期末难点05：比与不变量问题“奥数思维训练版”-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 4 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末难点 05：比与不变量问题“奥数思维训练版” 1．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是 4∶3，把甲车间 职工的 1 6 调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多 2人，原来甲、乙两车间各有 职工多少人？ 2．水果店运进一批水果，第一天卖出总数的 15，第二天卖出 100千克，这时已 卖的与剩下的质量比是 11∶19，水果店一共运进水果多少千克？ 3．有 A、B两桶油，A桶油的质量与 B桶油的质量比是 3∶2，如果从 A桶倒入 B桶 21千克的油，A桶油与 B桶油的质量比是 4∶5。原来 A、B两桶油各多少 千克？ 4．为保障疫情期间的医疗物资供应，全国各地医疗物资生产企业加班加点生产， 某企业接到生产一批防护服的生产任务，第一天生产的套数与总套数的比是 1∶5，第二天生产了 880套防护服。两天完成的套数比未完成的套数少 15。这批 防护服的生产任务一共是多少套？ 2 / 4 5．修路队修一条路，已修的路程与剩下的路程比是 2∶3，如果再修 560米，已 修路程正好是全长的 3 4 ，这条路一共多长？ 6．某工厂有三个车间，第一车间人数与总数的比是 1∶4，第二车间人数是第三 车间的 7 8 。第一车间比第三车间少 21人，这个工厂一共有多少人？ 7．六年级有学生 236人，选出男生人数的 1 9 和 5名女生参加比赛，剩下的女生 人数与男生人数的比是 15∶16，男生有多少人？ 8．小明、小林、小刚三人的邮票枚数的比为 7∶4∶1，小明赠送给小刚 24枚邮 票，小林也赠送给小刚一些邮票，这时三人的邮票枚数比为 8∶3∶5。小林赠送 给小刚多少枚邮票？ 9．甲、乙两筐苹果的质量比是5: 4。若从甲筐取 20kg放入乙筐，则甲、乙两筐 苹果的质量比是1: 2。甲筐原来有苹果多少千克？ 3 / 4 10．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是 8∶5，后来又 有 20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是 10∶3，这个 年级有多少名学生？ 11．学校图书室故事书占总数的 2 5 ，再买进 400本故事书，这时故事书与其他书 本数比是 4∶5，原来有多少本书？ 12．甲、乙两瓶药液质量的比是 4∶1，如果从甲瓶中取出 13g倒入乙瓶后，甲 乙两瓶药液质量的比变成了 7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？ 13．北京时间 2021年 12月 9日下午，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中 国空间站开设了一场精彩的太空科普课。六（1）班少先队大队委集中观看了直 播。其中参与的男队员与女队员的人数比是 3∶2，后来又来了 6名女队员参与 观看，这时男队员与女队员的人数比是 5∶4。原来参与观看直播的男、女队员 各有多少名？ 4 / 4 14．湖滨新区两个学校教师流动，甲乙两学校教师人数之比为 7∶3，如果从甲 学校调出 30人到乙学校，那么甲、乙两学校教师人数之比为 3∶2，问这两个学 校原来教师人数共多少人？ 15．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的 13，后来 又有 20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是 3∶4。六年级一共有 多少人？ 16．甲、乙两袋淀粉的质量比是 5∶2，从甲袋中取出 130g放入乙袋中，甲乙两 袋淀粉的质量比是 6∶5，原来甲袋中有淀粉多少 g？ 17．甲、乙两个车间原有人数比 4∶3，从甲车间调 48人到乙车间，甲、乙两个 车间现有人数比 2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？ 18．两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的 5 8 ，如果从甲堆煤里取出 26吨，从乙堆 煤里取出 10吨，两堆煤剩下重量的比是 1∶1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 1 / 13 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末难点 05：比与不变量问题“奥数思维训练版” 1．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是 4∶3，把甲车间 职工的 1 6 调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多 2人，原来甲、乙两车间各有 职工多少人？ 【答案】甲：24人；乙：18人 【分析】结合题意，可把甲乙两个车间的职工总人数看作单位“1”，则甲车间职 工人数占总人数的 4 7 ，乙车间职工人数占总人数的 3 7 ；因为把甲车间职工的 1 6 调 入乙车间，甲车间职工人数的 1 6 就是： 4 7 × 1 6 ＝ 2 21； 此时，甲车间职工人数占总人数的（ 4 7 － 2 21），乙车间职工人数占总人数的（ 3 7 ＋ 2 21）；又已知乙车间职工比甲车间多 2人，则 2人对应的分率应是乙车间职 工人数占比与甲车间职工人数占比之差，根据已知一个数的几分之几是多少，求 这个数用除法计算，可列式为：2÷[（ 3 7 ＋ 2 21）－（ 4 7 － 2 21）]，求得的结果是甲 乙两个车间职工总人数，再分别乘原来甲乙车间职工人数占总人数的分率，可得 到原来甲、乙两车间各有职工多少人。 【详解】4÷（4＋3） ＝4÷7 ＝ 4 7 3÷（4＋3） ＝3÷7 ＝ 3 7 4 7 × 1 6 ＝ 2 21 2÷[（ 3 7 ＋ 2 21）－（ 4 7 － 2 21）] ＝2÷[ 1121－ 10 21 ] 2 / 13 ＝2÷ 1 21 ＝42（人） 42× 4 7 ＝24（人） 42× 3 7 ＝18（人） 答：原来甲车间有职工 24人，乙车间有职工 18人。 【点睛】综合考查了有关比的应用、分数除法的应用，其中，分数除法列式前， 要先考虑单位“1”，以及把具体数量与分率相对应。 2．水果店运进一批水果，第一天卖出总数的 15，第二天卖出 100千克，这时已 卖的与剩下的质量比是 11∶19，水果店一共运进水果多少千克？ 【答案】600千克 【分析】已卖的与剩下的质量比是 11∶19，也就是第一天、第二天共卖出的水 果占全部水果的 11 11 19＋ 即 11 30，则第二天卖出的水果占全部的 11 1 30 5 － 即 1 6 ，也就是 全部水果的 1 6 是 100千克，求全部水果的质量用除法解答。 【详解】 11 1100 11 19 5 （ － ） ＋ ＝100÷（ 11 1 30 5 － ） ＝100÷ 1 6 ＝600（千克） 答：水果店一共运进水果 600千克。 【点睛】本题考查了按比分配及分数除法的问题。按比分配问题先根据比求出总 份数，再求出各部分的数量占总数量的几分之几；若已知一个数的几分之几是多 少，求这个数用除法解答。 3．有 A、B两桶油，A桶油的质量与 B桶油的质量比是 3∶2，如果从 A桶倒入 B桶 21千克的油，A桶油与 B桶油的质量比是 4∶5。原来 A、B两桶油各多少 千克？ 【答案】81千克；54千克 【分析】将两桶油的总质量看作单位“1”，原来 A桶油占总质量的 3 3 2 ；倒入 B 3 / 13 桶21千克的油后，A桶油占总质量的 4 4 5 ，A桶油减少了总质量的（ 3 3 2 － 4 4 5 ）， 用 A桶油减少的质量÷对应分率＝两桶油的总质量；总质量÷原来总份数，求出 一份数，一份数分别乘原来两桶油的对应份数，即可求出两桶油的质量。 【详解】21÷（ 3 3 2 － 4 4 5 ） ＝21÷（ 35－ 4 9 ） ＝21÷ 745 ＝135（千克） 135÷（3＋2） ＝135÷5 ＝27（千克） 27×3＝81（千克） 27×2＝54（千克） 答：原来 A、B两桶油各 81千克、54千克。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解比的意义，掌握按比分配问题的解题方法。 4．为保障疫情期间的医疗物资供应，全国各地医疗物资生产企业加班加点生产， 某企业接到生产一批防护服的生产任务，第一天生产的套数与总套数的比是 1∶5，第二天生产了 880套防护服。两天完成的套数比未完成的套数少 15。这批 防护服的生产任务一共是多少套？ 【答案】3600套 【分析】假设这批防护服的生产任务一共是 x套，第一天生产的套数与总套数的 比是 1∶5，第一天生产 15 x套，已知两天完成的套数是未完成的套数的（1－ 1 5）， 所以有等量关系：两天完成的套数＝未完成的套数×（1－ 15），两天完成的套数 用（ 1 5 x＋880）表示，未完成的套数用（x－ 1 5 x－880）表示，据此列方程解答即 可。 【详解】解：设这批防护服的生产任务一共是 x套。 1 5 x＋880＝（x－ 1 5 x－880）×（1－ 1 5） 4 / 13 1 5 x＋880＝（ 4 5 x－880）× 4 5 5 25 x＋880＝ 16 25 x－704 16 25 x－ 5 25 x＝880＋704 11 25 x＝1584 x＝1584÷ 1125 x＝3600 答：这批防护服的生产任务一共是 3600套。 【点睛】本题主要考查了比以及分数除法的应用，关键是根据等量关系列出方程。 5．修路队修一条路，已修的路程与剩下的路程比是 2∶3，如果再修 560米，已 修路程正好是全长的 3 4 ，这条路一共多长？ 【答案】1600米 【分析】把这条路的全长看作单位“1”，已修的路程与剩下的路程比是 2∶3，即 已修的路程占全长的 2 2+3 ；再修 560米，已修路程正好是全长的 3 4 ，得出 560米 占全长的（ 3 4 － 2 2+3 ），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除 法计算，求出这条路的全长。 【详解】560÷（ 3 4 － 2 2+3 ） ＝560÷（ 3 4 － 2 5 ） ＝560÷（ 15 20 － 8 20 ） ＝560÷ 720 ＝560× 20 7 ＝1600（米） 答：这条路一共长 1600米。 【点睛】把比转化成分数，利用分数除法的意义列式计算，找出 560米占全长的 几分之几是解题的关键。 6．某工厂有三个车间，第一车间人数与总数的比是 1∶4，第二车间人数是第三 5 / 13 车间的 7 8 。第一车间比第三车间少 21人，这个工厂一共有多少人？ 【答案】140人 【分析】把三个车间的总人数看作单位“1”，由第一车间人数与总数的比是 1∶4 可知，第一车间人数占总人数的 1 4，则第二、三车间的人数和占总人数的（1－ 1 4 ）； 已知第二车间人数是第三车间的 7 8 ，即第三车间占第二、三车间人数和的 8 8 7 ， 根据分数乘法的意义，可得出第三车间占总人数的（1－ 14 ）× 8 8 7 ＝ 2 5；已知第 一车间比第三车间少 21人，少的人数占总人数的（ 2 5 － 1 4），单位“1”未知，用 除法计算，即可求出三个车间的总人数。 【详解】第三车间人数占总数的： （1－ 14）× 8 8 7 ＝ 3 4 × 815 ＝ 2 5 一共有： 21÷（ 2 5－ 1 4） ＝21÷（ 820－ 5 20 ） ＝21÷ 3 20 ＝21× 20 3 ＝140（人） 答：这个工厂一共有 140人。 【点睛】将比转化成分数，找出单位“1”，分析出第一车间比第三车间少的 21人 占总人数的几分之几，然后根据分数除法的意义列式计算。 7．六年级有学生 236人，选出男生人数的 1 9 和 5名女生参加比赛，剩下的女生 人数与男生人数的比是 15∶16，男生有多少人？ 【答案】126人 6 / 13 【分析】选出男生人数的 1 9 和 5名女生参加比赛，则把男生总人数看作单位“1”， 剩下的男生人数占男生总人数的（1－ 1 9 ），已知剩下的女生人数与男生人数的 比是 15∶16，把剩下女生人数看作 15份，剩下男生人数看作 16份，根据分数 除法的意义，用 16÷（1－ 1 9 ）即可求出男生总人数占的份数，加上剩下女生人数 的份数，对应的数量就是学生总数减选出女生的人数，据此可求出每份是多少， 进而可求出男生总人数。据此解答。 【详解】16÷（1－ 1 9 ） ＝16÷ 8 9 ＝18（份） （236－5）÷（18＋15） ＝231÷33 ＝7（人） 7×18＝126（人） 答：男生有 126人。 【点睛】本题的重点是统一份数，求出男生总人数和剩下女生占的份数，进而求 出每份是多少，然后求出男生总人数。 8．小明、小林、小刚三人的邮票枚数的比为 7∶4∶1，小明赠送给小刚 24枚邮 票，小林也赠送给小刚一些邮票，这时三人的邮票枚数比为 8∶3∶5。小林赠送 给小刚多少枚邮票？ 【答案】42枚 【分析】三人邮票总数不变，将三人邮票总数看作单位“1”，开始小明邮票枚数 占邮票总数的 7 7 4 1  ，小明和小林都赠送给小刚邮票后，小明邮票枚数占邮票 总数的 8 8 3 5  ，因此 24枚邮票占邮票总数的 7 8 7 4 1 8 3 5        ，根据部分数量÷ 对应分率＝整体数量，求出三人邮票总数，小林邮票数量减少了总数的 4 3 7 4 1 8 3 5        ，三人邮票总数×小林邮票数量减少的对应分率＝小林赠送给 小刚的数量，据此列式解答。 7 / 13 【详解】 7 824 7 4 1 8 3 5         7 8=24 12 16       4=24 48  48=24 4  288 （枚） 4 3288 7 4 1 8 3 5         4 3=288 12 16       7=288 48  =42（枚） 答：小林赠送给小刚 42枚邮票。 【点睛】关键是理解比的意义，明确总数不变，从而确定单位“1”，根据分数乘 除法的意义，进行解答。 9．甲、乙两筐苹果的质量比是5: 4。若从甲筐取 20kg放入乙筐，则甲、乙两筐 苹果的质量比是1: 2。甲筐原来有苹果多少千克？ 【答案】50kg 【分析】因甲、乙两筐苹果的质量比是5: 4，可知乙筐苹果是总质量的 4 9 ，从甲 筐取 20kg放入乙筐，则甲、乙两筐苹果的质量比是1: 2，这时乙筐苹果是总质量 的 2 3 ，也就是 20公斤对应着（ 2 3 － 4 9 ），用除法求出苹果的总质量，据此解答。 【详解】5 4 9  1 2 3  2 420 3 9       ＝20÷ 2 9 ＝90（kg） 590 50(kg) 9   答：甲筐原来有苹果50kg。 8 / 13 【点睛】理解从甲筐中取中 20千克放入乙筐后，乙筐苹果的质量由占总质量的 49 变成占质量的 2 3 ，从而求出苹果的总质量是解答此题的关键。 10．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是 8∶5，后来又 有 20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是 10∶3，这个 年级有多少名学生？ 【答案】130名 【分析】总人数没变，即单位“1”没变，用 20名学生÷对应分率＝总人数，据此 列式解答。 【详解】20÷（ 10 10 3 － 8 8 5 ） ＝20÷（10 13 － 8 13 ） ＝20÷ 2 13 ＝130（名） 答：这个年级有 130名学生。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。 11．学校图书室故事书占总数的 2 5 ，再买进 400本故事书，这时故事书与其他书 本数比是 4∶5，原来有多少本书？ 【答案】5000本 【分析】学校图书室故事书占总数的 2 5 ，把故事书看作 2份，其他书本数是 5－ 2＝3份，把其他书本数看作单位“1”，故事书占其他书本数的 2 3 ，再买进 400本 故事书，这时故事书占其他书本数的 4 5 ，400所对应的分率是（ 4 5 － 2 3 ），用 400 除以其所对应的分率就是其他书的本数，其他书的本数× 2 3 ＝故事书的本书，最 后相加就是原来有多少本书。 【详解】其他书本数：400÷（ 4 5－ 2 5 2 ） ＝400÷（ 4 5－ 2 3 ） ＝400÷ 215 9 / 13 ＝3000（本） 原来故事书本数：3000× 2 3 ＝2000（本） 3000＋2000＝5000（本） 答：原来有 5000本书。 【点睛】把其他书本数看作单位“1”，进而找出“再买进 400本故事书”所对应的 分率是解题的关键。 12．甲、乙两瓶药液质量的比是 4∶1，如果从甲瓶中取出 13g倒入乙瓶后，甲 乙两瓶药液质量的比变成了 7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？ 【答案】甲液原来有 48克、乙药液原来有 12克。 【分析】甲乙两瓶药液的质量之和没有发生变化，则原先甲乙两瓶药液的质量之 和看做 5份，现在甲乙两瓶药液的质量之和看做 12份，统一成 60份后，甲药液 由原来的 48份，变成现在的 35份，少了 13份，每一份是 1克，据此求出甲、 乙两瓶药液原来各有多少克即可。 【详解】4∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶12 7∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶25 13÷（48－35） ＝13÷13 ＝1（克） 甲：1×48＝48（克） 乙：1×12＝12（克） 答：甲液原来有 48克、乙药液原来有 12克。 【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。 13．北京时间 2021年 12月 9日下午，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中 国空间站开设了一场精彩的太空科普课。六（1）班少先队大队委集中观看了直 播。其中参与的男队员与女队员的人数比是 3∶2，后来又来了 6名女队员参与 观看，这时男队员与女队员的人数比是 5∶4。原来参与观看直播的男、女队员 各有多少名？ 【答案】男队员 45人，女队员 30人 10 / 13 【分析】先前参与的男队员与女队员的人数比是 3∶2＝15∶10，后来男队员与 女队员的人数比是 5∶4＝15∶12，把队员的人数比看作份数，前后比较，男生 份数没变，女生由先前的 10份，增长到 12份，增加了 2份，对应的是 6名女队 员加入，所以一份人数是 3人，乘先前男生和女生各自的份数，得到最终的答案。 【详解】3∶2＝3×5∶2×5＝15∶10，5∶4＝5×3∶4×3＝15∶12 6 (12 10) 6 2 3     （名） 男队员：3 15 45  （名），女队员：3 10 30  （名） 答：原来参与观看直播的男队员 45名，女队员有 30名。 【点睛】解决此题的关键是抓住男队员人数不变，把男女队员的人数看作份数， 求出一份的数量，再去求部分的量。 14．湖滨新区两个学校教师流动，甲乙两学校教师人数之比为 7∶3，如果从甲 学校调出 30人到乙学校，那么甲、乙两学校教师人数之比为 3∶2，问这两个学 校原来教师人数共多少人？ 【答案】300人 【分析】把两个学校教师的总人数看作单位“1”，两个学校教师的总人数不变， 原来甲学校老师人数占两个学校教师总人数的 7 7 3      ，现在甲学校老师人数占两 个学校教师总人数的 3 3 2      ，两个分率之差对应甲学校调出的教师人数，根据“量 ÷对应的分率”即可求得两个学校教师的总人数。 【详解】30÷（ 7 7 3 － 3 3 2 ） ＝30÷（ 7 10 － 3 5） ＝30÷ 1 10 ＝300（人） 答：这两个学校原来教师人数共 300人。 【点睛】抓住题中的不变量并找出甲学校调出人数占总人数的分率是解答题目的 关键。 15．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的 13，后来 又有 20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是 3∶4。六年级一共有 11 / 13 多少人？ 【答案】210人 【分析】把六年级的学生总数看作单位“1”，原来参加兴趣小组的人数占总人数 的 1 3，现在参加兴趣小组的人数占总人数的 3 3 4      ，后来又参加的 20人对应的 分率为两个分数的分率之差，利用“量÷对应的分率”即可求得六年级的总人数， 据此解答。 【详解】20÷（ 3 3 4 － 1 3） ＝20÷（ 3 7 － 1 3） ＝20÷ 221 ＝210（人） 答：六年级一共有 210人。 【点睛】题中六年级学生的总人数不变，找出后来又参加人数对应的分率是解答 题目的关键。 16．甲、乙两袋淀粉的质量比是 5∶2，从甲袋中取出 130g放入乙袋中，甲乙两 袋淀粉的质量比是 6∶5，原来甲袋中有淀粉多少 g？ 【答案】550g 【分析】根据题意，发现甲、乙两袋淀粉的总质量不变，把两袋淀粉的总质量看 作单位“1”；原来甲袋淀粉占总质量的 5 5 2 ，从甲袋中取出 130g放入乙袋中，则 后来甲袋淀粉占总质量的 6 6 5 ；取出的 130g淀粉所对应的分率是（ 5 5 2 － 6 6 5 ）， 用除法计算，求出单位“1”的量，即两袋淀粉的总质量，再乘 5 5 2 ，即可求出原 来甲袋的淀粉质量。 【详解】甲、乙两袋淀粉的总质量： 130÷（ 5 5 2 － 6 6 5 ） ＝130÷（ 57 － 6 11 ） ＝130÷（ 5577－ 42 77 ） 12 / 13 ＝130÷ 13 77 ＝130× 77 13 ＝770（g） 甲袋原有淀粉： 770× 5 5 2 ＝770× 57 ＝550（g） 答：原来甲袋中有淀粉 550g。 【点睛】抓住甲、乙两袋淀粉的总质量不变，以及求出 130g淀粉所对应的分率 是解题的关键。 17．甲、乙两个车间原有人数比 4∶3，从甲车间调 48人到乙车间，甲、乙两个 车间现有人数比 2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？ 【答案】甲车间 160人；乙车间 120人 【分析】从甲车间调 48人到乙车间，甲乙两车间的总人数不变，原来甲占两车 间总人数的 4 4 3 ，现在甲占两车间总人数的 2 2 3 ，两个分率之差对应从甲车间调 去乙车间的人数，根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数，再根据比的应 用求出甲、乙两车间原有的人数，据此解答。 【详解】48÷（ 4 4 3 － 2 2 3 ） ＝48÷（ 4 7 － 2 5） ＝48÷ 6 35 ＝280（人） 甲：280× 4 4 3 ＝160（人） 乙：280× 3 4 3 ＝120（人） 答：甲车间原有 160人，乙车间原有 120人。 【点睛】抓住题中的不变量，并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题目 的关键。 13 / 13 18．两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的 5 8 ，如果从甲堆煤里取出 26吨，从乙堆 煤里取出 10吨，两堆煤剩下重量的比是 1∶1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 【答案】64吨 【分析】把总重量看作单位“1”，已知原来甲堆煤的重量占总重量的 5 8 ，原来乙 堆煤的重量占总重量的（1－ 5 8 ），假设甲乙两堆煤共有 x吨，根据分数乘法的 意义，可知原来甲堆煤的重量是 5 8 x吨，原来乙堆煤的重量是（1－ 5 8 ）x吨；已 知两堆煤剩下重量的比是 1∶1，根据比的意义，可知两堆煤剩下重量相等，据 此可知原来甲堆煤的重量－26吨＝原来乙堆煤的重量－10吨，列方程为 5 8 x－26 ＝（1－ 5 8 ）x－10，然后解出方程即可。 【详解】解：设甲乙两堆煤共有 x吨。 5 8 x－26＝（1－ 5 8 ）x－10 5 8 x－26＝ 38 x－10 5 8 x＝ 38 x－10＋26 5 8 x＝ 38 x＋16 5 8 x－ 38 x＝16 1 4 x＝16 x＝16÷ 14 x＝16×4 x＝64 答：甲乙两堆煤共有 64吨。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末难点05：比与不变量问题“奥数思维训练版” 1．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是4∶3，把甲车间职工的调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多2人，原来甲、乙两车间各有职工多少人？ 2．水果店运进一批水果，第一天卖出总数的，第二天卖出100千克，这时已卖的与剩下的质量比是11∶19，水果店一共运进水果多少千克？ 3．有A、B两桶油，A桶油的质量与B桶油的质量比是3∶2，如果从A桶倒入B桶21千克的油，A桶油与B桶油的质量比是4∶5。原来A、B两桶油各多少千克？ 4．为保障疫情期间的医疗物资供应，全国各地医疗物资生产企业加班加点生产，某企业接到生产一批防护服的生产任务，第一天生产的套数与总套数的比是1∶5，第二天生产了880套防护服。两天完成的套数比未完成的套数少。这批防护服的生产任务一共是多少套？ 5．修路队修一条路，已修的路程与剩下的路程比是2∶3，如果再修560米，已修路程正好是全长的，这条路一共多长？ 6．某工厂有三个车间，第一车间人数与总数的比是1∶4，第二车间人数是第三车间的。第一车间比第三车间少21人，这个工厂一共有多少人？ 7．六年级有学生236人，选出男生人数的和5名女生参加比赛，剩下的女生人数与男生人数的比是15∶16，男生有多少人？ 8．小明、小林、小刚三人的邮票枚数的比为7∶4∶1，小明赠送给小刚24枚邮票，小林也赠送给小刚一些邮票，这时三人的邮票枚数比为8∶3∶5。小林赠送给小刚多少枚邮票？ 9．甲、乙两筐苹果的质量比是。若从甲筐取放入乙筐，则甲、乙两筐苹果的质量比是。甲筐原来有苹果多少千克？ 10．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是8∶5，后来又有20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是10∶3，这个年级有多少名学生？ 11．学校图书室故事书占总数的，再买进400本故事书，这时故事书与其他书本数比是4∶5，原来有多少本书？ 12．甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1，如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？ 13．北京时间2021年12月9日下午，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站开设了一场精彩的太空科普课。六（1）班少先队大队委集中观看了直播。其中参与的男队员与女队员的人数比是3∶2，后来又来了6名女队员参与观看，这时男队员与女队员的人数比是5∶4。原来参与观看直播的男、女队员各有多少名？ 14．湖滨新区两个学校教师流动，甲乙两学校教师人数之比为7∶3，如果从甲学校调出30人到乙学校，那么甲、乙两学校教师人数之比为3∶2，问这两个学校原来教师人数共多少人？ 15．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是3∶4。六年级一共有多少人？ 16．甲、乙两袋淀粉的质量比是5∶2，从甲袋中取出130g放入乙袋中，甲乙两袋淀粉的质量比是6∶5，原来甲袋中有淀粉多少g？ 17．甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？ 18．两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的，如果从甲堆煤里取出26吨，从乙堆煤里取出10吨，两堆煤剩下重量的比是1∶1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末难点05：比与不变量问题“奥数思维训练版” 1．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是4∶3，把甲车间职工的调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多2人，原来甲、乙两车间各有职工多少人？ 【答案】甲：24人；乙：18人 【分析】结合题意，可把甲乙两个车间的职工总人数看作单位“1”，则甲车间职工人数占总人数的，乙车间职工人数占总人数的；因为把甲车间职工的调入乙车间，甲车间职工人数的就是：×＝； 此时，甲车间职工人数占总人数的（－），乙车间职工人数占总人数的（＋）；又已知乙车间职工比甲车间多2人，则2人对应的分率应是乙车间职工人数占比与甲车间职工人数占比之差，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可列式为：2÷[（＋）－（－）]，求得的结果是甲乙两个车间职工总人数，再分别乘原来甲乙车间职工人数占总人数的分率，可得到原来甲、乙两车间各有职工多少人。 【详解】4÷（4＋3） ＝4÷7 ＝ 3÷（4＋3） ＝3÷7 ＝ ×＝ 2÷[（＋）－（－）] ＝2÷[－] ＝2÷ ＝42（人） 42×＝24（人） 42×＝18（人） 答：原来甲车间有职工24人，乙车间有职工18人。 【点睛】综合考查了有关比的应用、分数除法的应用，其中，分数除法列式前，要先考虑单位“1”，以及把具体数量与分率相对应。 2．水果店运进一批水果，第一天卖出总数的，第二天卖出100千克，这时已卖的与剩下的质量比是11∶19，水果店一共运进水果多少千克？ 【答案】600千克 【分析】已卖的与剩下的质量比是11∶19，也就是第一天、第二天共卖出的水果占全部水果的即，则第二天卖出的水果占全部的即，也就是全部水果的是100千克，求全部水果的质量用除法解答。 【详解】 ＝100÷（） ＝100÷ ＝600（千克） 答：水果店一共运进水果600千克。 【点睛】本题考查了按比分配及分数除法的问题。按比分配问题先根据比求出总份数，再求出各部分的数量占总数量的几分之几；若已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答。 3．有A、B两桶油，A桶油的质量与B桶油的质量比是3∶2，如果从A桶倒入B桶21千克的油，A桶油与B桶油的质量比是4∶5。原来A、B两桶油各多少千克？ 【答案】81千克；54千克 【分析】将两桶油的总质量看作单位“1”，原来A桶油占总质量的；倒入B桶21千克的油后，A桶油占总质量的，A桶油减少了总质量的（－），用A桶油减少的质量÷对应分率＝两桶油的总质量；总质量÷原来总份数，求出一份数，一份数分别乘原来两桶油的对应份数，即可求出两桶油的质量。 【详解】21÷（－） ＝21÷（－） ＝21÷ ＝135（千克） 135÷（3＋2） ＝135÷5 ＝27（千克） 27×3＝81（千克） 27×2＝54（千克） 答：原来A、B两桶油各81千克、54千克。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解比的意义，掌握按比分配问题的解题方法。 4．为保障疫情期间的医疗物资供应，全国各地医疗物资生产企业加班加点生产，某企业接到生产一批防护服的生产任务，第一天生产的套数与总套数的比是1∶5，第二天生产了880套防护服。两天完成的套数比未完成的套数少。这批防护服的生产任务一共是多少套？ 【答案】3600套 【分析】假设这批防护服的生产任务一共是x套，第一天生产的套数与总套数的比是1∶5，第一天生产x套，已知两天完成的套数是未完成的套数的（1－），所以有等量关系：两天完成的套数＝未完成的套数×（1－），两天完成的套数用（x＋880）表示，未完成的套数用（x－x－880）表示，据此列方程解答即可。 【详解】解：设这批防护服的生产任务一共是x套。 x＋880＝（x－x－880）×（1－） x＋880＝（x－880）× x＋880＝x－704 x－x＝880＋704 x＝1584 x＝1584÷ x＝3600 答：这批防护服的生产任务一共是3600套。 【点睛】本题主要考查了比以及分数除法的应用，关键是根据等量关系列出方程。 5．修路队修一条路，已修的路程与剩下的路程比是2∶3，如果再修560米，已修路程正好是全长的，这条路一共多长？ 【答案】1600米 【分析】把这条路的全长看作单位“1”，已修的路程与剩下的路程比是2∶3，即已修的路程占全长的；再修560米，已修路程正好是全长的，得出560米占全长的（－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法计算，求出这条路的全长。 【详解】560÷（－） ＝560÷（－） ＝560÷（－） ＝560÷ ＝560× ＝1600（米） 答：这条路一共长1600米。 【点睛】把比转化成分数，利用分数除法的意义列式计算，找出560米占全长的几分之几是解题的关键。 6．某工厂有三个车间，第一车间人数与总数的比是1∶4，第二车间人数是第三车间的。第一车间比第三车间少21人，这个工厂一共有多少人？ 【答案】140人 【分析】把三个车间的总人数看作单位“1”，由第一车间人数与总数的比是1∶4可知，第一车间人数占总人数的，则第二、三车间的人数和占总人数的（1－）；已知第二车间人数是第三车间的，即第三车间占第二、三车间人数和的，根据分数乘法的意义，可得出第三车间占总人数的（1－）×＝；已知第一车间比第三车间少21人，少的人数占总人数的（－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出三个车间的总人数。 【详解】第三车间人数占总数的： （1－）× ＝× ＝ 一共有： 21÷（－） ＝21÷（－） ＝21÷ ＝21× ＝140（人） 答：这个工厂一共有140人。 【点睛】将比转化成分数，找出单位“1”，分析出第一车间比第三车间少的21人占总人数的几分之几，然后根据分数除法的意义列式计算。 7．六年级有学生236人，选出男生人数的和5名女生参加比赛，剩下的女生人数与男生人数的比是15∶16，男生有多少人？ 【答案】126人 【分析】选出男生人数的和5名女生参加比赛，则把男生总人数看作单位“1”，剩下的男生人数占男生总人数的（1－），已知剩下的女生人数与男生人数的比是15∶16，把剩下女生人数看作15份，剩下男生人数看作16份，根据分数除法的意义，用16÷（1－）即可求出男生总人数占的份数，加上剩下女生人数的份数，对应的数量就是学生总数减选出女生的人数，据此可求出每份是多少，进而可求出男生总人数。据此解答。 【详解】16÷（1－） ＝16÷ ＝18（份） （236－5）÷（18＋15） ＝231÷33 ＝7（人） 7×18＝126（人） 答：男生有126人。 【点睛】本题的重点是统一份数，求出男生总人数和剩下女生占的份数，进而求出每份是多少，然后求出男生总人数。 8．小明、小林、小刚三人的邮票枚数的比为7∶4∶1，小明赠送给小刚24枚邮票，小林也赠送给小刚一些邮票，这时三人的邮票枚数比为8∶3∶5。小林赠送给小刚多少枚邮票？ 【答案】42枚 【分析】三人邮票总数不变，将三人邮票总数看作单位“1”，开始小明邮票枚数占邮票总数的，小明和小林都赠送给小刚邮票后，小明邮票枚数占邮票总数的，因此24枚邮票占邮票总数的，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，求出三人邮票总数，小林邮票数量减少了总数的，三人邮票总数×小林邮票数量减少的对应分率＝小林赠送给小刚的数量，据此列式解答。 【详解】 （枚） （枚） 答：小林赠送给小刚42枚邮票。 【点睛】关键是理解比的意义，明确总数不变，从而确定单位“1”，根据分数乘除法的意义，进行解答。 9．甲、乙两筐苹果的质量比是。若从甲筐取放入乙筐，则甲、乙两筐苹果的质量比是。甲筐原来有苹果多少千克？ 【答案】 【分析】因甲、乙两筐苹果的质量比是，可知乙筐苹果是总质量的，从甲筐取放入乙筐，则甲、乙两筐苹果的质量比是，这时乙筐苹果是总质量的，也就是20公斤对应着（－），用除法求出苹果的总质量，据此解答。 【详解】    ＝20÷ ＝90（kg） 答：甲筐原来有苹果。 【点睛】理解从甲筐中取中20千克放入乙筐后，乙筐苹果的质量由占总质量的变成占质量的，从而求出苹果的总质量是解答此题的关键。 10．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是8∶5，后来又有20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是10∶3，这个年级有多少名学生？ 【答案】130名 【分析】总人数没变，即单位“1”没变，用20名学生÷对应分率＝总人数，据此列式解答。 【详解】20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷ ＝130（名） 答：这个年级有130名学生。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。 11．学校图书室故事书占总数的，再买进400本故事书，这时故事书与其他书本数比是4∶5，原来有多少本书？ 【答案】5000本 【分析】学校图书室故事书占总数的，把故事书看作2份，其他书本数是5－2＝3份，把其他书本数看作单位“1”，故事书占其他书本数的，再买进400本故事书，这时故事书占其他书本数的，400所对应的分率是（－），用400除以其所对应的分率就是其他书的本数，其他书的本数×＝故事书的本书，最后相加就是原来有多少本书。 【详解】其他书本数：400÷（－） ＝400÷（－） ＝400÷ ＝3000（本） 原来故事书本数：3000×＝2000（本） 3000＋2000＝5000（本） 答：原来有5000本书。 【点睛】把其他书本数看作单位“1”，进而找出“再买进400本故事书”所对应的分率是解题的关键。 12．甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1，如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？ 【答案】甲液原来有48克、乙药液原来有12克。 【分析】甲乙两瓶药液的质量之和没有发生变化，则原先甲乙两瓶药液的质量之和看做5份，现在甲乙两瓶药液的质量之和看做12份，统一成60份后，甲药液由原来的48份，变成现在的35份，少了13份，每一份是1克，据此求出甲、乙两瓶药液原来各有多少克即可。 【详解】4∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶12 7∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶25 13÷（48－35） ＝13÷13 ＝1（克） 甲：1×48＝48（克） 乙：1×12＝12（克） 答：甲液原来有48克、乙药液原来有12克。 【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。 13．北京时间2021年12月9日下午，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站开设了一场精彩的太空科普课。六（1）班少先队大队委集中观看了直播。其中参与的男队员与女队员的人数比是3∶2，后来又来了6名女队员参与观看，这时男队员与女队员的人数比是5∶4。原来参与观看直播的男、女队员各有多少名？ 【答案】男队员45人，女队员30人 【分析】先前参与的男队员与女队员的人数比是3∶2＝15∶10，后来男队员与女队员的人数比是5∶4＝15∶12，把队员的人数比看作份数，前后比较，男生份数没变，女生由先前的10份，增长到12份，增加了2份，对应的是6名女队员加入，所以一份人数是3人，乘先前男生和女生各自的份数，得到最终的答案。 【详解】3∶2＝3×5∶2×5＝15∶10，5∶4＝5×3∶4×3＝15∶12 （名） 男队员：（名），女队员：（名） 答：原来参与观看直播的男队员45名，女队员有30名。 【点睛】解决此题的关键是抓住男队员人数不变，把男女队员的人数看作份数，求出一份的数量，再去求部分的量。 14．湖滨新区两个学校教师流动，甲乙两学校教师人数之比为7∶3，如果从甲学校调出30人到乙学校，那么甲、乙两学校教师人数之比为3∶2，问这两个学校原来教师人数共多少人？ 【答案】300人 【分析】把两个学校教师的总人数看作单位“1”，两个学校教师的总人数不变，原来甲学校老师人数占两个学校教师总人数的，现在甲学校老师人数占两个学校教师总人数的，两个分率之差对应甲学校调出的教师人数，根据“量÷对应的分率”即可求得两个学校教师的总人数。 【详解】30÷（－） ＝30÷（－） ＝30÷ ＝300（人） 答：这两个学校原来教师人数共300人。 【点睛】抓住题中的不变量并找出甲学校调出人数占总人数的分率是解答题目的关键。 15．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是3∶4。六年级一共有多少人？ 【答案】210人 【分析】把六年级的学生总数看作单位“1”，原来参加兴趣小组的人数占总人数的，现在参加兴趣小组的人数占总人数的，后来又参加的20人对应的分率为两个分数的分率之差，利用“量÷对应的分率”即可求得六年级的总人数，据此解答。 【详解】20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷ ＝210（人） 答：六年级一共有210人。 【点睛】题中六年级学生的总人数不变，找出后来又参加人数对应的分率是解答题目的关键。 16．甲、乙两袋淀粉的质量比是5∶2，从甲袋中取出130g放入乙袋中，甲乙两袋淀粉的质量比是6∶5，原来甲袋中有淀粉多少g？ 【答案】550g 【分析】根据题意，发现甲、乙两袋淀粉的总质量不变，把两袋淀粉的总质量看作单位“1”；原来甲袋淀粉占总质量的，从甲袋中取出130g放入乙袋中，则后来甲袋淀粉占总质量的；取出的130g淀粉所对应的分率是（－），用除法计算，求出单位“1”的量，即两袋淀粉的总质量，再乘，即可求出原来甲袋的淀粉质量。 【详解】甲、乙两袋淀粉的总质量： 130÷（－） ＝130÷（－） ＝130÷（－） ＝130÷ ＝130× ＝770（g） 甲袋原有淀粉： 770× ＝770× ＝550（g） 答：原来甲袋中有淀粉550g。 【点睛】抓住甲、乙两袋淀粉的总质量不变，以及求出130g淀粉所对应的分率是解题的关键。 17．甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？ 【答案】甲车间160人；乙车间120人 【分析】从甲车间调48人到乙车间，甲乙两车间的总人数不变，原来甲占两车间总人数的，现在甲占两车间总人数的，两个分率之差对应从甲车间调去乙车间的人数，根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数，再根据比的应用求出甲、乙两车间原有的人数，据此解答。 【详解】48÷（－） ＝48÷（－） ＝48÷ ＝280（人） 甲：280×＝160（人） 乙：280×＝120（人） 答：甲车间原有160人，乙车间原有120人。 【点睛】抓住题中的不变量，并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题目的关键。 18．两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的，如果从甲堆煤里取出26吨，从乙堆煤里取出10吨，两堆煤剩下重量的比是1∶1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 【答案】64吨 【分析】把总重量看作单位“1”，已知原来甲堆煤的重量占总重量的，原来乙堆煤的重量占总重量的（1－），假设甲乙两堆煤共有x吨，根据分数乘法的意义，可知原来甲堆煤的重量是x吨，原来乙堆煤的重量是（1－）x吨；已知两堆煤剩下重量的比是1∶1，根据比的意义，可知两堆煤剩下重量相等，据此可知原来甲堆煤的重量－26吨＝原来乙堆煤的重量－10吨，列方程为x－26＝（1－）x－10，然后解出方程即可。 【详解】解：设甲乙两堆煤共有x吨。 x－26＝（1－）x－10 x－26＝x－10 x＝x－10＋26 x＝x＋16 x－x＝16 x＝16 x＝16÷ x＝16×4 x＝64 答：甲乙两堆煤共有64吨。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$