2024—2025学年苏科版数学八年级上册期末模拟试卷

期末模拟试卷 （学科：数学 时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（共8题，每题3分，计24分） 1．下列图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若点P位于x轴上方，位于y轴的左边，且距x轴的距离为2个单位长度，距y轴的距离为3个单位长度，则点P的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2） 3．记者乘汽车赴360km外的农村采访，前一段路为高速公路，后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）间的关系如图所示，则该记者到达采访地的时间为（　　） A．4小时 B．4.5小时 C．5小时 D．5.5小时 4．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．5，3，4 D．1，， 5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a2＝c2﹣b2 C．∠B＝50°，∠C＝40° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 6．已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5 7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，若AB＝4AC，△BDE的面积为12，则△ABC的面积是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 8.定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．例如，如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（　　） A．0≤m≤ B．﹣2＜m≤ C．﹣2＜m≤2 D．﹣4＜m＜0 二、填空题（共10题，每题3分，计30分） 9．﹣的立方根是　 　． 10．用四舍五入法，对0.12964精确到千分位得到的近似数为 　 　． 11．已知点P在第三象限，且P点的横坐标与纵坐标的积是4，试写出一个符合条件的点：　 　． 12．如图，在△ABC中，∠EAB＝∠EBA，△ABC与△BEC的周长分别是24和14，则AB＝　 　． 13．如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 　 　． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 　 　米．​ 15．如图，∠CAB＝30°，点D在射线AB上，且AD＝4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C是线段AB的中点，则OC的长是 　 　． 17．已知点P（3，y1），Q（﹣2，y2）在一次函数y＝（﹣4m+1）x+2的图象上，若y1＜y2，则实数m的取值范围是 　 　． 18.如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有　 　条． 三、解答题（共9题，计96分） 19.（8分）计算：（﹣1）2022+（π﹣3.14）0+|2﹣|． 20． （8分）如果（x﹣1）3+＝1，试求x的值 21.（6分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝10，BC＝16，求线段EF的长度． 22.（8分）如图，已知点A（﹣6，0）、点B（0，4）． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，求点P的坐标． 23.(8分）作图题（不写作法） 已知：如图，在平面直角坐标系中． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1， （2）直接写出△ABC的面积为 　 　； （3）在x轴上画点P，使PA+PC最小． 24.（12分）甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条绿道骑行，图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）甲骑完全程用时　 　小时；甲的速度是　 　km/h； （2）求甲、乙相遇的时间； （3）求甲出发多长时间两人相距10千米． 25.（10分）为推广劳动教育，美化校园环境，学校决定在农场基地铺设一条观景小道．经设计，铺设这条小道需A，B两种型号石砖共200块．已知：购买3块A型石砖，2块B型石砖需要110元；购买5块A型石砖，4块B型石砖需要200元． （1）求A，B两种型号石砖单价各为多少元？ （2）已知B型石砖正在进行促销活动：购买B型石砖数量在60块以内（包括60块）时，不优惠；购买B型石砖数量超过60块时，每超过1块，购买的所有B型石砖单价均降0.05元，问：学校采购石砖，最多需要多少预算经费？ 26.（10分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°． （1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由． （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ （3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 　 　m． 27.（12分）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元； （总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：购买门票方式如图所示．解答下列问题： （1）方案一中，y与x的函数关系式为 　 　；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为 　 　；当x＞100时，y与x的函数关系式为 　 　； （2）如果购买本场足球赛超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？ （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 28.（14分）思维启迪： （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 　 　米． 思维探索： （2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 　 　； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC 2的值． 数学学科1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末模拟试卷 （学科：数学 时间：120分钟 总分：150分） 参考答案： 一、 1．下列图形是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意． 答案：D． 2．若点P位于x轴上方，位于y轴的左边，且距x轴的距离为2个单位长度，距y轴的距离为3个单位长度，则点P的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2） 解：由点P位于x轴上方，位于y轴的左边，得 点位于第二象限， 由距x轴的距离为2个单位长度，距y轴的距离为3个单位长度，得 点的坐标为（﹣3，2）， 答案：D． 3．记者乘汽车赴360km外的农村采访，前一段路为高速公路，后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）间的关系如图所示，则该记者到达采访地的时间为（　　） A．4小时 B．4.5小时 C．5小时 D．5.5小时 解：汽车在乡村公路上行驶的速度为：（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝60km/h， 则该记者到达采访地的时间为：2+（360﹣180）÷60＝5h， 答案：C． 4．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．5，3，4 D．1，， 解：A．∵42+52＝16+25＝41，62＝36， ∴42+52≠62， ∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； B．∵12+12＝1+1＝2，（）2＝2， ∴12+12＝（）2， ∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵32+42＝9+16＝25，52＝25， ∴32+42＝52， ∴以5，3，4为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3， ∴12+（）2＝（）2， ∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 答案：A． 5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a2＝c2﹣b2 C．∠B＝50°，∠C＝40° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 解：A、由a＝5，b＝12，c＝13得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B、由a2＝c2﹣b2得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C、由三角形三个角度数和是180°及∠B＝50°，∠C＝40°得∠A＝90°，故是直角三角形； D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形． 答案：D． 6．已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5 解：∵4＜＜5， ∴3＜﹣1＜4， ∴﹣1在3和4之间，即3＜a＜4． 答案：C． 7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，若AB＝4AC，△BDE的面积为12，则△ABC的面积是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 解：如图，过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于G，DH⊥AB于H， ∵AD＝DE，△BDE的面积为12， ∴S△ABD＝S△BDE＝12， ∵AD是∠BAC的平分线，DH⊥AB，DG⊥AC， ∴DG＝DH， ∵AB＝4AC， ∴S△ABD＝4S△ACD， ∴S△ACD＝3， ∴S△ABC＝12+3＝15， 答案：D． 8.定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．例如，如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（　　） A．0≤m≤ B．﹣2＜m≤ C．﹣2＜m≤2 D．﹣4＜m＜0 解：令±2x+4＝0，解得x＝2或﹣1， 故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0）， ∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则﹣2＜m≤2； 从图象看，x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，故点C（1，2）． 当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时， 当m≥0时，点C（m，4﹣2m）， 将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m， 解得m＝； ∴0≤m≤， 当m＜0时，m＝2m+4， 解得m＝﹣4， ∴﹣4＜m＜0． 又∵﹣2＜m≤2， ∴﹣2＜m＜0． 综上所述：m的取值范围是﹣2＜m≤． 答案：B． 二、 9．﹣的立方根是　﹣2　． 解：∵82＝64， ∴＝8， ∴﹣＝﹣8， ∵（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣的立方根是﹣2． 答案：﹣2． 10．用四舍五入法，对0.12964精确到千分位得到的近似数为 　0.130　． 解：用四舍五入法，对0.12964精确到千分位得到的近似数为0.130， 答案：0.130． 11．已知点P在第三象限，且P点的横坐标与纵坐标的积是4，试写出一个符合条件的点：　（﹣1，﹣4）答案不唯一　． 解：符合条件的点为（﹣1，﹣4）答案不唯一． 答案：（﹣1，﹣4）答案不唯一． 12.如图，在△ABC中，∠EAB＝∠EBA，△ABC与△BEC的周长分别是24和14，则AB＝　10　． 解：∵∠EAB＝∠EBA， ∴BE＝AE． ∵△ABC和△BEC的周长分别是24和14， ∴AB+BC+AC＝24，BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝14． ∴AB＝10． 答案：10． 13．如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 　　． 解：设大正方形的边长为x，由题意得， x2＝5， 而x＞0， ∴x＝， 答案：． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 　2.2　米． ​​​​​​​ 解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米， ∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2）， ∵AB＞0， ∴AB＝2.5（米）， 在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米， ∴BD2+A′D2＝A′B2， 即BD2+22＝2.52（米2）， ∵BD＞0， ∴BD＝1.5（米）， ∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）， 答案：2.2． 15．如图，∠CAB＝30°，点D在射线AB上，且AD＝4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为　或2　． 解：当∠ADP＝90°时，△ADP是直角三角形， ∵∠CAB＝30°， ∴AP＝2PD， ∵AD2+PD2＝AP2， ∴42+PD2＝（2PD）2， ∴PD＝， 当∠APD＝90°时，△ADP是直角三角形， ∵∠CAB＝30°， ∴PD＝AD＝2， 综上所述，或2． 答案：或2． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C是线段AB的中点，则OC的长是 　10　． 解：令x＝0则y＝12， 令y＝0，则﹣x+12＝0， 解得x＝16， 所以，OA＝12，OB＝16， 由勾股定理，AB＝＝＝20， ∵点C是线段AB的中点， ∴OC＝AB＝×20＝10． 答案：10． 17．已知点P（3，y1），Q（﹣2，y2）在一次函数y＝（﹣4m+1）x+2的图象上，若y1＜y2，则实数m的取值范围是 　m＞　． 解：∵点P（3，y1），Q（﹣2，y2）在一次函数y＝（﹣4m+1）x+2的图象上，且y1＜y2， ∴当3＞﹣2时，由题意可知y1＜y2， ∴y随x的增大而减小， ∴﹣4m+1＜0，解得m＞， 答案：m＞． 18.如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有 　2　条． 解：由勾股定理得，a＝＝， b＝＝5． c＝＝， d＝2， ∵无理数有，两个， ∴这些线段的长度是无理数的有2条． 答案：2． 三、 19.（8分）计算：（﹣1）2022+（π﹣3.14）0+|2﹣|． 解：（﹣1）2022+（π﹣3.14）0+|2﹣| ＝1+1+（﹣2） ＝1+1+﹣2 ＝． 20．（8分）如果（x﹣1）3+＝1，试求x的值． 解：移项，得（x﹣1）3＝1﹣， 即（x﹣1）3＝， ∴， 移项，得， 即． 21.（6分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝10，BC＝16，求线段EF的长度． 解：延长AF交BC于G， 在△AFB和△GFB中， ， ∴△AFB≌△GFB（ASA） ∴BG＝AB＝10，AF＝FG， ∴GC＝BC﹣BG＝16﹣10＝6， ∵AE＝EC，AF＝FG， ∴EF＝GC＝3． 22.（8分）如图，已知点A（﹣6，0）、点B（0，4）． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，求点P的坐标． 解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵点A（﹣6，0）、点B（0，4）， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为：y＝x+4； （2）∵点P到x轴的距离等于8， ∴P的纵坐标为y＝±8， 当y＝8时，则8＝x+4，解得x＝6； 当y＝﹣8时，则﹣8＝x+4，解得x＝﹣18； ∴P的坐标为（6，8）或（﹣18，﹣8）． 23.（8分）作图题（不写作法） 已知：如图，在平面直角坐标系中． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1， （2）直接写出△ABC的面积为 　　； （3）在x轴上画点P，使PA+PC最小． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）S△ABC＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3 ＝6﹣1﹣1﹣ ＝． 答案：； （3）如图，点P即为所求点． 24.（12分）甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条绿道骑行，图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）甲骑完全程用时　3　小时；甲的速度是　10　km/h； （2）求甲、乙相遇的时间； （3）求甲出发多长时间两人相距10千米． 解：（1）由图象可知，甲骑完全程用时3小时， 甲的速度是＝10（km/h）． 答案：3；10． （2）由题意可知，乙到A地时，甲距离A地18千米处， ∵相同时间甲、乙的速度之比等于路程之比， ∴V乙＝＝×10＝（km/h）， ∴相遇时间为30÷（+10）＝（h）； （3）①甲、乙相遇前，30﹣（10+）x＝10， 解得，x＝； ②甲、乙相遇后，且未到A地时，（10+）（x﹣）＝10， 解得，x＝； 综合以上可得，当x＝或（h）时，两人相距10千米． 25.（10分）为推广劳动教育，美化校园环境，学校决定在农场基地铺设一条观景小道．经设计，铺设这条小道需A，B两种型号石砖共200块．已知：购买3块A型石砖，2块B型石砖需要110元；购买5块A型石砖，4块B型石砖需要200元． （1）求A，B两种型号石砖单价各为多少元？ （2）已知B型石砖正在进行促销活动：购买B型石砖数量在60块以内（包括60块）时，不优惠；购买B型石砖数量超过60块时，每超过1块，购买的所有B型石砖单价均降0.05元，问：学校采购石砖，最多需要多少预算经费？ 解：（1）设A，B两种型号石砖单价分别为x元，y元， ，解答， ∴A，B两种型号石砖单价分别为20元，25元． （2）设购买B型石砖m块，采购石砖所需费用为W元， 当0＜m≤60时，W＝20（200﹣m）+25m＝5m+4000， 可知，当m＝60时，W最大＝4300元； 当60＜m≤200时， W＝20（200﹣m）+m[25﹣0.05（m﹣60）]＝﹣0.05m2+8m+4000＝﹣0.05（m﹣80）2+4320， 可知，当m＝80时，W最大＝4320元； 答：学校采购石砖，最多需要4320元预算经费． 26.（10分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°． （1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由． （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ （3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 　0.6　m． 解：（1）△OBD与△COE全等． 理由如下： 由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°． ∴∠COE＝∠OBD， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）； （2）∵△COE≌△OBD， ∴CE＝OD，OE＝BD， ∵BD、CE分别为1.8m和2.4m， ∴OD＝2.4m，OE＝1.8m， ∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.4﹣1.8＝0.6（m）， ∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM＝1.2m， ∴EM＝DM+DE＝1.8（m）， 答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的； （3）∵OA＝OB＝＝3（m）， ∴AM＝OD+DM﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）． ∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m． 答案：0.6． 27.（12分）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元； （总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：购买门票方式如图所示．解答下列问题： （1）方案一中，y与x的函数关系式为 　60x+10000　；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为 　y＝100x　；当x＞100时，y与x的函数关系式为 　y＝80x+2000　； （2）如果购买本场足球赛超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？ （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 解：（1）方案一中，y与x的函数关系式为y＝60x+10000， 方案二中，当0≤x≤100时，每张门票10000÷100＝100（元）， ∴y与x的函数关系式为y＝100x， 当x＞100时，设y＝kx+b，将（100，10000），（150，14000）代入得： ， 解得， ∴y＝80x+2000， 答案：10000+60x，y＝100x，y＝80x+2000； （2）购买本场足球赛超过100张，即x＞100， 当60x+10000＜80x+2000，解得x＞400， 当60x+10000＝80x+2000，解得x＝400， 当60x+10000＞80x+2000，解得x＜400， 答：当x＞400时选择方案一总费用最省，当购买400张，两种方案花费一样，当100＜x＜400时，选择方案二总费用最省； （3）设甲单位购买门票m张，则乙单位购买门票（700﹣m）张， 当700﹣m≤100，即m≥600时， 根据题意得：10000+60m+100（700﹣m）＝58000， 解得m＝550（不符合题意，舍去）， 当700﹣m＞100，即m＜600时， 根据题意得：10000+60m+80（700﹣m）+2000＝58000， 解得m＝500， ∴700﹣m＝700﹣500＝200， 答：甲单位购买门票500张，乙单位购买门票200张． 28.（14分）思维启迪： （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 　200　米． 思维探索： （2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 　PC＝PE，PC⊥PE．　； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值． （1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B， 在△ABP和△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（AAS）， ∴DC＝AB． ∵AB＝200米． ∴CD＝200米， 答案：200． （2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE． 理由如下：如解图1，延长EP交BC于F， 同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（AAS）， ∴PF＝PE，BF＝DE， 又∵AC＝BC，AE＝DE， ∴FC＝EC， 又∵∠ACB＝90°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∵EP＝FP， ∴PC＝PE，PC⊥PE． ②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE． 理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF， 同①理，可知△FBP≌△EDP（AAS）， ∴BF＝DE，PE＝PF＝， ∵DE＝AE， ∴BF＝AE， ∵当α＝90°时，∠EAC＝90°， ∴ED∥AC，EA∥BC ∵FB∥AC，∠FBC＝90， ∴∠CBF＝∠CAE， 在△FBC和△EAC中， ， ∴△FBC≌△EAC（SAS）， ∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FCE＝90°， ∴△FCE是等腰直角三角形， ∵EP＝FP， ∴CP⊥EP，CP＝EP＝． ③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点， 当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150° 同②可得△FBP≌△EDP（AAS）， 同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝， 在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1， ∴HE＝，AH＝， 又∵AC＝BC＝3， ∴CH＝3+， ∴EC2＝CH2+HE2＝ ∴PC2＝＝． 数学-参考答案1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$