角 【例1】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【变式1】（24-25七年级上·四川雅安·期中）若两个角和为90度，则这两个角互余．已知，，则与的关系是（   ） A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，与互余，则 ． 【题型2】求一个角的补角 【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，是的平分线，过点O作． (1)的补角是______，的余角是______； (2)若，求的度数． 【变式1】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（12-13七年级下·河南郑州·期中）与互余，与互补，，那么 ． 【题型3】与余角、补角有关的计算 【例3】（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【变式1】（2024七年级上·湖南长沙·专题练习）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角为 度． 【题型4】同(等)角的余(补)角相等的应用 【例4】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是平角的平分线，，那么下列式子中错误的是(　　　) A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型5】直通中考 【例1】（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 【题型6】拓展延伸 【例1】（20-21七年级上·广东深圳·期末）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【例2】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.6 余角和补角（2大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】余角和补角的定义 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 【知识点2】余角和补角的性质 （1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的补角相等． 【要点提示】 (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°． 知识点与题型目录 【题型1】求一个角的余角......................................................1 【题型2】求一个角的补角......................................................3 【题型3】与余角、补角有关的计算..............................................5 【题型4】同(等)角的余(补)角相等的应用........................................7 【题型5】直通中考...........................................................10 【题型6】拓展延伸...........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】求一个角的余角 【例1】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 解：（1）平分， ， 与互余， ， ， ； （2）与互余， ， ， 平分， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·四川雅安·期中）若两个角和为90度，则这两个角互余．已知，，则与的关系是（   ） A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 【答案】B 【分析】本题考查了互余，解题关键是掌握若两个角的和等于，即这两个角互余． 根据已知条件，得出，即可得到答案． 解：∵，， ， 与互余， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，与互余，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余两角的度数之和为90度，进行求解即可． 解：． 故答案为：． 【题型2】求一个角的补角 【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，是的平分线，过点O作． (1)的补角是______，的余角是______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题主要考查补角，余角的定义，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据补角，余角的定义即可得到答案； （2）根据题意得到，再由角平分线的定义以及平行的性质即可得到答案． 解：（1）根据补角，余角的定义，的补角是， 是的平分线， ， 故的余角是和； （2）， ． ， ， ， ， ， 是的平分线， ． ， ， ． 【变式1】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的补角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、与三角板有关的角度的计算、求补角，先由平行线的性质得出，，求出，得出，即可得解． 解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：B． 【变式2】（12-13七年级下·河南郑州·期中）与互余，与互补，，那么 ． 【答案】/153度 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 解：∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 【题型3】与余角、补角有关的计算 【例3】（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答． 解：（1）∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）， 理由：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（2024七年级上·湖南长沙·专题练习）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要查了三角板中特殊角，余角的性质，补角的性质．根据三角板中特殊角，余角的性质，补角的性质解答，即可求解． 解：左起第1个图形，，正确； 左起第2个图形，根据同角的余角相等，可以得到，正确； 左起第3个图形，由图可知，所以，正确； 左起第4个图形，由图可知，显然与不相等，错误； 所以正确的个数有个． 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角为 度． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角的概念以及运用．设这个角的度数是，这个角的补角为，余角为．根据“一个角的余角等于这个角的补角的”列方程求解即可．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为．解题的关键是能准确的从题中找出角之间的数量关系，从而计算出结果． 解：设这个角的度数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个角为度． 故答案为：． 【题型4】同(等)角的余(补)角相等的应用 【例4】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解一元一次方程，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质及角的和差列出方程式． （1）先说明，再说明，从而得出，再根据，即可得到； （2）设，则，，列方程即可求得． 解：（1）；理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ． （2）设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是平角的平分线，，那么下列式子中错误的是(　　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查补角与余角的定义，熟练掌握补角和余角的定义是解决本题的关键．由射线是平角的平分线，得，选项D不符合题意．根据同角的余角相等，得，，选项A不符合题意．同理可得，选项B不符合题意， C中两角互余不能推断相等，选项C符合题意． 解：∵射线是平角的平分线， ．故选项D不合题意． A、． 又， ． 故选项A不符合题意． B、，， ． 故选项B不符合题意． C、， ∴． 无法证明． 故选项C符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型5】直通中考 【例1】（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可． 本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键． 解：。 则的补角为． 故选：D． 【例2】（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为 【答案】135°/135度 【分析】根据三角板及其摆放位置可得，求解即可． 解：， ， 故答案为：135°． 【点拨】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型6】拓展延伸 【例1】（20-21七年级上·广东深圳·期末）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 【点拨】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． 【例2】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 解：（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$