2025年山东省济南九年级中考数学一轮复习 教材考点复习训练 ——次函数的特殊三角形问题（二阶）

2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的特殊三角形问题（二阶）学生版 考法探究突破 考法一　等腰三角形问题 1.问题：已知线段AB和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形. （1）找点：两圆一线 ①若AB＝AP，以点A为圆心，AB长为半径画圆. ②若AB＝BP，以点B为圆心，AB长为半径画圆. ③若AP＝BP，作AB的垂直平分线. （2）求点 方法一：代数法 分①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP三种情况讨论.分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，分别列方程求解即可. 方法二：几何法 作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系. 　 考法二　直角三角形问题 2.问题：已知线段AB和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形. （1）找点：两线一圆 ①若∠BAP＝90°，过点A作AB的垂线. ②若∠ABP＝90°，过点B作AB的垂线. ③若∠APB＝90°，以AB为直径作圆. （2）求点 方法一：代数法 分①AB2＋AP2＝BP2.②AB2＋BP2＝AP2.③AP2＋BP2＝AB2三种情况讨论.分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长度，分别列方程求解即可. 方法二：几何法 作垂线，构造一线三垂直模型，用勾股定理或相似建立等量关系. 　 题型分类过关 类型一　等腰三角形存在性问题 1.（2024莱芜一模节选）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D.已知点B（－4，0），C（0，4）.抛物线的对称轴是直线x＝－，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M. （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标. （2）当△DMP是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长. 类型二　直角三角形存在性问题 2.（2024商河清华园模拟节选）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4.抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx－1交于点D，与x轴交于点E. （1）求直线AD及抛物线的表达式. （2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标.若不存在，请说明理由. 3.（2024章丘一模节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C.点D 为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连接BE. （1）求抛物线的表达式. （2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度. 类型三　等腰直角三角形存在性问题 4.如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A（－2，0），B，与y轴交 于点C（0，6），连接BC交抛物线的对称轴l于点E.M是线段 BE上的一点，N是对称轴l右侧抛物线上的一点. （1）求该抛物线的函数表达式. （2）若△EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点 M 的坐标. 达标演练检测 1.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为点D. （1）求此抛物线的函数表达式. （2）判断△ACD形状，并说明理由. 2.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），对称轴为直线x＝1，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接AP，与y轴交于点D. （1）求b，c的值. （2）当△ADM为以AM为底边的等腰三角形时，求点D的坐标. 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于B（4，0），C（－2，0） 两点，与 y 轴交于点 A（0，－2）. （1）求该抛物线的函数表达式. （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 △MAB 是以 AB 为一条直角边的直角三角形.若存在，请求出点 M 的坐标.若不存在，请说明理由. 2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的特殊三角形问题（二阶）教师版 考法探究突破 考法一　等腰三角形问题 1.问题：已知线段AB和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形. （1）找点：两圆一线 ①若AB＝AP，以点A为圆心，AB长为半径画圆. ②若AB＝BP，以点B为圆心，AB长为半径画圆. ③若AP＝BP，作AB的垂直平分线. （2）求点 方法一：代数法 分①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP三种情况讨论.分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，分别列方程求解即可. 方法二：几何法 作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系. 　 考法二　直角三角形问题 2.问题：已知线段AB和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形. （1）找点：两线一圆 ①若∠BAP＝90°，过点A作AB的垂线. ②若∠ABP＝90°，过点B作AB的垂线. ③若∠APB＝90°，以AB为直径作圆. （2）求点 方法一：代数法 分①AB2＋AP2＝BP2.②AB2＋BP2＝AP2.③AP2＋BP2＝AB2三种情况讨论.分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长度，分别列方程求解即可. 方法二：几何法 作垂线，构造一线三垂直模型，用勾股定理或相似建立等量关系. 　 题型分类过关 类型一　等腰三角形存在性问题 1.（2024莱芜一模节选）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D.已知点B（－4，0），C（0，4）.抛物线的对称轴是直线x＝－，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M. （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标. 解：∵抛物线对称轴为直线x＝－，且过点B（－4，0）， ∴A（1，0），∴设抛物线的表达式为y＝a（x－1）（x＋4），将C（0，4）代入得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－（x－1）（x＋4），即y＝－x2－3x＋4.把x＝－代入y＝－x2－3x＋4，得y＝－＋＋4＝，∴D. （2）当△DMP是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长. 解：由（1）可设，过点D作DE⊥MP，垂足为E. ∵△DMP是等边三角形， ∴∠DPM＝60°，xD＝xE＝－. 设M（m，－m2－3m＋4）， 则DE＝yD－yE＝－（－m2－3m＋4）＝m2＋3m＋＝，PE＝xP－xE＝m＋. 在Rt△PED中， tan 60°＝＝＝m＋＝， ∴m＝－，PM＝2PE＝2，∴边长为2. 类型二　直角三角形存在性问题 2.（2024商河清华园模拟节选）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4.抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx－1交于点D，与x轴交于点E. （1）求直线AD及抛物线的表达式. （2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标.若不存在，请说明理由. 解：（1）∵抛物线的 对称轴x＝3，AB＝4， ∴A（1，0），B（5，0）. 将A（1，0）代入直线y＝kx－1，得k－1＝0，解得k＝1， ∴直线AD的表达式为y＝x－1. 将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2＋bx＋5，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋5. （2）存在点M， ∵直线AD的表达式为y＝x－1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E. ∴当x＝3时，y＝x－1＝2，∴D（3，2）. ①当∠DAM＝90°时， 设直线AM的表达式为y＝－x＋c，将点A坐标代入，得－1＋c＝0，解得c＝1， ∴直线AM的表达式为y＝－x＋1， 解方程组解得或 ∴点M的坐标为（4，－3）. ②当∠ADM＝90°时， 设直线DM的表达式为y＝－x＋d，将D（3，2）代入，得－3＋d＝2，解得d＝5， ∴直线DM的表达式为y＝－x＋5， 解方程组解得或 ∴点M的坐标为（0，5）或（5，0）. 综上，点M的坐标为（4，－3）或（0，5）或（5，0）. 3.（2024章丘一模节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C.点D 为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连接BE. （1）求抛物线的表达式. （2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度. 解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－3. （2）令x＝0，则y＝－3，∴C（0，－3）. 设直线BC的表达式为y＝kx＋n， ∴解得 ∴直线BC的表达式为y＝x－3. ∵点D为线段BC上一点， ∴设D（m，m－3），则点E（m，－m2＋4m－3）， ∴DE＝（－m2＋4m－3）－（m－3）＝－m2＋3m. ∵B（3，0），C（0，－3），∴OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°. ∵DE∥y轴，∴∠EDB＝∠OCB＝45°， ∴点D不可能是直角的顶点. ①当点B为直角的顶点时，设DE交x轴于点F. ∵∠BDE＝45°，∠EBD＝90°，∴∠DEB＝45°， ∴△BED为等腰直角三角形.∴EF＝DF＝DE. ∵DF＝3－m，∴3－m＝（－m2＋3m）， 解得m＝2或3（m＝3不合题意，舍去）. ∴m＝2，∴DE＝－22＋3×2＝－4＋6＝2. ②当点E为直角顶点时，此时边EB在x轴上，点E与点A重合，∴m＝1.∴DE＝－12＋3×1＝－1＋3＝2. 综上，当△BDE为直角三角形时，线段DE的长度为2. 类型三　等腰直角三角形存在性问题 4.如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A（－2，0），B，与y轴交 于点C（0，6），连接BC交抛物线的对称轴l于点E.M是线段 BE上的一点，N是对称轴l右侧抛物线上的一点. （1）求该抛物线的函数表达式. （2）若△EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点 M 的坐标. 解：（1）将点A（－2，0）和点C（0，6）的坐标代入y＝ax2＋2x＋c中，得解得故该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋6. （2）∵抛物线y＝－x2＋2x＋6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，令y＝0，即－x2＋2x＋6＝0，解得x＝－2或x＝6，令x＝0，解得y＝6，∴A（－2，0），B（6，0），C（0，6），∴直线BC的表达式为y＝－x＋6，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°.∵对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，y＝－x＋6＝4，∴E（2，4）.设M（m，－m＋6），2≤m≤6，①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，如图1，过点E作EH⊥MN于点H.∴MN＝2EH，∠EMN＝∠ENM＝45°，∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NME＝∠OCB，∴MN∥y轴，∴N，∴MN＝－m2＋2m＋6＋m－6＝－m2＋3m，EH＝m－2，∴－m2＋3m＝2（m－2），解得m＝4或m＝－2（不符合题意，舍去），∴M（4，2）. 　　 ②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，如图2，过点M作MQ⊥EN于点Q.∴EQ＝NQ＝MQ＝EN，∴∠MEN＝∠ENM＝45°，∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠MEN＝∠OBC，∴EN∥x轴，∴点N的纵坐标为4.当y＝4时，－x2＋2x＋6＝4，解得x＝2＋2或x＝2－2（不符合题意，舍去），∴N（2＋2，4），∴EN＝2＋2－2＝2，∴EQ＝MQ＝EN＝，∴m＝2＋，∴M（2＋，4－）.综上所述，点M的坐标为（4，2）或（2＋，4－）. 达标演练检测 1.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为点D. （1）求此抛物线的函数表达式. （2）判断△ACD形状，并说明理由. 解：（1）∵OA＝OC＝3， ∴点A坐标为（－3，0），点C坐标为（0，－3）. ∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，C， ∴解得 ∴抛物线表达式为y＝x2＋2x－3. （2）如图，连接AD，CD，AC，作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F. 由抛物线的性质得抛物线y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4的顶点D坐标为（－1，－4）， 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝32＋32＝18. 在Rt△DCF中，DC2＝DF2＋CF2＝（4－3）2＋12＝2. 在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2＝（3－1）2＋42＝20. ∴AC2＋DC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形. 2.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），对称轴为直线x＝1，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接AP，与y轴交于点D. （1）求b，c的值. （2）当△ADM为以AM为底边的等腰三角形时，求点D的坐标. 解：（1）∵对称轴为直线 x＝1，A（－1，0）在抛物线y＝－x2＋bx＋c上， ∴解得 解：（2）抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴顶点M（1，4）.设OD＝x，根据题意，得∵∠ADM＞90°，△ADM为等腰三角形，∴AD＝DM，∴AD2＝12＋x2，DM2＝12＋（4－x）2，∴12＋x2＝12＋（4－x）2，解得x＝2，∴D（0，2）. 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于B（4，0），C（－2，0） 两点，与 y 轴交于点 A（0，－2）. （1）求该抛物线的函数表达式. （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 △MAB 是以 AB 为一条直角边的直角三角形.若存在，请求出点 M 的坐标.若不存在，请说明理由. 解：（1）将A（0，－2）， B（4，0），C（－2，0）代入y＝ax2＋bx＋c中， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－2. （2）存在.抛物线的对称轴为直线x＝1. 设M（1，t），则AB2＝42＋22＝20，AM2＝12＋（t＋2）2＝t2＋4t＋5，BM2＝（4－1）2＋t2＝9＋t2. 当∠ABM＝90°时，AM2＝AB2＋BM2， ∴t2＋4t＋5＝20＋9＋t2，∴t＝6，∴M（1，6）. 当∠BAM＝90°时，BM2＝AB2＋AM2， ∴9＋t2＝20＋t2＋4t＋5，∴t＝－4，∴M（1，－4）. 综上所述，点M的坐标为（1，6）或（1，－4）. 学科网（北京）股份有限公司 $$