精品解析：山东师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月阶段性检测数学试题

2024年12月山东师大附中高三阶段性检测试题 数学 命题：王敏 王俊亮 宋远红 周洁 审题：孔蕊 宁卫兵 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别明确集合，，再根据交集的概念求. 【详解】由，所以； 由，所以. 所以. 故选：D 2. 若复数，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法求出复数，再根据共轭复数的概念求. 【详解】由， 所以. 故选：B 3. 在展开式中，系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 4. 若函数为偶函数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求参数值. 【详解】因为函数为偶函数，且由或， 即函数定义域为或. 由得： 所以， 所以：. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将两边平方，即可求出，再由诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，最后代入计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以， 所以 . 故选：C 6. 形如的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数”．当时，该“囧函数”与函数的交点个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 0个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】求出当时的囧函数的表达式，画出囧函数的图象，再在同一个坐标系中画出函数的图象，利用图象即可得到交点个数． 【详解】由题意知，当时，， 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数的图象如图所示，可知它们有4个交点． 故选：B. 7. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式来求得正确答案. 【详解】依题意，教授迟到的概率为. 故选：C 8. 已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合二倍角公式可求得；根据无零点但有极值点可求得的范围，结合可求得的范围及的值域，由此可得结果. 【详解】，其中，，， ，，， 当时，， 在区间内没有零点，但有极值点，， ， ， 又，， ，， ， 则，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数零点、极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方法确定所处的范围，进而将所求函数值化为关于的函数的形式，结合三角函数值域可求得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B. 估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图进行数据分析，确定85%分位数，平均值判断各选项． 【详解】对于A，由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为，A正确； 对于B，由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有，收入在之间的有．低于9.5万元有80%， 而因此85%分位数，B正确； 对于C，平均值约为，C错； 对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有，D正确． 故选：ABD． 10. 已知正方体的棱长为1，为棱上一动点，平面，则（ ） A. 异面直线和所成角是 B. 当点与点重合时，平面被正方体所截的截面形状都可能为正五边形 C. 当点与点重合时，四面体外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的概念构造异面直线所成的角，再求角的大小，可判断A的真假；判断截面的形状，可判断B的真假；明确四面体外接球的半径，求出其体积，判断C的真假；把直线与平面所成角的正弦值转化成直线与平面的垂线所成角的余弦值，在中求的范围，判断D的真假. 【详解】对A选项：连接，，则，所以即为异面直线和所成的角，因为为等边三角形，所以，故A正确； 当点与点重合时，因为平面，所以平面平面，所以截面可以是三角形和六边形，故截面不可能是正五边形，故B错误； 对C选项：当点与点重合时，四面体外接球就是正方体的外接球，设外接球半径为，则，所以四面体外接球的体积为：，故C正确； 对D选项：直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面的垂线所成角的余弦值，如图，连接， 则， 因为，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，恰有三个单调区间 B. 当时，若在上有最大值，则 C. 当时，过作曲线的切线有且只有一条 D. 当，且时，曲线与直线有2个交点 【答案】BC 【解析】 【分析】当时，求导，分析函数的单调性，可判断A的真假；当时，求导，分析函数的单调性，可判断B的真假；当时，求过的曲线的切线，判断C的真假；当时，构造函数，判断函数的零点个数判断D的真假. 【详解】对A：，若，则恒成立， 所以在上单调递增，只有1个单调区间，故A错误； 对B：当时，因为，由得：或；由得：， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减，且， 又由且得：. 所以函数在上有最大值，则，故B正确； 对C：当时，，. 设切点为：，切线方程为：， 由切线过点，所以， 整理得：. 即当时，过作曲线的切线有且只有一条.故C正确； 对D：当时，， 设，所以. 因为，所以当时，， 所以在上单调递增，且，，所以在上有唯一零点； 当时，设，因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当上，； 由当时，，所以在上无零点. 综上，只有1个零点. 故当，且时，曲线与直线有2个交点错误，即D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：对D选项，判断函数在上零点个数时，可设，判断函数在的最小值为0，在根据，说明函数在上无零点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量与的夹角为为单位向量，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】模平方转化为数量积的运算求解． 【详解】由题意，，， 所以， 故答案为：． 13. 等比数列中，，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用等比数列的性质来求解即可. 【详解】在等比数列中，由，可得，即， 又由，，所以， 因为等比数列偶数项符号相同，所以， 故答案为：4. 14. 正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体．如图所示，正八面体，的棱长为2，若点P为棱AB上的动点，则的最小值为_______；若点O为四边形ABCD的中心，点Q为此正八面体表面上的动点，且，则动点的轨迹长度为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过展开成平面的方法来求得的最小值.根据球与平面的位置关系来判断动点的轨迹，进而求得轨迹的长度. 【详解】将和展开成平面图形，如下图所示， 则三点共线时，取最小值，此时， 所以的最小值是. 设正八面体的棱长为，连接， 由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有， 化简得， 设等边三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有， 解得， 而点到平面的距离为，， 所以， 这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动， 它的周长是， 根据对称性可知动点的轨迹长度为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二个空的求解过程中，关键点在于得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，根据对称性即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，. （1）求证：平面； （2）若与平面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：证法一：（几何法） 取的中点，连接， AI 在梯形中，因为， 所以且，，所以四边形为正方形， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. 证法二：（向量法） 分别以为所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， AI 则，则， 因为平面，所以为平面的法向量， 设，则， 因为，所以，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：可通过证明线线平行，得到线面平行.方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行. （2）方法一：根据二面角平面角的定义，先找出平面ACD与平面ABCD的夹角，再解三角形可得二面角的余弦.方法二：利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 证法一：（几何法） 证明：取的中点，连接， 在梯形中，因为， 所以且，，所以四边形为正方形， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. 证法二：（向量法） 分别以为所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 因为平面，所以为平面的法向量， 设，则， 因为，所以，所以平面. 【小问2详解】 解法一：（几何法） 连接交于，连接，在直四棱柱中， 因为平面，所以为在平面内射影， 所以为与平面所成的角，即， 在中，，所以， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以因为为平面与平面夹角， 在中，因为，所以， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 解法二：（向量法） 设，因为， 所以为平面的法向量， 所以， 所以，所以， 所以，即平面的法向量为， 因为，所以， 设为平面的法向量，则，即， 所以可取， 设平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 16. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求B； （2）点D在AC上，BD平分，且，求b. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求的值，结合为三角形内角，可求. （2）法一：利用，构造方程求得边，再在结合余弦定理可求边. 法二：利用，构造方程求得边，分别在和中利用余弦定理求和，利用求. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解法一： 如图，由题意可知， 因为， 所以， 又，，所以， 在中，由余弦定理得 ，所以， 解法二：由解法一可知：如图，由题意可知， 因为， 所以， 又，，所以， 在中，由余弦定理得 ，所以， 在中，由余弦定理得 ，所以， 所以，即. 17. 为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． （1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； （2）在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 【答案】（1）1587名 （2）， 【解析】 【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次； （2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【小问1详解】 已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布， 由题意可得， ， ,即，解得， 甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， ， 答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． 【小问2详解】 设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为0，9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ， 的数学期望为. 18. 已知函数且． （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 【答案】（1） （2）证明： 由（1）可知时，， 记，则， 令，解得：， 当时，时， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以在区间上有唯一零点且， 在上为正、在上为负、在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以， 由可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 综上所述，存在唯一的极大值点，且． 【解析】 【分析】（1）（方法一）由等价于，得出是极小值点，再由可得答案；（方法二）由等价于，求出．时由不合题意．当时只需可得答案； （2）利用导数研究的单调性、极值情况，依据单调性证极大值的范围. 【小问1详解】 （方法一） 因为， 则等价于， 是极小值点． 又， 检验，当时，，当时单调递减； 当时单调递增， ，符合题意； （方法二）因为， 则等价于， 求导可知． ①当时，即在上单调递减， 所以当时，，不合题意． ②当时， 因为当时，当时， 所以，只需， ， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以的解只有； 【小问2详解】 略. 【点睛】关键点点睛：第一问，讨论参数并应用导数研究且最小值，根据不等式恒成立确定参数值；第二问，导数研究极值点分布，进而证极大值的范围. 19. 已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列” （1）已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”，并说明理由； （2）设数列的前n项和为． （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列满足，其前n项和为，求证：当且时，成立． 【答案】（1）存在，理由如下： 存在，理由如下： 由已知得， ， ，即， 对，当正整数时，存在，使得成立， 即数列为“1阶可分拆数列”. （2）（ⅰ）符合条件的实数的值为0； （ⅱ）证明如下： ， 当时，， ， ， 由（ⅰ）知，所以， ①， ②， 由①-②可得 ， ， ， ， 当且时，成立. 【解析】 【分析】（1）根据“k阶可分拆数列”的概念，判断数列为“1阶可分拆数列”. （2）先根据前项和公式，求出数列的通项公式，（ⅰ）由可求的值，再讨论时，无解即可；（ⅱ）根据，可得，利用“累加法”可得：；再利用“错位相减法”证明，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，， （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立， 当时，，即，解得， 当时，，即， 因，所以，又， 故方程无解. 综上所述，符合条件的实数的值为0. （ⅱ）略 【点睛】思路点睛：本题为数列新定义题，由题意可知对于确定的正整数，存在正整数使得成立即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年12月山东师大附中高三阶段性检测试题 数学 命题：王敏 王俊亮 宋远红 周洁 审题：孔蕊 宁卫兵 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 在展开式中，系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 若函数为偶函数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 形如的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数”．当时，该“囧函数”与函数的交点个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 0个 D. 3个 7. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.23 D. 0.32 8. 已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B. 估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 10. 已知正方体的棱长为1，为棱上一动点，平面，则（ ） A. 异面直线和所成角是 B. 当点与点重合时，平面被正方体所截的截面形状都可能为正五边形 C. 当点与点重合时，四面体外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，恰有三个单调区间 B. 当时，若在上有最大值，则 C. 当时，过作曲线的切线有且只有一条 D. 当，且时，曲线与直线有2个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量与的夹角为为单位向量，，则_______． 13. 等比数列中，，则的值为_______． 14. 正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体．如图所示，正八面体，的棱长为2，若点P为棱AB上的动点，则的最小值为_______；若点O为四边形ABCD的中心，点Q为此正八面体表面上的动点，且，则动点的轨迹长度为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，. （1）求证：平面； （2）若与平面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD夹角的余弦值. 16. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求B； （2）点D在AC上，BD平分，且，求b. 17. 为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． （1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； （2）在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 18. 已知函数且． （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 19. 已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列” （1）已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”，并说明理由； （2）设数列的前n项和为． （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列满足，其前n项和为，求证：当且时，成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $