期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆【十九大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 22 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 22 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆 专题内容 本专题包括圆的认识、周长、面积以及利用方向与距离描述 路线等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十九大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................4 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................8 【考点一】描述方向，确定位置 ....................................................................................... 8 【考点二】描述或绘制路线 ...............................................................................................9 【考点三】圆与扇形的认识和基本概念 ..........................................................................10 【考点四】圆规作图 ........................................................................................................ 10 【考点五】直径和半径的关系 ......................................................................................... 11 【考点六】圆的数量问题 .................................................................................................12 【考点七】关于圆周率π ..................................................................................................12 3 / 22 【考点八】圆的周长问题 .................................................................................................13 【考点九】圆周长的比较问题 ......................................................................................... 13 【考点十】不规则或组合图形的周长 ..............................................................................15 【考点十一】圆与长方形的拼切转化问题 ...................................................................... 16 【考点十二】圆的面积问题 ............................................................................................. 16 【考点十三】半圆的周长和面积 ..................................................................................... 17 【考点十四】含圆的阴影图形面积大小比较 .................................................................. 18 【考点十五】半径、直径和周长、面积的三种关系 .......................................................19 【考点十六】外方内圆和外圆内方 ..................................................................................19 【考点十七】圆环的面积问题 ......................................................................................... 20 【考点十八】扇形的面积问题 ......................................................................................... 21 【考点十九】含圆的阴影部分面积问题 ..........................................................................21 4 / 22 【第三篇】知识总览篇 知识点一：根据方向和距离确定物体位置。 1. 确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向(角度)； 2. 用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际 距离； 3. 根据方向(角度)和距离准确判断或描述被测物体的位置。 注意：东偏北 30°也可说成北偏东 60°。 知识点二：绘制路线图的步骤。 1. 画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺。 2. 确定起点的位置。 3. 根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以 每一段新的起点为观测点。 4. 以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和 距离。 5. 标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的) 知识点三：圆的认识。 1．圆的定义。 一条线段绕一个端点旋转 360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心。 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径。 连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 5 / 22 半径一般用字母 r表示，如图中的线段 OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5. 直径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母 d表示。如图中的 线段 BC。 6. 轴对称图形。 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对 称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7. 圆的对称轴。 直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点四：圆的周长。 1．圆的周长。 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率。 圆的周长总是直径的 3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和 直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算 时，π一般取 3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数 学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 4. 半圆的周长。 半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 知识点五：圆的面积。 1. 圆的面积。 圆所占面积的大小叫圆的面积。 6 / 22 2．圆的面积公式。 或者 或者 3．半圆的面积。 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 4. 外方内圆与外圆内方。 （1）在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方 形面积比为π:4。 （2）在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积 与正方形的面积比为π:2。 （3）在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5. 圆环的面积。 一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r，它的面积是 或 。（其中 R＝r＋环的宽度） 6．半径、直径和周长、面积的三种关系。 （1）在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的 倍数，而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 （2）两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方； 圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是 2π:1，比值是 2π。 （3）当一个圆的半径增加 a 厘米时，它的周长就增加 2πa厘米；当一个圆的直 径增加 a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 7．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 知识点六：扇形。 1. 圆上 A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”，一条弧和经过这条弧两端 的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆 心角越大，扇形越大。 3. 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 7 / 22 。 4. 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几 分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 8 / 22 【第四篇】典型例题篇 【考点一】描述方向，确定位置。 【典型例题】 1. 学校在体育场的西偏南 45°方向，体育场在学校的( )方向。 2. 观察图，完成下列各题。 (1)以小红为观测点，小亮在小红的( )偏( )( )方向 ( )m处。 (2)以小亮为观测点，小红在小亮的( )偏( )( )方向 ( )m处。 【对应练习】 1. 淘气家在学校的北偏东60方向上700m处。则学校在淘气家( )60方 向上( )m处。 2. 锦绣小区在学校的( )偏( )( )方向上，距离是 ( )米；学校在锦绣小区的( )偏( )( )方向上，距 离是( )米。 9 / 22 【考点二】描述或绘制路线。 【典型例题】 12路公共汽车从起点站出发，先向西偏北 40°行驶 3千米走到 A站，然后再向 正西行驶 5千米到达 B站，最后向西偏南 50°行驶 4千米到达终点站。 （1）根据上面的描述，把 12路公共汽车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，描述 12路公共汽车原路返回时所行驶的方向和路程。 【对应练习】 1. 如图所示，从车站出发向东方向走( )米到达书店，再向( )偏 ( )30°方向走 2000米到达邮局，最后向( )偏 ( )( )方向走 2000米就到达学校。 2. 李叔叔驾车从家向东偏北 35°方向行驶 2千米后向西行驶 5千米，最后向西偏 南 30°行驶 3千米到达森林公园。 （1）根据上面的描述，把李叔叔驾车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，说说李叔叔驾车原路返回时所行驶的方向和路程。 10 / 22 【考点三】圆与扇形的认识和基本概念。 【典型例题】 1. 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是 ( )。 2. 如图，圆周上 A、B两点之间的部分叫做( )，由半径 OA、OB和孤 AB围成的涂色部分是( )，这一部分面积是圆面积的 () () 。 【对应练习】 1. ( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 2. 在同一个圆中，扇形的大小与( )有关，以 1 6 圆为弧的扇形圆心角是 ( )度。 【考点四】圆规作图。 【典型例题】 画一个直径 4cm的圆，并且标出它的圆心、半径。 【对应练习】 1．（1）画一个 4cm的线段，以线段为直径画一个圆，并标出圆心 O。 （2）在所画圆中，画两条互相垂直的直径；依次连接这两条直径的四个端点， 得到一个小正方形并涂上阴影。 （3）请求出这个圆和这个小正方形空白部分的面积。 11 / 22 2．龙龙在一次图形设计中，需要用作图工具在边长是 2.8厘米的正方形纸上画 一个最大的圆，如图是他所画圆的一部分。 （1）请你用圆规和直尺把龙龙所画的圆补充完整。（保留作图痕迹） （2）请你求出这幅设计图中圆的面积。 【考点五】直径和半径的关系。 【典型例题】 看图填一填。 (1) 半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【对应练习】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） 12 / 22 r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【考点六】圆的数量问题。 【典型例题】 1. 把一张边长是 8分米的正方形纸片剪成半径是 0.5分米的圆片，一共可以剪 ( )个。 2. 在长 12.4cm、宽 7.2cm的长方形纸中，剪半径是 1cm的圆，能剪( ) 个。 【对应练习】 在一块长 42厘米、宽 35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是 3.5厘米的圆，最多 能剪( )个。 【考点七】关于圆周率π。 【典型例题】 下列关于圆周率 ，说法正确的是( )。 ① 是个无限不循环小数。 ② ＞3.14。 ③周长大的圆， 就大，周长小的圆， 就小。 ④ 是圆的周长除以它直径的商。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【对应练习】 1. 我国关于圆周率的最早记录出自( )。 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱茵德草卷》 D．《几何原本》 2. 我国古代( )算出π的值在 3.1415926和 3.1415927之间． 13 / 22 【考点八】圆的周长问题。 【典型例题】 1. 一台座钟的分针长 10厘米，经过 45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是 多少厘米？ 2. 世贸摩天城的摩天轮，它的直径大约是 90米，旋转一周所需时间约 30分钟， 东东坐上摩天轮 20分钟后，他在空中大约移动了多少米？ 【对应练习】 1. 一辆自行车车轮直径 70厘米，如果车轮平均每分钟转 100圈，那么行驶完 5495 米的大桥需要多少分钟？ 2. 小明和小亮沿着半径是 500m的圆形湖边同时从同一地点相向而行。小明每分 钟行 81m，小亮每分钟行 76m，两人经过多少分钟相遇？ 【考点九】圆周长的比较问题。 【典型例题 1】其一。 如图是由 4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从 A点出发前往 D点，甲 蚂蚁沿着最大半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的 3个半圆的弧线走。如果它们用 同样的速度一直走，能同时到达 D点吗？为什么？请写出你的思考过程。 14 / 22 【典型例题 2】其二。 下图中，外面一个圆的周长与里面两个小圆的周长之和相比，( )。 A．外圆的周长长 B．两个内圆周长的和长 C．一样长 D．无法确定哪个长 【对应练习】 1. 在一个大圆里，以它的直径上的三个点为圆心，画出三个紧密相连的圆（如 下图）。你知道大圆的周长和这三个小圆的周长之和相比，哪一个更长一些吗？ 2. 如图，大圆的周长( )两个小圆的周长之和。 A．等于 B．大于 C．小于 15 / 22 【考点十】不规则或组合图形的周长。 【典型例题】 计算操场的周长。 【对应练习】 1. 计算下面图形的周长。 2. 计算下面图形的周长。 16 / 22 【考点十一】圆与长方形的拼切转化问题。 【典型例题】 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是 ( )cm2。 【对应练习】 1. 如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来 圆周长多 8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是 ( )平方厘米。 2. 把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为 41.4cm，这个圆的面积 是( )。 【考点十二】圆的面积问题。 【典型例题】 一个钟表的分针长 10厘米，时针长 8厘米。从 1时到 2时，分针针尖走过了多 少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数） 【对应练习】 1. 某钟表的分针长 10厘米，从 1时到 4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫 过的面积是多少平方厘米？ 17 / 22 2. 一天，小军和小芳到一个近似于圆的公园游玩，两人突然想到一个数学问题： “这个公园的面积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人 沿着公园的 A点处同时出发，背向而跑，如图。小军的速度是 164米/分钟，小 芳的速度是 150米/分钟，经过 2分钟两人相遇。你能按他们的办法算出这个公 园的面积吗？试一试。 【考点十三】半圆的周长和面积。 【典型例题】 1. 把一个直径 10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 2. 一个半圆半径为 3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( ) 厘米。 【对应练习】 1. 如图，把一张圆形纸片剪成 2个半圆，它的周长增加 20cm，原来这个圆的半 径是( )cm，周长是( )cm。 2. 王奶奶用 78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占 地面积是多少平方米？ 18 / 22 【考点十四】含圆的阴影图形面积大小比较。 【典型例题 1】其一。 观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 【对应练习】 在下图两个边长相等的正方形中，涂色部分比较，( )。 A．周长相等，面积不相等 B．周长和面积都相等 C．面积相等，周长不相等 【典型例题 2】其二。 从甲、乙两张完全相同的正方形纸上剪下一些圆形纸片（如下图），两块正方形 纸剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．甲和乙剩余的面积一样大 【对应练习】 如图，用甲乙两块完全相同的正方形铁皮切割圆形铁片，两块正方形铁皮剩余的 面积相比，( )。 19 / 22 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．一样大 【考点十五】半径、直径和周长、面积的三种关系。 【典型例题 1】倍数关系。 圆的半径扩大 3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。 【对应练习】 一个圆的半径扩大 4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。 【典型例题 2】比例关系。 两圆的半径之比3:5，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。 【对应练习】 两个圆的半径之比是 4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )， 面积之比是( )，如果较大的圆的周长是 12.56cm，则较小的圆的周长是 ( )cm。 【典型例题 3】增长变化关系。 一个半径是 3dm的圆，如果半径增加 1dm，那么周长增加( )dm，面积 增加( )dm2。 【对应练习】 圆的半径由 4cm增加到 5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加 ( )cm2。（π取 3.14） 【考点十六】外方内圆和外圆内方。 【典型例题 1】问题一。 在一张长 6cm，宽 4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离 是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习】 在一块长 8分米、宽 6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面 积是( )平方分米。 【典型例题 2】问题二。 如图，在一张边长 10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是 ( ) 2cm ，剩余部分的面积是( ) 2cm 。 20 / 22 【对应练习】 在一个面积为 40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是 ( )平方厘米。 【典型例题 3】问题三。 在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是 72平方厘米，那么这个 圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【对应练习】 把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长 8cm，那么这个 圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方 厘米。 【考点十七】圆环的面积问题。 【典型例题】 这是西周圆形圆孔钱平面图（如图）的面积大约是多少平方厘米？（得数保留一 位小数） 【对应练习】 1. 圆形池塘的周长是 25.12米（如图），在池塘的周围修一条 2米宽的水泥路， 水泥路的面积是多少平方米？ 21 / 22 2. 在一个半径为 10米的圆形喷泉周围修一条宽 3米的小路，小路一半面积铺鹅 卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？ 【考点十八】扇形的面积问题。 【典型例题】 在一个直径为 2m的圆中，取一个圆心角是 90度的扇形，这个扇形的面积是 ( )m2。 【对应练习】 1. 小明画了一个半径 4cm的圆，圆的面积是( )cm2，接着他又在圆里画 了一个圆心角为 45°的扇形，这个扇形的面积是( )cm2。 2. 如图，一把折扇的骨架长是 30厘米，扇面宽为 20厘米，完全展开时圆心角 为 135°，扇面的面积为( )平方厘米。 【考点十九】含圆的阴影部分面积问题。 【典型例题】 求下面图形涂色部分的面积。 22 / 22 【对应练习】 1．计算下面各图中阴影部分的面积。（π取 3.14，单位：cm） （1） （2） 2．计算下面阴影部分的周长和面积。 1 / 48 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 48 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆 专题内容 本专题包括圆的认识、周长、面积以及利用方向与距离描述 路线等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十九大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................4 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................8 【考点一】描述方向，确定位置 ....................................................................................... 8 【考点二】描述或绘制路线 ............................................................................................. 10 【考点三】圆与扇形的认识和基本概念 ..........................................................................12 【考点四】圆规作图 ........................................................................................................ 13 【考点五】直径和半径的关系 ......................................................................................... 15 【考点六】圆的数量问题 .................................................................................................18 【考点七】关于圆周率π ..................................................................................................19 3 / 48 【考点八】圆的周长问题 .................................................................................................20 【考点九】圆周长的比较问题 ......................................................................................... 22 【考点十】不规则或组合图形的周长 ..............................................................................24 【考点十一】圆与长方形的拼切转化问题 ...................................................................... 25 【考点十二】圆的面积问题 ............................................................................................. 27 【考点十三】半圆的周长和面积 ..................................................................................... 29 【考点十四】含圆的阴影图形面积大小比较 .................................................................. 30 【考点十五】半径、直径和周长、面积的三种关系 .......................................................34 【考点十六】外方内圆和外圆内方 ..................................................................................38 【考点十七】圆环的面积问题 ......................................................................................... 41 【考点十八】扇形的面积问题 ......................................................................................... 43 【考点十九】含圆的阴影部分面积问题 ..........................................................................45 4 / 48 【第三篇】知识总览篇 知识点一：根据方向和距离确定物体位置。 1. 确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向(角度)； 2. 用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际 距离； 3. 根据方向(角度)和距离准确判断或描述被测物体的位置。 注意：东偏北 30°也可说成北偏东 60°。 知识点二：绘制路线图的步骤。 1. 画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺。 2. 确定起点的位置。 3. 根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以 每一段新的起点为观测点。 4. 以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和 距离。 5. 标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的) 知识点三：圆的认识。 1．圆的定义。 一条线段绕一个端点旋转 360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心。 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径。 连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 5 / 48 半径一般用字母 r表示，如图中的线段 OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5. 直径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母 d表示。如图中的 线段 BC。 6. 轴对称图形。 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对 称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7. 圆的对称轴。 直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点四：圆的周长。 1．圆的周长。 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率。 圆的周长总是直径的 3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和 直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算 时，π一般取 3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数 学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 4. 半圆的周长。 半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 知识点五：圆的面积。 1. 圆的面积。 圆所占面积的大小叫圆的面积。 6 / 48 2．圆的面积公式。 或者 或者 3．半圆的面积。 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 4. 外方内圆与外圆内方。 （1）在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方 形面积比为π:4。 （2）在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积 与正方形的面积比为π:2。 （3）在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5. 圆环的面积。 一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r，它的面积是 或 。（其中 R＝r＋环的宽度） 6．半径、直径和周长、面积的三种关系。 （1）在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的 倍数，而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 （2）两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方； 圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是 2π:1，比值是 2π。 （3）当一个圆的半径增加 a 厘米时，它的周长就增加 2πa厘米；当一个圆的直 径增加 a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 7．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 知识点六：扇形。 1. 圆上 A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”，一条弧和经过这条弧两端 的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆 心角越大，扇形越大。 3. 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 7 / 48 。 4. 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几 分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 8 / 48 【第四篇】典型例题篇 【考点一】描述方向，确定位置。 【典型例题】 1. 学校在体育场的西偏南 45°方向，体育场在学校的( )方向。 【答案】东偏北 45° 【分析】根据方向的相对性，西偏南对东偏北，角度不变，进行填空。 【详解】学校在体育场的西偏南 45°方向，体育场在学校的东偏北 45°或北偏东 45°方向。 2. 观察图，完成下列各题。 (1)以小红为观测点，小亮在小红的( )偏( )( )方向 ( )m处。 (2)以小亮为观测点，小红在小亮的( )偏( )( )方向 ( )m处。 【答案】(1) 北 东 60° 850 (2) 西 南 30° 850 【分析】（1）根据地图上的方向“上北下南，左西右东”及角度、距离来确定位 置即可。 （2）一个事物在另一个事物的某个方向一定度数的位置，那么另一个事物在这 个事物相对的方向相同度数的位置，据此解答即可。 【详解】（1）以小红为观测点，小亮在小红的北偏东 60°方向 850m处或小亮在 小红的东偏北 30°方向 850m处。 9 / 48 （2）以小亮为观测点，小红在小亮的西偏南 30°方向 850m处或小红在小亮的南 偏西 60°方向 850m处。 【对应练习】 1. 淘气家在学校的北偏东60方向上700m处。则学校在淘气家( )60方 向上( )m处。 【答案】 南偏西 700 【分析】以学校为观测点，淘气家在北偏东 60°方向上 700m处，根据位置的相 对性可知，以淘气家为观测点，学校在南偏西 60°方向上，距离不变，据此解答。 【详解】以学校为观测点，淘气家在北偏东 60°方向上 700m处；以淘气家为观 测点，学校在南偏西 60°方向上，距离不变是 700m处。 因此淘气家在学校的北偏东 60°方向上700m处。则学校在淘气家南偏西 60°方向 上700m处。 2. 锦绣小区在学校的( )偏( )( )方向上，距离是 ( )米；学校在锦绣小区的( )偏( )( )方向上，距 离是( )米。 【答案】 北 东 40度 600 南 西 40度 600 【分析】锦绣小区在学校的什么方向上，应该把学校作为观测点，根据图中所示 确定方向为北偏东 40度，再根据右下角标识，每一段表示 200米，图中学校距 离锦绣小区有 3段，共 600米； 接下来再以锦绣小区为观测点观察学校，方向变为南偏西 40度而距离不变。 【详解】锦绣小区在学校的北偏东 40度方向上，距离是 600米； 10 / 48 学校在锦绣小区的南偏西 40度方向上，距离是 600米。 【考点二】描述或绘制路线。 【典型例题】 12路公共汽车从起点站出发，先向西偏北 40°行驶 3千米走到 A站，然后再向 正西行驶 5千米到达 B站，最后向西偏南 50°行驶 4千米到达终点站。 （1）根据上面的描述，把 12路公共汽车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，描述 12路公共汽车原路返回时所行驶的方向和路程。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据地图上的方位是“上北下南、左西右东”，根据题意可知，图 上 1个单位长度表示 1千米，据此画出 12路公共汽车行驶的线路图即可； （2）根据方向的相对性，写出公共汽车原路返回的行驶路线。 【详解】（1）作图如下： （2）12路公交车从终点站返回起点：先向东偏北 50°行驶 4千米到达 B点，再 向正东行驶 5千米达 A点，然后向东偏南 40°行驶 3千米到达起点。 【对应练习】 1. 如图所示，从车站出发向东方向走( )米到达书店，再向( )偏 ( )30°方向走 2000米到达邮局，最后向( )偏 11 / 48 ( )( )方向走 2000米就到达学校。 【答案】 3000 东 北 东 南 35° 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上 1厘米相当于实际 距离 1000米； 确定路线时，注意起始点与目的地，起始点是观测点，根据方向、角度和距离描 述路线。 【详解】3×1000＝3000（米） 从车站出发向东方向走 3000米到达书店，再向东偏北 30°方向走 2000米到达邮 局，最后向东偏南 35°（或南偏东 55°）方向走 2000米就到达学校。 2. 李叔叔驾车从家向东偏北 35°方向行驶 2千米后向西行驶 5千米，最后向西偏 南 30°行驶 3千米到达森林公园。 （1）根据上面的描述，把李叔叔驾车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，说说李叔叔驾车原路返回时所行驶的方向和路程。 【答案】见详解 【分析】（1）用方向和距离结合来描述和画路线时，要注意三个要素：一是观 测点（即参照物），二是方向，三是距离。看图可知，图上 1厘米表示实际 1 千米，实际几千米就在图上画几厘米即可。 （2）根据方向的相对性，西偏南对东偏北，西对东，东偏北对西偏南，角度和 距离不变，描述原路返回时所行驶的方向和路程即可。 【详解】 12 / 48 （1） （2）李叔叔从森林公园向东偏北 30°方向行驶 3千米后向东行驶 5千米，最后 向西偏南 35°方向行驶 2千米到家。 【考点三】圆与扇形的认识和基本概念。 【典型例题】 1. 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是 ( )。 【答案】圆 【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理 即可理解。 【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图 形是（圆）。 【点睛】此题考查了对圆的认识。一个端点不动，就是圆心，一条线段就是半径， 另一端点旋转一周，其轨迹所形成的图形就是圆。 2. 如图，圆周上 A、B两点之间的部分叫做( )，由半径 OA、OB和孤 AB围成的涂色部分是( )，这一部分面积是圆面积的 () () 。 解析：弧；扇形； 1 6 【对应练习】 1. ( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【答案】 圆心 半径 13 / 48 【详解】 画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O表示。连 接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r表示。圆心决定圆的位置， 半径决定圆的大小。 2. 在同一个圆中，扇形的大小与( )有关，以 1 6 圆为弧的扇形圆心角是 ( )度。 解析：圆心角的大小；60 【考点四】圆规作图。 【典型例题】 画一个直径 4cm的圆，并且标出它的圆心、半径。 【答案】见详解 【分析】根据圆的直径是半径的 2倍，先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆 心，然后以圆规两脚之间的距离为（4÷2）厘米进行旋转一周，得到的图形就是 我们要画的圆，再标出圆心及半径。 【详解】 4 2 2  （cm） 作图如下： 【对应练习】 1．（1）画一个 4cm的线段，以线段为直径画一个圆，并标出圆心 O。 （2）在所画圆中，画两条互相垂直的直径；依次连接这两条直径的四个端点， 得到一个小正方形并涂上阴影。 （3）请求出这个圆和这个小正方形空白部分的面积。 【答案】（1）见详解； （2）见详解； 14 / 48 （3）4.56cm2 【分析】（1）先用直尺画出一条 4cm长的线段，再用 4除以 2求出圆的半径为 2cm，再以 2cm为半径用圆规画圆，并标出圆心 O； （2）画出两条垂直的直径，并把两条直径的端点依次连接，最后给形成的图形 涂上阴影即可； （3）所求空白部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，先根据圆的面积公 式：S＝πr2求出圆的面积，再根据这个正方形是由两个底为 4cm高为 2cm的等 腰三角形组成，据此根据三角形的面积＝底×高÷2求出一个三角形的面积再乘 2 即可得到正方形的面积，最后用圆的面积减去正方形的面积即可。 【详解】（1）（2）作图如下： 半径：4÷2＝2（cm） （3）4÷2＝2（cm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝4×2 ＝8（cm2） 12.56－8＝4.56（cm2） 答：这个圆和这个小正方形空白部分的面积是 4.56cm2。 2．龙龙在一次图形设计中，需要用作图工具在边长是 2.8厘米的正方形纸上画 15 / 48 一个最大的圆，如图是他所画圆的一部分。 （1）请你用圆规和直尺把龙龙所画的圆补充完整。（保留作图痕迹） （2）请你求出这幅设计图中圆的面积。 【答案】（1）图见详解 （2）6.1544平方厘米 【分析】（1）在边长是 2.8厘米的正方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径 ＝正方形的边长＝2.8厘米，半径是 2.8÷2＝1.4（厘米），即圆规两脚的距离是 1.4厘米。先画出正方形的两条对角线，两条对角线的交叉点即为圆心的位置， 最后画出半径 1.4厘米的圆即可。 （2）根据圆的面积： 2πS r ，代入数据计算即可。 【详解】（1）根据分析作图如下： （2）（2.8÷2）2×3.14 ＝1.42×3.14 ＝1.96×3.14 ＝6.1544（平方厘米） 答：这个圆的面积是 6.1544平方厘米。 【考点五】直径和半径的关系。 【典型例题】 16 / 48 看图填一填。 (1) 半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【答案】(1) 7 14 (2) 10 28 【分析】（1）根据图意可知，半圆的半径等于长方形的宽，也就是 7cm，直径 等于半径的 2倍，用半径长度乘 2即可求出直径长度。 （2）根据图形可知，圆的直径为 4m，半径为（4÷2）m，长方形的长＝两个圆 的直径＋一个圆的半径，宽等于 4m，根据长方形的周长公式即可求出长方形的 周长。 【详解】（1）7×2＝14（cm） 即半圆的半径是 7cm，直径是 14cm。 （2）4＋4＋4÷2 ＝8＋2 ＝10（m） （10＋4）×2 ＝14×2 ＝28（m） 即长方形的长是 10m，周长是 28m。 【点睛】本题主要考查圆的半径和圆的直径之间的关系以及长方形的长、宽与圆 的半径、直径之间的关系。 【对应练习】 17 / 48 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【答案】 4 8 6 12 10 25 12 8 【分析】（1）由图可知，圆的直径相当于正方形的边长即 8cm，根据半径＝直 径÷2，据此解答。 （2）由图可知，长方形的长相当于圆的半径，根据直径＝半径×2，据此解答即 可。 （3）由图可知：圆的直径是 10cm，长方形的长＝两条圆的直径＋一条半径，宽 就是圆的半径。 （4）由图可知：长方形的长＝一条直径＋一条半径，宽就是圆的直径，据此解 答即可。 【详解】由分析可知： （1）8÷2＝4（cm） r＝（ 4 ）cm，d＝（ 8 ）cm。 （2）6×2＝12（cm） r＝（ 6 ）cm，d＝（ 12 ）cm。 （3）10×2＋10÷2 18 / 48 ＝20＋5 ＝25（cm） 长方形的宽是（ 10 ）cm，长方形的长是（ 25 ）cm。 （4）4×2＝8（cm） 4×2＋4 ＝8＋4 ＝12（cm） 长方形的长是（ 12 ）cm，长方形的宽是（ 8 ）cm。 【点睛】本题考查长方形内画圆，圆与长方形的关系，明确它们的关系是解题的 关键。 【考点六】圆的数量问题。 【典型例题】 1. 把一张边长是 8分米的正方形纸片剪成半径是 0.5分米的圆片，一共可以剪 ( )个。 【答案】64 【分析】直径＝半径×2，在正方形里剪出的圆片数量相当于在正方形里剪出边长 等于直径的正方形数量，据此分析。 【详解】8×8÷（0.5×2）² ＝64÷1 ＝64（个） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握正方形面积公式。 2. 在长 12.4cm、宽 7.2cm的长方形纸中，剪半径是 1cm的圆，能剪( ) 个。 【答案】18 【分析】半径是 1cm的圆，则直径为 2cm，横着可以剪这样的圆的个数为 12.4÷2≈6 个，竖着可以剪这样的圆的个数为 7.2÷2≈3个（用去尾法取近似值，余下的不能 剪 1个就舍去），共 6×3=18个，据此选择即可。 【详解】1×2=2cm， 12.4÷2≈6（个）， 19 / 48 7.2÷2≈3（个）， 6×3=18（个）， 答：能剪 18个这样的圆 【点睛】分别求出在长方形中长和宽各能剪这样的圆多少个，然后相乘，要注意 用去尾法取近似值。 【对应练习】 在一块长 42厘米、宽 35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是 3.5厘米的圆，最多 能剪( )个。 【答案】30 【分析】最多能剪圆的个数＝长边剪的个数×宽边剪的个数；其中，长边剪的个 数＝长÷圆的直径，宽边剪的个数＝宽÷圆的直径，直径＝半径×2，据此解答。 【详解】3.5×2＝7（厘米） 42÷7＝6（个） 35÷7＝5（个） 6×5＝30（个） 所以最多能剪 30个半径是 3.5厘米的圆。 【考点七】关于圆周率π。 【典型例题】 下列关于圆周率 ，说法正确的是( )。 ① 是个无限不循环小数。 ② ＞3.14。 ③周长大的圆， 就大，周长小的圆， 就小。 ④ 是圆的周长除以它直径的商。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解析： ①π是一个无限不循环小数，原题干说法正确； ②π是一个无限不循环小数，3.14是一个有限小数，π＞3.14正确； ③圆周率的大小与圆的周长，周长变大，直径变大，但圆周率不变，原题干说法 错误； 20 / 48 ④圆周率就是圆的周长和它的直径的比值也是商，原题干说法正确。 正确的有：①②④ 故答案选：B 【对应练习】 1. 我国关于圆周率的最早记录出自( )。 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱茵德草卷》 D．《几何原本》 解析：A 2. 我国古代( )算出π的值在 3.1415926和 3.1415927之间． 解析：祖冲之 【考点八】圆的周长问题。 【典型例题】 1. 一台座钟的分针长 10厘米，经过 45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是 多少厘米？ 【答案】47.1厘米 【分析】因为分针走一圈是 60分钟，而分针经过 45分钟走了整个圆的 4560 ，所 以根据圆的周长公式 C 2πr，求出分针走一圈的路程，根据求一个数的几分之几 是多少，用乘法计算，进而求出经过 45分钟后走过的路程。 【详解】分针走一圈是 60分钟 4545 60 60   452 3.14 10 60    456.28 10 60    4562.8 60   47.1 （厘米） 答：这根分针的尖端所走的路程是 47.1厘米。 2. 世贸摩天城的摩天轮，它的直径大约是 90米，旋转一周所需时间约 30分钟， 东东坐上摩天轮 20分钟后，他在空中大约移动了多少米？ 21 / 48 【答案】188.4米 【分析】先用除法求出 20分钟占 30分钟的几分之几，再根据“C d圆形 = ”求出摩 天轮的周长，东东在空中移动的距离＝摩天轮的周长×所求分率，据此解答。 【详解】20÷30＝ 23 2 3 ×90×3.14 ＝60×3.14 ＝188.4（米） 答：他在空中大约移动了 188.4米。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式的应用，求出东东坐摩天轮的时间占摩天轮 旋转一周所用时间的分率并熟记圆的周长公式是解答题目的关键。 【对应练习】 1. 一辆自行车车轮直径 70厘米，如果车轮平均每分钟转 100圈，那么行驶完 5495 米的大桥需要多少分钟？ 【答案】25分钟 【分析】已知这辆自行车车轮直径为 70厘米，先把 70厘米化为以米作单位的数， 是 0.7米，再根据圆的周长＝πd，求得车轮一周的长度；因为车轮平均每分钟转 100圈，那么就是说车轮每分钟行驶 3.14×0.7×100＝219.8（米）；又知要行驶完 5495米的大桥，根据时间＝路程÷速度，列式为：5495÷（3.14×0.7×100）。 【详解】70厘米＝0.7米 5495÷（3.14×0.7×100） ＝5495÷219.8 ＝25（分钟） 答：行驶完 5495米的大桥需要 25分钟。 【点睛】考查了有关圆的周长在实际中的应用，同时需要熟悉路程、速度和时间 三者的关系。 2. 小明和小亮沿着半径是 500m的圆形湖边同时从同一地点相向而行。小明每分 钟行 81m，小亮每分钟行 76m，两人经过多少分钟相遇？ 【答案】20分钟 22 / 48 【分析】先根据圆的周长公式求出圆形湖的周长，再根据路程和÷速度和＝相遇 时间，列式解答即可。 【详解】3.14×500×2＝3140（米） 3140÷（81＋76） ＝3140÷157 ＝20（分钟） 答：两人经过 20分钟相遇。 【点睛】关键是掌握圆的周长公式，理解速度、时间、路程之间的关系。 【考点九】圆周长的比较问题。 【典型例题 1】其一。 如图是由 4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从 A点出发前往 D点，甲 蚂蚁沿着最大半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的 3个半圆的弧线走。如果它们用 同样的速度一直走，能同时到达 D点吗？为什么？请写出你的思考过程。 解析： 甲蚂蚁走的路程： 1 2 3( ) 2 d d ds   甲 乙蚂蚁走的路程： 31 2 2 2 2 dd ds    乙 1 2 3( ) 2 d d d    答：两只蚂蚁能同时到达 D点。 【典型例题 2】其二。 下图中，外面一个圆的周长与里面两个小圆的周长之和相比，( )。 23 / 48 A．外圆的周长长 B．两个内圆周长的和长 C．一样长 D．无法确定哪个长 解析：C 【对应练习】 1. 在一个大圆里，以它的直径上的三个点为圆心，画出三个紧密相连的圆（如 下图）。你知道大圆的周长和这三个小圆的周长之和相比，哪一个更长一些吗？ 解析： 解：设三个小圆的的直径分别为 a，b，c。 那么三个小圆的周长和： 3.14×a＋3.14×b＋3.14×c ＝3.14×（a＋b＋c）； 而大圆的直径为：a＋b＋c，即大圆的周长为：3.14×（a＋b＋c）； 3.14×（a＋b＋c）＝3.14×（a＋b＋c） 答：大圆的周长和这三个小圆的周长之和都一样。 2. 如图，大圆的周长( )两个小圆的周长之和。 24 / 48 A．等于 B．大于 C．小于 解析：A 【考点十】不规则或组合图形的周长。 【典型例题】 计算操场的周长。 解析： 3.14×50＋90×2 ＝157＋180 ＝337（米） 所以，它的周长是 337米。 【对应练习】 1. 计算下面图形的周长。 解析： 4＋4＝8（dm） 3.14×8＋8 ＝25.12＋8 ＝33.12（dm） 25 / 48 2. 计算下面图形的周长。 解析： 图一：3.14×4×2=25.12（dm） 图二：3.14×80÷2+100×2=325.6 图三：3.14×60+100×2=388.4 【考点十一】圆与长方形的拼切转化问题。 【典型例题】 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是 ( )cm2。 【答案】12.56 【分析】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于 圆的周长的一半，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的半径，再根据圆的 面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】6.28÷3.14＝2（cm） 3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2） 则圆的面积是 12.56cm2。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习】 1. 如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来 圆周长多 8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是 26 / 48 ( )平方厘米。 【答案】 4 50.24 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪 开，再拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半 径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出圆的 半径，再根据圆的面积公式： 2S r ；把数据代入公式解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆形纸片的半径是 4厘米，这张圆形纸片的面积是 50.24平方厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长的 意义及应用。 2. 把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为 41.4cm，这个圆的面积 是( )。 【答案】78.5平方厘米/78.5cm2 【分析】将圆剪开拼接成一个近似的长方形， ，如图所示， 长方形的周长＝圆的周长＋两个半径，据此等量关系列方程求出圆的半径，再代 入圆的面积公式即可。 【详解】解：设圆的半径为 r厘米。 2×3.14×r＋2r＝41.4 6.28r＋2r＝41.4 8.28r＝41.4 8.28r÷8.28＝41.4÷8.28 27 / 48 r＝5 圆的面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 这个圆的面积是 78.5平方厘米。 【点睛】此题考查圆的面积公式，明确圆拼接成长方形周长会多两个半径是解题 的关键。 【考点十二】圆的面积问题。 【典型例题】 一个钟表的分针长 10厘米，时针长 8厘米。从 1时到 2时，分针针尖走过了多 少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数） 【答案】62.8厘米；16.75平方厘米 【分析】从 1时到 2时，分针走了 1圈，时针走了 1大格，一共有 12格；根据 圆周长公式：C＝2πr，用 3.14×2×10即可求出分针针尖走过了多少厘米；根据题 意可知，时针扫过的面积是圆面积的 1 12；根据圆面积公式：S＝πr 2，用 3.14×82× 1 12 即可求出时针扫过的面积。 【详解】3.14×2×10＝62.8（厘米） 3.14×82× 1 12 ＝3.14×64× 1 12 ≈16.75（平方厘米） 答：分针针尖走过了 62.8厘米；时针扫过的面积是 16.75平方厘米。 【点睛】本题主要考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关 公式。 【对应练习】 1. 某钟表的分针长 10厘米，从 1时到 4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫 过的面积是多少平方厘米？ 【答案】188.4厘米；942平方厘米 28 / 48 【分析】根据题意可知，从 1时到 4时，分针正好转动了三圈，分针走一圈，它 的尖端走过的路程是一个圆，分针的长度就是这个圆的半径，根据圆的周长公式 走一圈所走的路程，再乘 3即可求出分针走过的路程；分针转过一圈的面积，就 是这个圆的面积，利用圆的面积公式求出扫一圈的面积，再乘 3即可解答。 【详解】2×3.14×10×3 ＝6.28×10×3 ＝188.4（厘米） 3.14×102×3 ＝3.14×100×3 ＝942（平方厘米） 答：分针针尖走过了 188.4厘米，分针扫过的面积是 942平方厘米。 【点睛】此题主要考查的是圆的周长、面积公式的应用。 2. 一天，小军和小芳到一个近似于圆的公园游玩，两人突然想到一个数学问题： “这个公园的面积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人 沿着公园的 A点处同时出发，背向而跑，如图。小军的速度是 164米/分钟，小 芳的速度是 150米/分钟，经过 2分钟两人相遇。你能按他们的办法算出这个公 园的面积吗？试一试。 【答案】31400平方米 【分析】两人相遇时，路程和就是圆的周长。路程和＝速度和×相遇时间，据此 求出路程和，即圆的周长。将圆周长除以 2再除以 3.14，求出圆的半径。圆面积 ＝3.14×半径 2，据此列式求出圆的直径，即这个公园的面积。 【详解】（164＋150）×2 ＝314×2 ＝628（米） 628÷2÷3.14＝100（米） 29 / 48 3.14×1002＝31400（平方米） 答：这个公园的面积是 31400平方米。 【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记并灵活运用圆的周长和面积公式是解 题关键。 【考点十三】半圆的周长和面积。 【典型例题】 1. 把一个直径 10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 【答案】51.4 【分析】把一个直径 10cm的圆剪成两个半圆后，根据半圆的周长＝圆周长的一 半＋直径，所以两个半圆的周长之和＝圆的周长＋两条直径，代入数据解答即可。 【详解】3.14×10＋2×10 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 即两个半圆周长之和是 51.4cm。 【点睛】此题主要考查半圆的周长的计算，关键是理解两个半圆周长之和实际上 是比原来的周长多了两条直径。 2. 一个半圆半径为 3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( ) 厘米。 【答案】 14.13 15.42 【分析】根据半圆的面积、半圆周长的意义，半圆的面积等于该圆面积的一半， 半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的面积公式：S ＝πr2÷2，半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 3.14×3＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（厘米） 30 / 48 则它的面积是 14.13平方厘米，周长是 15.42厘米。 【点睛】此题主要考查半圆的面积公式、半圆的周长公式的灵活运用，关键是熟 记公式。 【对应练习】 1. 如图，把一张圆形纸片剪成 2个半圆，它的周长增加 20cm，原来这个圆的半 径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 5 31.4 【分析】把一张圆形纸片剪成 2个半圆，2个半圆周长的和比一个圆的周长增加 了 2条直径的长。即 2条直径的长是 20cm。先用 20÷2求出一条直径的长，再用 直径的长÷2求出半径的长，最后根据圆的周长C πd= 求出这个圆的周长。 【详解】直径：20÷2＝10（cm） 半径：10÷2＝5（cm） 周长：3.14×10＝31.4（cm） 所以这个圆的半径是 5cm，周长是 31.4cm。 【点睛】解决此题的关键是明确周长增加的长度是 2条直径的长。 2. 王奶奶用 78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占 地面积是多少平方米？ 解析： r＝78.5÷3.14＝25（米） 3.14×252÷2＝981.25（平方米） 答：这个养鸡场的占地面积是 981.25平方米。 【考点十四】含圆的阴影图形面积大小比较。 【典型例题 1】其一。 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆 专题内容 本专题包括圆的认识、周长、面积以及利用方向与距离描述路线等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十九大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 4 【第四篇】典型例题篇 8 【考点一】描述方向，确定位置 8 【考点二】描述或绘制路线 10 【考点三】圆与扇形的认识和基本概念 12 【考点四】圆规作图 13 【考点五】直径和半径的关系 15 【考点六】圆的数量问题 18 【考点七】关于圆周率π 19 【考点八】圆的周长问题 20 【考点九】圆周长的比较问题 22 【考点十】不规则或组合图形的周长 24 【考点十一】圆与长方形的拼切转化问题 25 【考点十二】圆的面积问题 27 【考点十三】半圆的周长和面积 29 【考点十四】含圆的阴影图形面积大小比较 30 【考点十五】半径、直径和周长、面积的三种关系 34 【考点十六】外方内圆和外圆内方 38 【考点十七】圆环的面积问题 41 【考点十八】扇形的面积问题 43 【考点十九】含圆的阴影部分面积问题 45 【第三篇】知识总览篇 知识点一：根据方向和距离确定物体位置。 1. 确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向(角度)； 2. 用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离； 3. 根据方向(角度)和距离准确判断或描述被测物体的位置。 注意：东偏北30°也可说成北偏东60°。 知识点二：绘制路线图的步骤。 1. 画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺。 2. 确定起点的位置。 3. 根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点。 4. 以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。 5. 标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的) 知识点三：圆的认识。 1．圆的定义。 一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心。 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径。 连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5. 直径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6. 轴对称图形。 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7. 圆的对称轴。 直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点四：圆的周长。 1．圆的周长。 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率。 圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 4. 半圆的周长。 半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 知识点五：圆的面积。 1. 圆的面积。 圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式。 或者或者 3．半圆的面积。 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 4. 外方内圆与外圆内方。 （1）在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。 （2）在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。 （3）在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5. 圆环的面积。 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半径、直径和周长、面积的三种关系。 （1）在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 （2）两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方； 圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。 （3）当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 7．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 知识点六：扇形。 1. 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。 3. 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 。 4. 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 【第四篇】典型例题篇 【考点一】描述方向，确定位置。 【典型例题】 1. 学校在体育场的西偏南45°方向，体育场在学校的( )方向。 【答案】东偏北45° 【分析】根据方向的相对性，西偏南对东偏北，角度不变，进行填空。 【详解】学校在体育场的西偏南45°方向，体育场在学校的东偏北45°或北偏东45°方向。 2. 观察图，完成下列各题。 (1)以小红为观测点，小亮在小红的( )偏( )( )方向( )m处。 (2)以小亮为观测点，小红在小亮的( )偏( )( )方向( )m处。 【答案】(1) 北 东 60° 850 (2) 西 南 30° 850 【分析】（1）根据地图上的方向“上北下南，左西右东”及角度、距离来确定位置即可。 （2）一个事物在另一个事物的某个方向一定度数的位置，那么另一个事物在这个事物相对的方向相同度数的位置，据此解答即可。 【详解】（1）以小红为观测点，小亮在小红的北偏东60°方向850m处或小亮在小红的东偏北30°方向850m处。 （2）以小亮为观测点，小红在小亮的西偏南30°方向850m处或小红在小亮的南偏西60°方向850m处。 【对应练习】 1. 淘气家在学校的北偏东方向上处。则学校在淘气家( )方向上( )处。 【答案】 南偏西 700 【分析】以学校为观测点，淘气家在北偏东60°方向上700m处，根据位置的相对性可知，以淘气家为观测点，学校在南偏西60°方向上，距离不变，据此解答。 【详解】以学校为观测点，淘气家在北偏东60°方向上700m处；以淘气家为观测点，学校在南偏西60°方向上，距离不变是700m处。 因此淘气家在学校的北偏东60°方向上处。则学校在淘气家南偏西60°方向上处。 2. 锦绣小区在学校的( )偏( )( )方向上，距离是( )米；学校在锦绣小区的( )偏( )( )方向上，距离是( )米。 【答案】 北 东 40度 600 南 西 40度 600 【分析】锦绣小区在学校的什么方向上，应该把学校作为观测点，根据图中所示确定方向为北偏东40度，再根据右下角标识，每一段表示200米，图中学校距离锦绣小区有3段，共600米； 接下来再以锦绣小区为观测点观察学校，方向变为南偏西40度而距离不变。 【详解】锦绣小区在学校的北偏东40度方向上，距离是600米； 学校在锦绣小区的南偏西40度方向上，距离是600米。 【考点二】描述或绘制路线。 【典型例题】 12路公共汽车从起点站出发，先向西偏北40°行驶3千米走到A站，然后再向正西行驶5千米到达B站，最后向西偏南50°行驶4千米到达终点站。 （1）根据上面的描述，把12路公共汽车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，描述12路公共汽车原路返回时所行驶的方向和路程。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据地图上的方位是“上北下南、左西右东”，根据题意可知，图上1个单位长度表示1千米，据此画出12路公共汽车行驶的线路图即可； （2）根据方向的相对性，写出公共汽车原路返回的行驶路线。 【详解】（1）作图如下： （2）12路公交车从终点站返回起点：先向东偏北50°行驶4千米到达B点，再向正东行驶5千米达A点，然后向东偏南40°行驶3千米到达起点。 【对应练习】 1. 如图所示，从车站出发向东方向走( )米到达书店，再向( )偏( )30°方向走2000米到达邮局，最后向( )偏( )( )方向走2000米就到达学校。 【答案】 3000 东 北 东 南 35° 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离1000米； 确定路线时，注意起始点与目的地，起始点是观测点，根据方向、角度和距离描述路线。 【详解】3×1000＝3000（米） 从车站出发向东方向走3000米到达书店，再向东偏北30°方向走2000米到达邮局，最后向东偏南35°（或南偏东55°）方向走2000米就到达学校。 2. 李叔叔驾车从家向东偏北35°方向行驶2千米后向西行驶5千米，最后向西偏南30°行驶3千米到达森林公园。 （1）根据上面的描述，把李叔叔驾车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，说说李叔叔驾车原路返回时所行驶的方向和路程。 【答案】见详解 【分析】（1）用方向和距离结合来描述和画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。看图可知，图上1厘米表示实际1千米，实际几千米就在图上画几厘米即可。 （2）根据方向的相对性，西偏南对东偏北，西对东，东偏北对西偏南，角度和距离不变，描述原路返回时所行驶的方向和路程即可。 【详解】 （1） （2）李叔叔从森林公园向东偏北30°方向行驶3千米后向东行驶5千米，最后向西偏南35°方向行驶2千米到家。 【考点三】圆与扇形的认识和基本概念。 【典型例题】 1. 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。 【答案】圆 【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理即可理解。 【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是（圆）。 【点睛】此题考查了对圆的认识。一个端点不动，就是圆心，一条线段就是半径，另一端点旋转一周，其轨迹所形成的图形就是圆。 2. 如图，圆周上A、B两点之间的部分叫做( )，由半径OA、OB和孤AB围成的涂色部分是( )，这一部分面积是圆面积的。 解析：弧；扇形； 【对应练习】 1. ( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【答案】 圆心 半径 【详解】画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 2. 在同一个圆中，扇形的大小与( )有关，以圆为弧的扇形圆心角是( )度。 解析：圆心角的大小；60 【考点四】圆规作图。 【典型例题】 画一个直径4cm的圆，并且标出它的圆心、半径。 【答案】见详解 【分析】根据圆的直径是半径的2倍，先确定圆心，用圆规有针的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为（4÷2）厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆，再标出圆心及半径。 【详解】（cm） 作图如下： 【对应练习】 1．（1）画一个4cm的线段，以线段为直径画一个圆，并标出圆心O。 （2）在所画圆中，画两条互相垂直的直径；依次连接这两条直径的四个端点，得到一个小正方形并涂上阴影。 （3）请求出这个圆和这个小正方形空白部分的面积。 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）4.56cm2 【分析】（1）先用直尺画出一条4cm长的线段，再用4除以2求出圆的半径为2cm，再以2cm为半径用圆规画圆，并标出圆心O； （2）画出两条垂直的直径，并把两条直径的端点依次连接，最后给形成的图形涂上阴影即可； （3）所求空白部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，先根据圆的面积公式：S＝πr2求出圆的面积，再根据这个正方形是由两个底为4cm高为2cm的等腰三角形组成，据此根据三角形的面积＝底×高÷2求出一个三角形的面积再乘2即可得到正方形的面积，最后用圆的面积减去正方形的面积即可。 【详解】（1）（2）作图如下： 半径：4÷2＝2（cm） （3）4÷2＝2（cm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝4×2 ＝8（cm2） 12.56－8＝4.56（cm2） 答：这个圆和这个小正方形空白部分的面积是4.56cm2。 2．龙龙在一次图形设计中，需要用作图工具在边长是2.8厘米的正方形纸上画一个最大的圆，如图是他所画圆的一部分。 （1）请你用圆规和直尺把龙龙所画的圆补充完整。（保留作图痕迹） （2）请你求出这幅设计图中圆的面积。 【答案】（1）图见详解 （2）6.1544平方厘米 【分析】（1）在边长是2.8厘米的正方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径＝正方形的边长＝2.8厘米，半径是2.8÷2＝1.4（厘米），即圆规两脚的距离是1.4厘米。先画出正方形的两条对角线，两条对角线的交叉点即为圆心的位置，最后画出半径1.4厘米的圆即可。 （2）根据圆的面积：，代入数据计算即可。 【详解】（1）根据分析作图如下： （2）（2.8÷2）2×3.14 ＝1.42×3.14 ＝1.96×3.14 ＝6.1544（平方厘米） 答：这个圆的面积是6.1544平方厘米。 【考点五】直径和半径的关系。 【典型例题】 看图填一填。 (1)     半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【答案】(1) 7 14 (2) 10 28 【分析】（1）根据图意可知，半圆的半径等于长方形的宽，也就是7cm，直径等于半径的2倍，用半径长度乘2即可求出直径长度。 （2）根据图形可知，圆的直径为4m，半径为（4÷2）m，长方形的长＝两个圆的直径＋一个圆的半径，宽等于4m，根据长方形的周长公式即可求出长方形的周长。 【详解】（1）7×2＝14（cm） 即半圆的半径是7cm，直径是14cm。 （2）4＋4＋4÷2 ＝8＋2 ＝10（m） （10＋4）×2 ＝14×2 ＝28（m） 即长方形的长是10m，周长是28m。 【点睛】本题主要考查圆的半径和圆的直径之间的关系以及长方形的长、宽与圆的半径、直径之间的关系。 【对应练习】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【答案】 4 8 6 12 10 25 12 8 【分析】（1）由图可知，圆的直径相当于正方形的边长即8cm，根据半径＝直径÷2，据此解答。 （2）由图可知，长方形的长相当于圆的半径，根据直径＝半径×2，据此解答即可。 （3）由图可知：圆的直径是10cm，长方形的长＝两条圆的直径＋一条半径，宽就是圆的半径。 （4）由图可知：长方形的长＝一条直径＋一条半径，宽就是圆的直径，据此解答即可。 【详解】由分析可知： （1）8÷2＝4（cm） r＝（ 4 ）cm，d＝（ 8 ）cm。 （2）6×2＝12（cm） r＝（ 6 ）cm，d＝（ 12  ）cm。 （3）10×2＋10÷2 ＝20＋5 ＝25（cm） 长方形的宽是（ 10 ）cm，长方形的长是（ 25  ）cm。 （4）4×2＝8（cm） 4×2＋4 ＝8＋4 ＝12（cm） 长方形的长是（ 12  ）cm，长方形的宽是（ 8  ）cm。 【点睛】本题考查长方形内画圆，圆与长方形的关系，明确它们的关系是解题的关键。 【考点六】圆的数量问题。 【典型例题】 1. 把一张边长是8分米的正方形纸片剪成半径是0.5分米的圆片，一共可以剪( )个。 【答案】64 【分析】直径＝半径×2，在正方形里剪出的圆片数量相当于在正方形里剪出边长等于直径的正方形数量，据此分析。 【详解】8×8÷（0.5×2）² ＝64÷1 ＝64（个） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握正方形面积公式。 2. 在长12.4cm、宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，能剪( )个。 【答案】18 【分析】半径是1cm的圆，则直径为2cm，横着可以剪这样的圆的个数为12.4÷2≈6个，竖着可以剪这样的圆的个数为7.2÷2≈3个（用去尾法取近似值，余下的不能剪1个就舍去），共6×3=18个，据此选择即可。 【详解】1×2=2cm， 12.4÷2≈6（个）， 7.2÷2≈3（个）， 6×3=18（个）， 答：能剪18个这样的圆 【点睛】分别求出在长方形中长和宽各能剪这样的圆多少个，然后相乘，要注意用去尾法取近似值。 【对应练习】 在一块长42厘米、宽35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是3.5厘米的圆，最多能剪( )个。 【答案】30 【分析】最多能剪圆的个数＝长边剪的个数×宽边剪的个数；其中，长边剪的个数＝长÷圆的直径，宽边剪的个数＝宽÷圆的直径，直径＝半径×2，据此解答。 【详解】3.5×2＝7（厘米） 42÷7＝6（个） 35÷7＝5（个） 6×5＝30（个） 所以最多能剪30个半径是3.5厘米的圆。 【考点七】关于圆周率π。 【典型例题】 下列关于圆周率，说法正确的是( )。 ①是个无限不循环小数。 ②＞3.14。 ③周长大的圆，就大，周长小的圆，就小。 ④是圆的周长除以它直径的商。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解析： ①π是一个无限不循环小数，原题干说法正确； ②π是一个无限不循环小数，3.14是一个有限小数，π＞3.14正确； ③圆周率的大小与圆的周长，周长变大，直径变大，但圆周率不变，原题干说法错误； ④圆周率就是圆的周长和它的直径的比值也是商，原题干说法正确。 正确的有：①②④ 故答案选：B 【对应练习】 1. 我国关于圆周率的最早记录出自( )。 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱茵德草卷》 D．《几何原本》 解析：A 2. 我国古代( )算出π的值在3.1415926和3.1415927之间． 解析：祖冲之 【考点八】圆的周长问题。 【典型例题】 1. 一台座钟的分针长10厘米，经过45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？ 【答案】47.1厘米 【分析】因为分针走一圈是60分钟，而分针经过45分钟走了整个圆的，所以根据圆的周长公式，求出分针走一圈的路程，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，进而求出经过45分钟后走过的路程。 【详解】分针走一圈是60分钟 （厘米） 答：这根分针的尖端所走的路程是47.1厘米。 2. 世贸摩天城的摩天轮，它的直径大约是90米，旋转一周所需时间约30分钟，东东坐上摩天轮20分钟后，他在空中大约移动了多少米？ 【答案】188.4米 【分析】先用除法求出20分钟占30分钟的几分之几，再根据“”求出摩天轮的周长，东东在空中移动的距离＝摩天轮的周长×所求分率，据此解答。 【详解】20÷30＝ ×90×3.14 ＝60×3.14 ＝188.4（米） 答：他在空中大约移动了188.4米。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式的应用，求出东东坐摩天轮的时间占摩天轮旋转一周所用时间的分率并熟记圆的周长公式是解答题目的关键。 【对应练习】 1. 一辆自行车车轮直径70厘米，如果车轮平均每分钟转100圈，那么行驶完5495米的大桥需要多少分钟？ 【答案】25分钟 【分析】已知这辆自行车车轮直径为70厘米，先把70厘米化为以米作单位的数，是0.7米，再根据圆的周长＝πd，求得车轮一周的长度；因为车轮平均每分钟转100圈，那么就是说车轮每分钟行驶3.14×0.7×100＝219.8（米）；又知要行驶完5495米的大桥，根据时间＝路程÷速度，列式为：5495÷（3.14×0.7×100）。 【详解】70厘米＝0.7米 5495÷（3.14×0.7×100） ＝5495÷219.8 ＝25（分钟） 答：行驶完5495米的大桥需要25分钟。 【点睛】考查了有关圆的周长在实际中的应用，同时需要熟悉路程、速度和时间三者的关系。 2. 小明和小亮沿着半径是500m的圆形湖边同时从同一地点相向而行。小明每分钟行81m，小亮每分钟行76m，两人经过多少分钟相遇？ 【答案】20分钟 【分析】先根据圆的周长公式求出圆形湖的周长，再根据路程和÷速度和＝相遇时间，列式解答即可。 【详解】3.14×500×2＝3140（米） 3140÷（81＋76） ＝3140÷157 ＝20（分钟） 答：两人经过20分钟相遇。 【点睛】关键是掌握圆的周长公式，理解速度、时间、路程之间的关系。 【考点九】圆周长的比较问题。 【典型例题1】其一。 如图是由4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发前往D点，甲蚂蚁沿着最大半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的3个半圆的弧线走。如果它们用同样的速度一直走，能同时到达D点吗？为什么？请写出你的思考过程。 解析： 甲蚂蚁走的路程： 乙蚂蚁走的路程： 答：两只蚂蚁能同时到达D点。 【典型例题2】其二。 下图中，外面一个圆的周长与里面两个小圆的周长之和相比，( )。 A．外圆的周长长 B．两个内圆周长的和长 C．一样长 D．无法确定哪个长 解析：C 【对应练习】 1. 在一个大圆里，以它的直径上的三个点为圆心，画出三个紧密相连的圆（如下图）。你知道大圆的周长和这三个小圆的周长之和相比，哪一个更长一些吗？ 解析： 解：设三个小圆的的直径分别为a，b，c。 那么三个小圆的周长和： 3.14×a＋3.14×b＋3.14×c ＝3.14×（a＋b＋c）； 而大圆的直径为：a＋b＋c，即大圆的周长为：3.14×（a＋b＋c）； 3.14×（a＋b＋c）＝3.14×（a＋b＋c） 答：大圆的周长和这三个小圆的周长之和都一样。 2. 如图，大圆的周长( )两个小圆的周长之和。 A．等于 B．大于 C．小于 解析：A 【考点十】不规则或组合图形的周长。 【典型例题】 计算操场的周长。 解析： 3.14×50＋90×2 ＝157＋180 ＝337（米） 所以，它的周长是337米。 【对应练习】 1. 计算下面图形的周长。 解析： 4＋4＝8（dm） 3.14×8＋8 ＝25.12＋8 ＝33.12（dm） 2. 计算下面图形的周长。 解析： 图一：3.14×4×2=25.12（dm） 图二：3.14×80÷2+100×2=325.6 图三：3.14×60+100×2=388.4 【考点十一】圆与长方形的拼切转化问题。 【典型例题】 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。    【答案】12.56 【分析】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于圆的周长的一半，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】6.28÷3.14＝2（cm） 3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2） 则圆的面积是12.56cm2。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习】 1. 如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。    【答案】 4 50.24 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪开，再拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出圆的半径，再根据圆的面积公式： ；把数据代入公式解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆形纸片的半径是4厘米，这张圆形纸片的面积是50.24平方厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长的意义及应用。 2. 把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。 【答案】78.5平方厘米/78.5cm2 【分析】将圆剪开拼接成一个近似的长方形，，如图所示，长方形的周长＝圆的周长＋两个半径，据此等量关系列方程求出圆的半径，再代入圆的面积公式即可。 【详解】解：设圆的半径为r厘米。 2×3.14×r＋2r＝41.4 6.28r＋2r＝41.4 8.28r＝41.4 8.28r÷8.28＝41.4÷8.28 r＝5 圆的面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 这个圆的面积是78.5平方厘米。 【点睛】此题考查圆的面积公式，明确圆拼接成长方形周长会多两个半径是解题的关键。 【考点十二】圆的面积问题。 【典型例题】 一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数） 【答案】62.8厘米；16.75平方厘米 【分析】从1时到2时，分针走了1圈，时针走了1大格，一共有12格；根据圆周长公式：C＝2πr，用3.14×2×10即可求出分针针尖走过了多少厘米；根据题意可知，时针扫过的面积是圆面积的；根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×82×即可求出时针扫过的面积。 【详解】3.14×2×10＝62.8（厘米） 3.14×82× ＝3.14×64× ≈16.75（平方厘米） 答：分针针尖走过了62.8厘米；时针扫过的面积是16.75平方厘米。 【点睛】本题主要考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【对应练习】 1. 某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】188.4厘米；942平方厘米 【分析】根据题意可知，从1时到4时，分针正好转动了三圈，分针走一圈，它的尖端走过的路程是一个圆，分针的长度就是这个圆的半径，根据圆的周长公式走一圈所走的路程，再乘3即可求出分针走过的路程；分针转过一圈的面积，就是这个圆的面积，利用圆的面积公式求出扫一圈的面积，再乘3即可解答。 【详解】2×3.14×10×3 ＝6.28×10×3 ＝188.4（厘米） 3.14×102×3 ＝3.14×100×3 ＝942（平方厘米） 答：分针针尖走过了188.4厘米，分针扫过的面积是942平方厘米。 【点睛】此题主要考查的是圆的周长、面积公式的应用。 2. 一天，小军和小芳到一个近似于圆的公园游玩，两人突然想到一个数学问题：“这个公园的面积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人沿着公园的A点处同时出发，背向而跑，如图。小军的速度是164米/分钟，小芳的速度是150米/分钟，经过2分钟两人相遇。你能按他们的办法算出这个公园的面积吗？试一试。 【答案】31400平方米 【分析】两人相遇时，路程和就是圆的周长。路程和＝速度和×相遇时间，据此求出路程和，即圆的周长。将圆周长除以2再除以3.14，求出圆的半径。圆面积＝3.14×半径2，据此列式求出圆的直径，即这个公园的面积。 【详解】（164＋150）×2 ＝314×2 ＝628（米） 628÷2÷3.14＝100（米） 3.14×1002＝31400（平方米） 答：这个公园的面积是31400平方米。 【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记并灵活运用圆的周长和面积公式是解题关键。 【考点十三】半圆的周长和面积。 【典型例题】 1. 把一个直径10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 【答案】51.4 【分析】把一个直径10cm的圆剪成两个半圆后，根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，所以两个半圆的周长之和＝圆的周长＋两条直径，代入数据解答即可。 【详解】3.14×10＋2×10 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 即两个半圆周长之和是51.4cm。 【点睛】此题主要考查半圆的周长的计算，关键是理解两个半圆周长之和实际上是比原来的周长多了两条直径。 2. 一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【答案】 14.13 15.42 【分析】根据半圆的面积、半圆周长的意义，半圆的面积等于该圆面积的一半，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 3.14×3＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（厘米） 则它的面积是14.13平方厘米，周长是15.42厘米。 【点睛】此题主要考查半圆的面积公式、半圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习】 1. 如图，把一张圆形纸片剪成2个半圆，它的周长增加20cm，原来这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 5 31.4 【分析】把一张圆形纸片剪成2个半圆，2个半圆周长的和比一个圆的周长增加了2条直径的长。即2条直径的长是20cm。先用20÷2求出一条直径的长，再用直径的长÷2求出半径的长，最后根据圆的周长求出这个圆的周长。 【详解】直径：20÷2＝10（cm） 半径：10÷2＝5（cm） 周长：3.14×10＝31.4（cm） 所以这个圆的半径是5cm，周长是31.4cm。 【点睛】解决此题的关键是明确周长增加的长度是2条直径的长。 2. 王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？ 解析： r＝78.5÷3.14＝25（米） 3.14×252÷2＝981.25（平方米） 答：这个养鸡场的占地面积是981.25平方米。 【考点十四】含圆的阴影图形面积大小比较。 【典型例题1】其一。 观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 【答案】C 【分析】观察图形可知，左图中两个完全一样的半圆可以组成一个圆；左图阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形的两条边长，左图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积； 右图中4个完全一样的圆可以组成一个圆；右图阴影部分的周长＝圆的周长，右图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；通过观察可知，左右正方形的边长相等，圆直径相等，所以左右两边的阴影部分面积相等，左边阴影部分的周长大于右边阴影部分的周长。 【详解】通过分析可知，两个图形中阴影部分图形的面积相等，周长不相等，第一个图形中阴影部分的周长多出两条边长。 故答案为：C 【点睛】本题采用转化的方法，把不规则图形转化为规则图形就可以找到解答的方法。 【对应练习】 在下图两个边长相等的正方形中，涂色部分比较，( )。      A．周长相等，面积不相等B．周长和面积都相等 C．面积相等，周长不相等 【答案】C 【分析】假设正方形的边长为2厘米，通过观察可知，第一个阴影部分的周长＝2厘米的边长×2＋直径是2厘米的圆周长的×2，第二个阴影部分的周长＝直径是2厘米的圆周长的×4，第一个阴影部分的面积＝一个边长是2厘米的正方形的面积－直径是2厘米的圆面积的×2，第二个阴影部分的面积＝一个边长是2厘米的正方形的面积－直径是2厘米的圆面拥的×4，根据正方形的面积＝边长×边长、圆的周长＝πd和圆的面积＝πr2求解，再比较即可。 【详解】假设正方形的边长为2厘米， 第一个阴影部分的周长：2×2＋3.14×2××2 ＝4＋6.28××2 ＝4＋6.28 ＝10.28（厘米） 第二个阴影部分的周长：3.14×2××4 ＝3.14×2 ＝6.28（厘米） 10.28＞6.28 第一个阴影部分的面积：2×2－3.14×（2÷2）2××2 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 第二个阴影部分的面积：2×2－3.14×（2÷2）2××4 ＝4－3.14×1××4 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 0.86＝0.86 所以两个边长相等的正方形中，阴影部分的周长不相等，面积相等。 故答案为：C 【典型例题2】其二。 从甲、乙两张完全相同的正方形纸上剪下一些圆形纸片（如下图），两块正方形纸剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大C．甲和乙剩余的面积一样大 【答案】C 【分析】观察图形可知，甲剩余的面积＝正方形的面积－空白圆的面积，乙剩余的面积＝正方形的面积－4个空白小圆的面积之和。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2。设正方形的边长是a，用含有字母的式子分别表示正方形和圆的面积，继而求出两块正方形纸剩下的面积。据此解答。 【详解】设正方形的边长是a。 甲剩下的面积：a2－π×（）2 ＝a2－π× ＝a2－πa2 乙剩下的面积：a2－π×（）2×4 ＝a2－π××4 ＝a2－πa2 甲和乙剩下的面积都是a2－πa2，则两块正方形纸剩余的面积相比，甲和乙剩余的面积一样大。 故答案为：C 【对应练习】 如图，用甲乙两块完全相同的正方形铁皮切割圆形铁片，两块正方形铁皮剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．一样大 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，甲图中每个圆的直径等于正方形边长的，乙图中每个圆的直径等于正方形边长的，设正方形的边长为a，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，正方形面积减去所有切割圆的面积等于剩余铁皮面积，把数据分别代入公式求出甲、乙剩余铁皮的面积，然后进行比较即可。 【详解】设正方形的边长为a，则甲图中每个圆的直径为a，半径为a÷2＝a。 乙图中每个圆的直径为a，半径为a。 甲图剩余铁皮的面积： a2－π×（a）2×9 ＝a2－π×a2×9 ＝a2－πa2 乙图剩余铁皮的面积： a2－π×（a）2×16 ＝a2－π×a2×16 ＝a2－πa2 甲、乙正方形剩余铁皮面积都是a²－，所以甲、乙剩余铁皮的面积一样大。 故答案为：C。 【考点十五】半径、直径和周长、面积的三种关系。 【典型例题1】倍数关系。 圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。 【答案】 9倍 3 【详解】略 【对应练习】 一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。 【答案】 4 16 【分析】一个圆的半径扩大到原来的几倍，周长也扩大到原来的几倍；面积扩大倍数是半径扩大倍数的平方，据此解答即可。 【详解】一个圆的半径扩大到原来的4倍，周长也扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍。 【点睛】明确半径、周长和面积之间扩大倍数之间的关系是解答本题的关键。 【典型例题2】比例关系。 两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。 【答案】 9∶25 3∶5 【分析】圆的周长，圆的面积，根据圆的周长和面积公式可知，两圆的面积之比等于半径的平方之比，两圆的周长之比等于半径之比，据此解答即可。 【详解】两圆的半径之比 3:5 ，它们的面积之比是9∶25，周长之比是3∶5。 【点睛】本题考查比、圆的周长和面积，解答本题的关键是掌握圆的周长和面积计算公式。 【对应练习】 两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。 【答案】 4∶3 4∶3 16∶9 9.42 【分析】由题意可知，两个圆的半径之比是4∶3，则假设两个圆的半径分别为4和3，根据直径＝半径×2，圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此求出它们的直径之比、周长之比和面积之比；根据圆的周长公式求出较大的圆的直径，进而求出较小的圆的直径，最后求出较小的圆的周长。 【详解】假设两个圆的半径分别为4和3 （4×2）∶（3×2） ＝8∶6 ＝（8÷2）∶（6÷2） ＝4∶3 4π∶3π＝4∶3 42π∶32π ＝16π∶9π ＝16∶9 12.56÷3.14＝4（cm） 4÷4×3 ＝1×3 ＝3（cm） 3.14×3＝9.42（cm） 则两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是4∶3，周长之比是4∶3，面积之比是16∶9，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是9.42cm。 【点睛】本题考查比的意义，结合圆的周长和面积的计算方法是解题的关键。 【典型例题3】增长变化关系。 一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。 【答案】 6.28 21.98 【分析】由于半径增加1dm，那么此时的半径是4dm，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式求出半径增加前的周长和面积，再求出半径增加后的周长和面积，之后作差即可。 【详解】当半径是3dm的时候 周长：3.14×3×2 ＝9.42×2 ＝18.84（dm） 面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 半径增加1dm后： 3＋1＝4（dm） 周长：3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（dm） 面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（dm2） 则周长增加：25.12－18.84＝6.28（dm） 面积增加：50.24－28.26＝21.98（dm2） 所以一个半径为3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加6.28dm，面积增加21.98dm2。 【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，应熟练掌握它们的公式并灵活运用。 【对应练习】 圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14） 【答案】 6.28 28.26 【分析】根据圆的周长公式：C＝，和圆的面积公式：S＝，代入前后半径的数据，分别求出增加前和增加后的圆的周长及圆的面积，再相减即可求出增加的圆的周长和增加的圆的面积。 【详解】2×3.14×5－2×3.14×4 ＝31.4－25.12 ＝6.28（cm） 3.14×52－3.14×42 ＝3.14×25－3.14×16 ＝78.5－50.24 ＝28.26（cm2） 即圆的周长增加6.28cm，它的面积增加28.26cm2。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式解决实际的问题。 【考点十六】外方内圆和外圆内方。 【典型例题1】问题一。 在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 2 12.56 【分析】根据题意可知，在这张长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，所以圆规两脚间的距离是（4÷2）厘米，根据圆的面积公式：S＝r2，把数据代入公式解答。 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆规两脚间的距离是2厘米，所画圆的面积是12.56平方厘米。 【点睛】考查圆的特点以及圆的面积计算，重点是能够熟练掌握圆的面积计算方法。 【对应练习】 在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。 【答案】19.74 【分析】长方形里剪掉一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，长方形面积－圆的面积＝剩下部分的面积，据此列式计算。 【详解】8×6－3.14×（6÷2）2 ＝48－3.14×32 ＝48－3.14×9 ＝48－28.26 ＝19.74（平方分米） 剩下部分的面积是19.74平方分米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式，理解长方形和圆之间的关系。 【典型例题2】问题二。 如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。 【答案】 78.5 21.5 【分析】由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，正方形的边长已知，于是利用圆的面积＝πr2，即可求出圆的面积；再用正方形的面积减去圆的面积，即可求出剩余部分的面积。 【详解】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 这个圆的面积是78.5平方厘米。 10×10－78.5 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 余下部分的面积是21.5平方厘米。 【点睛】此题主要考查学生正方形与圆面积的计算能力，解答此题的关键是明白：正方形中最大圆的直径应该等于正方形的边长，即可求得圆面积和余下的面积。 【对应练习】 在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】31.4 【分析】由题意可知，从正方形中剪下一个最大的圆，则该圆的直径相当于正方形的边长，圆的半径的平方等于正方形的面积的，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】40×＝10（平方厘米） 3.14×10＝31.4（平方厘米） 则圆的面积是31.4平方厘米。 【点睛】本题考查圆的面积，明确圆的半径的平方等于正方形的面积的是解题的关键。 【典型例题3】问题三。 在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【答案】 113.04 37.68 【分析】在一个圆内画一个最大的正方形，如图，正方形的对角线＝圆的直径，设圆的半径是r厘米，根据2r×r×2÷2＝正方形面积，确定r，再根据圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr，求出圆的面积和周长。 【详解】解：设圆的半径是r厘米。 2r×r×2÷2＝72 2r×r＝72 2r×r÷2＝72÷2 r×r＝36 r＝6 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 2×3.14×6＝37.68（厘米） 这个圆的面积是113.04平方厘米，周长是37.68厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 【对应练习】 把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 50.24 18.24 【分析】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线＝圆的直径，根据圆的面积＝πr2，求出圆形纸片的面积；圆的面积－正方形面积＝折起来的面积，正方形的面积＝两个三角形面积和，据此列式计算。 【详解】3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 50.24－8×（8÷2）÷2×2 ＝50.24－8×4÷2×2 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 这个圆形纸片的面积是50.24平方厘米，折起来的部分的面积是18.24平方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的面积公式，灵活计算正方形面积。 【考点十七】圆环的面积问题。 【典型例题】 这是西周圆形圆孔钱平面图（如图）的面积大约是多少平方厘米？（得数保留一位小数） 【答案】5.2平方厘米 【分析】根据图意可知，求这枚西周圆形圆孔钱（如图）的面积大约是多少平方厘米，实际上求的就是环形的面积，根据环形面积公式：环形面积＝外圆面积－内圆面积，把数据代入公式进行解答。 【详解】2.7÷2＝1.35（厘米） 0.8÷2＝0.4（厘米） 3.14×（1.352－0.42） ＝3.14×（1.8225－0.16） ＝3.14×1.6625 ＝5.22025 ≈5.2（平方厘米） 答：这枚西周圆形圆孔钱（如图）的面积大约是5.2平方厘米。 【点睛】此题属于环形面积的实际应用，直接根据环形面积公式解答即可。 【对应练习】 1. 圆形池塘的周长是25.12米（如图），在池塘的周围修一条2米宽的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？ 【答案】62.8平方米 【分析】由题意知：圆形池塘的半径:：米，再利用圆环的面积公式：，将数值代入即可求得水泥路的面积。据此解答。 【详解】 ＝ ＝4（米） 大圆的半径： （米） ＝ ＝ ＝62.8（平方米） 答：水泥路的面积是62.8平方米。 2. 在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？ 【答案】108.33平方米 【分析】由题意可知，小圆的半径为10米，大圆的半径＝小圆的半径＋环宽，利用“”表示出小路的面积，最后除以2求出小路铺水泥的面积，据此解答。 【详解】10＋3＝13（米） 3.14×（132－102）÷2 ＝3.14×（169－100）÷2 ＝3.14×69÷2 ＝216.66÷2 ＝108.33（平方米） 答：小路铺水泥的面积是108.33平方米。 【点睛】本题主要考查环形面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。 【考点十八】扇形的面积问题。 【典型例题】 在一个直径为2m的圆中，取一个圆心角是90度的扇形，这个扇形的面积是( )m2。 【答案】0.785/ 【分析】根据扇形的面积＝，代入数据解答即可。 【详解】2÷2＝1（m） ×3.14× ＝×3.14×1 ＝0.785（m2） 所以这个扇形的面积是0.785 m2。 【对应练习】 1. 小明画了一个半径4cm的圆，圆的面积是( )cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为45°的扇形，这个扇形的面积是( )cm2。 【答案】 50.24 6.28 【分析】圆的面积＝圆周率×半径的平方；扇形面积＝圆的面积×，据此列式计算。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 50.24× ＝50.24× ＝6.28（cm2） 小明画了一个半径4cm的圆，圆的面积是50.24cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为45°的扇形，这个扇形的面积是6.28cm2。 2. 如图，一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为( )平方厘米。 解析： 观察图形可知，扇面的面积等于圆心角是135°、半径30厘米的扇形的面积与圆心角是135°，半径30－20＝10厘米的扇形的面积之差，据此利用扇形的面积＝ ，代入数据计算即可解答问题。 30－20＝10（厘米） － ＝－ ＝1059.75－117.75 ＝942（平方厘米） 【考点十九】含圆的阴影部分面积问题。 【典型例题】 求下面图形涂色部分的面积。 【答案】10.99cm2；20.52m2 【分析】涂色部分的面积为内直径是6cm，外直径是8cm的圆环的面积的一半； 如下图，空白部分①和②面积相等，等于边长是6m的正方形面积减去半径是6m的圆的面积，那么涂色部分的面积为边长是6m的正方形面积减去空白部分①、②的面积，据此解答。 【详解】 （cm2） 故涂色部分面积是10.99cm2。 （m2） 故涂色部分面积是20.52m2。 【对应练习】 1．计算下面各图中阴影部分的面积。（π取3.14，单位：cm） （1）        （2） 【答案】（1）3.44cm2 （2）26.75cm2 【分析】图（1）阴影部分的面积可以由一个边长是4cm的正方形的面积减去一个直径是4cm的圆的面积得到，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入相应数值计算；图（2）阴影部分的面积可以由一个半径为5cm的半圆面积减去一个三角形的面积得到，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入相应数值计算。 【详解】（1）4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） （2）3.14×52÷2－5×5÷2 ＝3.14×25÷2－25÷2 ＝78.5÷2－12.5 ＝39.25－12.5 ＝26.75（cm2） 2．计算下面阴影部分的周长和面积。 【答案】左图：49.68厘米；56.52平方厘米 右图：28.56厘米；38.88平方厘米 【分析】第一个阴影部分的周长，相当于一个半径是12厘米的的圆加上直径是12厘米的半圆再加一个12厘米的线段即可；面积：半径是12厘米的圆减去直径12厘米的半圆的面积即可； 第二个：阴影部分的周长相当于2个半径是4厘米的圆以及4条4厘米的线段；阴影部分的面积相当于一个正方形的面积减去2个半径是4厘米的圆的面积。 根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入即可求解。 【详解】左边的： 周长：3.14×12÷2＋12＋×2×3.14×12 ＝18.84＋12＋18.84 ＝49.68（厘米） 面积：×3.14×122－3.14×（12÷2）2÷2 ＝×3.14×144－3.14×62÷2 ＝113.04－3.14×36÷2 ＝113.04－56.52 ＝56.52（平方厘米） 右图：周长：×2×3.14×4×2＋4×4 ＝12.56＋16 ＝28.56（厘米） 面积：8×8－×3.14×42×2 ＝64－×3.14×16×2 ＝64－25.12 ＝38.88（平方厘米） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题三：图形与几何·位置方向和圆 专题内容 本专题包括圆的认识、周长、面积以及利用方向与距离描述路线等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十九大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 4 【第四篇】典型例题篇 8 【考点一】描述方向，确定位置 8 【考点二】描述或绘制路线 9 【考点三】圆与扇形的认识和基本概念 10 【考点四】圆规作图 10 【考点五】直径和半径的关系 11 【考点六】圆的数量问题 12 【考点七】关于圆周率π 12 【考点八】圆的周长问题 13 【考点九】圆周长的比较问题 13 【考点十】不规则或组合图形的周长 15 【考点十一】圆与长方形的拼切转化问题 16 【考点十二】圆的面积问题 16 【考点十三】半圆的周长和面积 17 【考点十四】含圆的阴影图形面积大小比较 18 【考点十五】半径、直径和周长、面积的三种关系 19 【考点十六】外方内圆和外圆内方 19 【考点十七】圆环的面积问题 20 【考点十八】扇形的面积问题 21 【考点十九】含圆的阴影部分面积问题 21 【第三篇】知识总览篇 知识点一：根据方向和距离确定物体位置。 1. 确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向(角度)； 2. 用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离； 3. 根据方向(角度)和距离准确判断或描述被测物体的位置。 注意：东偏北30°也可说成北偏东60°。 知识点二：绘制路线图的步骤。 1. 画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺。 2. 确定起点的位置。 3. 根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点。 4. 以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。 5. 标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的) 知识点三：圆的认识。 1．圆的定义。 一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心。 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径。 连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5. 直径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6. 轴对称图形。 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7. 圆的对称轴。 直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点四：圆的周长。 1．圆的周长。 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率。 圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 4. 半圆的周长。 半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 知识点五：圆的面积。 1. 圆的面积。 圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式。 或者或者 3．半圆的面积。 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 4. 外方内圆与外圆内方。 （1）在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。 （2）在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。 （3）在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5. 圆环的面积。 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半径、直径和周长、面积的三种关系。 （1）在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 （2）两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方； 圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。 （3）当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 7．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 知识点六：扇形。 1. 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。 3. 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 。 4. 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 【第四篇】典型例题篇 【考点一】描述方向，确定位置。 【典型例题】 1. 学校在体育场的西偏南45°方向，体育场在学校的( )方向。 2. 观察图，完成下列各题。 (1)以小红为观测点，小亮在小红的( )偏( )( )方向( )m处。 (2)以小亮为观测点，小红在小亮的( )偏( )( )方向( )m处。 【对应练习】 1. 淘气家在学校的北偏东方向上处。则学校在淘气家( )方向上( )处。 2. 锦绣小区在学校的( )偏( )( )方向上，距离是( )米；学校在锦绣小区的( )偏( )( )方向上，距离是( )米。 【考点二】描述或绘制路线。 【典型例题】 12路公共汽车从起点站出发，先向西偏北40°行驶3千米走到A站，然后再向正西行驶5千米到达B站，最后向西偏南50°行驶4千米到达终点站。 （1）根据上面的描述，把12路公共汽车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，描述12路公共汽车原路返回时所行驶的方向和路程。 【对应练习】 1. 如图所示，从车站出发向东方向走( )米到达书店，再向( )偏( )30°方向走2000米到达邮局，最后向( )偏( )( )方向走2000米就到达学校。 2. 李叔叔驾车从家向东偏北35°方向行驶2千米后向西行驶5千米，最后向西偏南30°行驶3千米到达森林公园。 （1）根据上面的描述，把李叔叔驾车行驶的路线图画完整。 （2）根据路线图，说说李叔叔驾车原路返回时所行驶的方向和路程。 【考点三】圆与扇形的认识和基本概念。 【典型例题】 1. 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。 2. 如图，圆周上A、B两点之间的部分叫做( )，由半径OA、OB和孤AB围成的涂色部分是( )，这一部分面积是圆面积的。 【对应练习】 1. ( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 2. 在同一个圆中，扇形的大小与( )有关，以圆为弧的扇形圆心角是( )度。 【考点四】圆规作图。 【典型例题】 画一个直径4cm的圆，并且标出它的圆心、半径。 【对应练习】 1．（1）画一个4cm的线段，以线段为直径画一个圆，并标出圆心O。 （2）在所画圆中，画两条互相垂直的直径；依次连接这两条直径的四个端点，得到一个小正方形并涂上阴影。 （3）请求出这个圆和这个小正方形空白部分的面积。 2．龙龙在一次图形设计中，需要用作图工具在边长是2.8厘米的正方形纸上画一个最大的圆，如图是他所画圆的一部分。 （1）请你用圆规和直尺把龙龙所画的圆补充完整。（保留作图痕迹） （2）请你求出这幅设计图中圆的面积。 【考点五】直径和半径的关系。 【典型例题】 看图填一填。 (1)     半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【对应练习】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【考点六】圆的数量问题。 【典型例题】 1. 把一张边长是8分米的正方形纸片剪成半径是0.5分米的圆片，一共可以剪( )个。 2. 在长12.4cm、宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，能剪( )个。 【对应练习】 在一块长42厘米、宽35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是3.5厘米的圆，最多能剪( )个。 【考点七】关于圆周率π。 【典型例题】 下列关于圆周率，说法正确的是( )。 ①是个无限不循环小数。 ②＞3.14。 ③周长大的圆，就大，周长小的圆，就小。 ④是圆的周长除以它直径的商。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【对应练习】 1. 我国关于圆周率的最早记录出自( )。 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱茵德草卷》 D．《几何原本》 2. 我国古代( )算出π的值在3.1415926和3.1415927之间． 【考点八】圆的周长问题。 【典型例题】 1. 一台座钟的分针长10厘米，经过45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？ 2. 世贸摩天城的摩天轮，它的直径大约是90米，旋转一周所需时间约30分钟，东东坐上摩天轮20分钟后，他在空中大约移动了多少米？ 【对应练习】 1. 一辆自行车车轮直径70厘米，如果车轮平均每分钟转100圈，那么行驶完5495米的大桥需要多少分钟？ 2. 小明和小亮沿着半径是500m的圆形湖边同时从同一地点相向而行。小明每分钟行81m，小亮每分钟行76m，两人经过多少分钟相遇？ 【考点九】圆周长的比较问题。 【典型例题1】其一。 如图是由4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发前往D点，甲蚂蚁沿着最大半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的3个半圆的弧线走。如果它们用同样的速度一直走，能同时到达D点吗？为什么？请写出你的思考过程。 【典型例题2】其二。 下图中，外面一个圆的周长与里面两个小圆的周长之和相比，( )。 A．外圆的周长长 B．两个内圆周长的和长 C．一样长 D．无法确定哪个长 【对应练习】 1. 在一个大圆里，以它的直径上的三个点为圆心，画出三个紧密相连的圆（如下图）。你知道大圆的周长和这三个小圆的周长之和相比，哪一个更长一些吗？ 2. 如图，大圆的周长( )两个小圆的周长之和。 A．等于 B．大于 C．小于 【考点十】不规则或组合图形的周长。 【典型例题】 计算操场的周长。 【对应练习】 1. 计算下面图形的周长。 2. 计算下面图形的周长。 【考点十一】圆与长方形的拼切转化问题。 【典型例题】 将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。    【对应练习】 1. 如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。    2. 把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。 【考点十二】圆的面积问题。 【典型例题】 一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数） 【对应练习】 1. 某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？ 2. 一天，小军和小芳到一个近似于圆的公园游玩，两人突然想到一个数学问题：“这个公园的面积大约是多少平方米？”经过探究，两人想出了一个好办法：两人沿着公园的A点处同时出发，背向而跑，如图。小军的速度是164米/分钟，小芳的速度是150米/分钟，经过2分钟两人相遇。你能按他们的办法算出这个公园的面积吗？试一试。 【考点十三】半圆的周长和面积。 【典型例题】 1. 把一个直径10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 2. 一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【对应练习】 1. 如图，把一张圆形纸片剪成2个半圆，它的周长增加20cm，原来这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 2. 王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？ 【考点十四】含圆的阴影图形面积大小比较。 【典型例题1】其一。 观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是( )。 A．周长和面积都相等 B．周长和面积都不相等 C．周长不相等，面积相等 【对应练习】 在下图两个边长相等的正方形中，涂色部分比较，( )。      A．周长相等，面积不相等B．周长和面积都相等 C．面积相等，周长不相等 【典型例题2】其二。 从甲、乙两张完全相同的正方形纸上剪下一些圆形纸片（如下图），两块正方形纸剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大C．甲和乙剩余的面积一样大 【对应练习】 如图，用甲乙两块完全相同的正方形铁皮切割圆形铁片，两块正方形铁皮剩余的面积相比，( )。 A．甲剩余的面积大 B．乙剩余的面积大 C．一样大 【考点十五】半径、直径和周长、面积的三种关系。 【典型例题1】倍数关系。 圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。 【对应练习】 一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。 【典型例题2】比例关系。 两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。 【对应练习】 两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。 【典型例题3】增长变化关系。 一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。 【对应练习】 圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14） 【考点十六】外方内圆和外圆内方。 【典型例题1】问题一。 在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习】 在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。 【典型例题2】问题二。 如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。 【对应练习】 在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。 【典型例题3】问题三。 在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【对应练习】 把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。 【考点十七】圆环的面积问题。 【典型例题】 这是西周圆形圆孔钱平面图（如图）的面积大约是多少平方厘米？（得数保留一位小数） 【对应练习】 1. 圆形池塘的周长是25.12米（如图），在池塘的周围修一条2米宽的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？ 2. 在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？ 【考点十八】扇形的面积问题。 【典型例题】 在一个直径为2m的圆中，取一个圆心角是90度的扇形，这个扇形的面积是( )m2。 【对应练习】 1. 小明画了一个半径4cm的圆，圆的面积是( )cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为45°的扇形，这个扇形的面积是( )cm2。 2. 如图，一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为( )平方厘米。 【考点十九】含圆的阴影部分面积问题。 【典型例题】 求下面图形涂色部分的面积。 【对应练习】 1．计算下面各图中阴影部分的面积。（π取3.14，单位：cm） （1）        （2） 2．计算下面阴影部分的周长和面积。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$