精品解析：云南省玉溪市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

玉溪一中2024—2025学年上学期高一年级第二次月考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 3考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式得到集合，然后利用集合的交集运算得到结果. 【详解】由得，解得， 所以， 因此. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可. 【详解】解：命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 若且，则的终边在所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论. 【详解】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，则α的终边在第二、三象限或轴负半轴上， 因此，的终边所在象限为第三象限. 故选：C. 4. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为.关于下列说法，其中错误的说法是（ ） A. 浮萍每月的增长率相等 B. 第6个月时，浮萍的面积就会超过 C. 浮萍每月增加的面积都相等 D. 若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 【答案】C 【解析】 【分析】求得浮萍的月增长率判断选项A；求得第6个月时浮萍的面积判断选项B；举特例否定选项C；求得三者间的关系判断选项D. 【详解】A选项：根据图象，把代入， 得到，所以，因此每月的增长一样，都是增长1倍.判断正确； B选项，因.故判断正确； C选项，浮萍增加的面积第二个月比第一个月增加了， 第三个月比第二个月增加了，因此每月增加的量不相等. 故判断错误； D选项：由题得， 因此，所以.故判断正确. 故选：C 5. ，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：D. 6. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】的定义域为，又与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以，所以在上存在唯一的零点. 故选：C. 7. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案． 【详解】对任意的恒成立， 在上是减函数， 又当时，，当时，， 又是偶函数，当时，，当时，， 的解为. 故选：B 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】D 【解析】 【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，判断函数的奇偶性， 将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得， 从而由复合函数单调性可知在上单调递增， 又， 所以是定义在上的奇函数， 所以不等式等价于， 即等价于，亦即， 该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值. 因为由对勾函数和复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的最小值为 所以，等号成立当且仅当.所以有最大值 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解. 二､多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一函数 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是真命题 D. 集合，且没有真子集 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过定义域可判断，对于B，通过充分性、必要性分别判断即可，对于C，写出否定，结合二次函数即可判断，对于D，由空集没有真子集，可判断. 【详解】对于A，两个函数定义域不一样，故不同，A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C正确； 对于D，集合，且是空集，而空集没有真子集，所以D正确. 故选：BCD 10. 已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误. 对于D，，故D正确 故选：ABD. 11. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ） A. 当时，有6个零点 B. 当时，有4个零点 C. 若函数y只有3个零点，则 D. 若函数y只有5个零点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，可求得或，把零点个数问题转化为函数与直线和（为常数）的交点总个数问题，作出的图象，进而逐项判断即可得结论. 【详解】函数的零点个数可以转化成方程的解的个数， 而， 故解为或. 问题就转化成了求函数与直线和（为常数）的交点总个数.如图所示： 与直线有三个交点. 而当时，与直线有三个交点，因此总共6个交点，故A正确； 当时，与只有一个交点，故总交点个数为4个，故B正确； 当时，方程变为，因而只需考虑， 即与直线的交点即可，有三个， 若不为1，这时由图得与直线至少有一个交点，总交点个数大于3，因此t只能为1，故C正确； 若函数只有5个零点，则与直线只有2个交点，因此或，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：本题是关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；利用数形结合法思想可求得结论. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象恒过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可. 【详解】因为函数且，令，解得， 所以，即函数恒过点. 故答案为：. 13. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用二次函数的性质可求得，结合指数函数的单调性可求的值域. 【详解】令，则， 则， 所以函数的值域是. 故答案为：. 14. 已知，则_.__. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用齐次化切法即可求得两个代数式的值. 【详解】因为，所以 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明. 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）200 （2）7 【解析】 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可； （2）利用对数的运算法则求解即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 . 16. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是. （1）求、及的值； （2）求的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义可求得、及的值； （2）利用诱导公式化简所求代数式值，结合（1）中的结果可求得所求代数式的值. 【小问1详解】 因为角的终边上一点的坐标是， 由三角函数的定义可得，， . 【小问2详解】 原式. 17. 新华小学为丰富校园文化，展示少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，随着活动的推进，有越来越多的学生参与其中，已知前3周参与活动的学生人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动学生人数（人） 43 55 71 （1）现有三个模型：①，②且，③且.请根据表中数据，从中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的学生人数（人），并求出你选择模型的解析式； （2）已知该校现有学生878名.请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中.（参考数据：） 【答案】（1）③， （2）10周后，全校将有超过一半的学生参与其中 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型； （2）根据（1）中结论可得不等式，结合题中数据分析求解即可. 【小问1详解】 从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 且函数增长的速度越来越快，所以选择③且 代入表格中的三个点可得：，解得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 令， 整理得，不等式两边取常用对数得，即. 因为，所以， 且，则， 所以10周后，全校将有超过一半的学生参与其中. 18. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据函数的奇偶性列方程组，即可求出结果； （2）在上恒成立，即在上恒成立，再利用基本不等式求的最小值，即可求出结果. 【小问1详解】 因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数， 则有②， 由①+②得到，所以. 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立， 由（1）知，即在上恒成立， 即， 因为，所以，故， 所以， 又，所以， 故. 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 19. 若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. （1）函数是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明：函数在上有“飘移点”； （3）若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数没有“飘移点”，理由如下： 对于，则，整理得， ，则该方程无解， 函数没有“飘移点”. （2） 函数在上有“飘移点”，理由如下： 在上有“飘移点”， 因此有， 即成立，化简，即成立， 记，则在上连续不断，且， 在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据飘移点的定义，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据飘移点的定义，结合函数零点存在原理进行求解判断即可； （3）根据飘移点的定义，结合对数的运算性质进行参变量分离，利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对于，则， 即， ，则， 令，则， ， 又，当且仅当，即时等号成立， 则， ，即， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对进行换元，令， ，然后再应用基本不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2024—2025学年上学期高一年级第二次月考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 3考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若且，则的终边在所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为.关于下列说法，其中错误的说法是（ ） A. 浮萍每月的增长率相等 B. 第6个月时，浮萍的面积就会超过 C. 浮萍每月增加的面积都相等 D. 若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 5. ，那么（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 二､多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一函数 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是真命题 D. 集合，且没有真子集 10. 已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ） A. 当时，有6个零点 B. 当时，有4个零点 C. 若函数y只有3个零点，则 D. 若函数y只有5个零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象恒过定点__________. 13. 函数的值域是__________. 14. 已知，则_.__. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明. 15. 计算： （1）； （2）. 16. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是. （1）求、及的值； （2）求的值. 17. 新华小学为丰富校园文化，展示少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，随着活动的推进，有越来越多的学生参与其中，已知前3周参与活动的学生人数如下表所示： 活动举办第周 1 2 3 参与活动学生人数（人） 43 55 71 （1）现有三个模型：①，②且，③且.请根据表中数据，从中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的学生人数（人），并求出你选择模型的解析式； （2）已知该校现有学生878名.请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中.（参考数据：） 18. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. （1）函数是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明：函数在上有“飘移点”； （3）若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $