精品解析：广东省汕头市潮南区峡山街道联考2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024~2025学年度第一学期 九年级期中考试数学试卷（S） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 关于的一元二次方程（为实数）根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，可判断根的情况. 【详解】一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即，当 时，方程有2个实数根，当时，方程有1个实数根（2个相等的实数根），当 时，方程没有实数根.方程根的判别式，所以有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的判别式判断根的个数. 2. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 3. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 4. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5. 是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. B. 2017 C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，本题采用了“整体代入”数学思想解题．将m代入得到，将变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 6. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，由连续两次降价，得每次降价后价格变为原价的倍，因此两次降价后价格为原价乘以，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元， ∴， 故选：B． 7. 如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，锐角三角函数的应用，先求解，再利用中心对称图形的性质可得答案. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∴， 故选：A 8. 若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 12或 D. 6或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可． 【详解】解方程得， 当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为； 当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为； 则该直角三角形的面积是6或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键． 9. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示： 当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于的方程有一个根1，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有一个根1， ∴， 故答案为：． 12. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 【答案】-1或2或1 【解析】 【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得． 【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a1=-1，a2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1或2或1 13. 如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形，可得，，，证明，求解，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 由旋转可得：，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为（-1，-2）， 将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2）， 旋转后的抛物线为， 再向下平移5个单位，即． ∴新抛物线的顶点（1，-3） 故答案是：（1，-3）． 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键． 15. 观察下列图形规律：当_______时，图形“”的个数是“”的个数的倍． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形、数字规律问题及解一元二次方程，找出图形之间的数字规律是关键.先分别得出图形“”和“”的个数的规律，再根据图形“”的个数是“”的个数的倍列方程计算即可得答案． 【详解】解：当时，“”的个数是，“”的个数是， 当时，“”的个数是，“”的个数是， 当时，“”的个数是，“”的个数是， 当时，“”的个数是，“”的个数是， …… ∴第个图形时，“”的个数是，“”的个数是， ∴图形“”的个数是“”的个数的倍时，， 解得：或（舍去）， 故答案为： 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 如图，在中，，点、点分别为、的中点，连结，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 四边形是菱形，理由如下： ∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， 又∵、分别是是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，全等三角形的判定与性质，先根据旋转的性质得出，进而得出，可判定，再证明四边形是平行四边形，根据，可得出结论． 【详解】略 17. 已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)． （1）确定此抛物线的解析式； （2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2 -2x-3；（2）当x=1时，y有最小值-4． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得|a|的值，因为抛物线开口向上，所以a＞0，进而得到抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式变换成顶点式即可得到答案. 【详解】（1）由抛物线过（0，-3）， 得：-3=|a|-4， 解得|a|=1，即a=±1， ∵抛物线开口向上， ∴a=1， 故抛物线的解析式为y=x2 -2x-3； （2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x-1）2-4， ∴当x=1时，y有最小值-4． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 18. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段； （3）连接，求出四边形的面积． 【答案】（1）作图如下： （2）作图如上； （3）24． 【解析】 【分析】（1）连接AO并延长一倍即可得到； （2）由于是一个正方形对角线，再找一个以为顶点的正方形，与相对的点即为，连接线段； （3）连接，由求出四边形面积． 【详解】（1）作出点A关于点O的对称点； （2）连接，画出线段； （3）连接，过点A作于点E，过点作于点F； ． ∴四边形的面积是24． 【点睛】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键． 19. 如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案； （2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式． 【详解】解：（1）． ∵图象的对称轴为直线， ∴， ∴． （2）∵， ∴二次函数的表达式为， ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点， ∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 21. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，． 【问题提出】 （1）如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______； 【尝试解决】 （2）在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积； 【类比应用】 （3）如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长． 【答案】（1）等边三角形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出BD＝DB′，∠BDB′＝60°，所以△BDB′是等边三角形； （2）求出等边三角形的边长为3，求出三角形BDB′的面积即可； （3）将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，则△BDM≌△CDP，得出MD＝PD，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，证明△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长＝AB+AC＝4． 【小问1详解】 解：∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′， ∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°， ∴△BDB′是等边三角形； 故答案为：等边三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知，△BCD≌△B′AD， ∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB′的面积， ∵BC＝AB′＝1， ∴BB′＝AB+AB′＝2+1＝3， ∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝； 【小问3详解】 解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP， ∴△BDM≌△CDP， ∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC， ∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°， 又∵△ABC等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°， 同理可得∠NCD＝90°， ∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°， ∴∠DCN+∠DCP＝180°， ∴N，C，P三点共线， ∵∠MDN＝60°， ∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°， 即∠MDN＝∠PDN＝60°， ∴△NMD≌△NPD（SAS）， ∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4． 故△AMN的周长为4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，类比思想等．熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键． 22. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是 【解析】 【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可; （2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可. 【详解】解：（1）将两点分别代入，得 解得． 所以抛物线的解析式是． （2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，， 作于H． ∵是等腰直角三角形， ∴和也是等腰直角三角形， ∴， ∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1． ②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， 所以． 所以． 将点代入， 得． 整理，得． 因式分解，得． 解得，或（与点P重合，舍去）． 当时，． 所以点C的坐标是． 【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期 九年级期中考试数学试卷（S） 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 关于的一元二次方程（为实数）根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 2. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. B. 2017 C. D. 2025 6. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 8. 若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 12或 D. 6或 9. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 10. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于的方程有一个根1，那么__________． 12. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 13. 如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为______． 14. 在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______． 15. 观察下列图形规律：当_______时，图形“”的个数是“”的个数的倍． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 如图，在中，，点、点分别为、的中点，连结，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并说明理由． 17. 已知开口向上的抛物线y＝ax2－2x＋|a|－4经过点(0，－3)． （1）确定此抛物线的解析式； （2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 18. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段； （3）连接，求出四边形的面积． 19. 如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 21. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，． 【问题提出】 （1）如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______； 【尝试解决】 （2）在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积； 【类比应用】 （3）如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长． 22. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $