精品解析：天津市静海区第六中学2024-2025学年高二上学期第三次质量监测数学试卷

静海六中2024-2025学年度第一学期第三次质量监测 高二年级数学试卷 说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题共45分） 一､选择题（每题5分，共60分） 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点对称的性质可得点坐标，进而可得. 【详解】由题意，点关于轴的对称点为， 故. 故选：D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出两圆圆心距与两圆半径间的关系，再利用圆与圆位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】因圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又，所以，所以圆与圆内切， 故选：B. 4. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A 5. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得的值. 【详解】由已知，， 所以，故． 故选：D 6. 如图，在四面体中，.点分别为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，再结合平面向量运算法则即可求解. 【详解】 因为在四面体中，， 点分别为棱的中点， 所以， . 故选：D. 7. 直线是双曲线的一条渐近线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线，即可得到方程，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 又是双曲线的一条渐近线，即，解得. 故选：A 8. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程的概念求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量是 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】对于A：因为，， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：A. 10. 已知数列满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推式求出的值，可以发现数列为周期数列，从而推出的值. 【详解】因为，所以， 所以数列的周期为3，所以. 故选：C. 11. 若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】由椭圆的标准方程，可得，所以， 又因为，即， 因为， 在，根据余弦定理可得， 即， 又因为，所以， 所以， 故选：A 12. 已知椭圆，过点的直线交于､两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设、，由题意，是的中点，可得，， 则，两式相减可得， 所以，，解得， 因此，直线的斜率为，经验证此时直线与椭圆有两个交点， 故选：A. 第II卷（非选择题） 二､填空题（每题5分，共30分） 13. 数列的一个通项公式__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，观察数列项的特点，即可得到其通项公式. 【详解】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为： 14. 已知直线与直线平行，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】由题意可得，则，，解得或， 当时，直线与直线重合，不符合题意； 当时，，显然成立，符合题意. 故答案为：. 15. 已知圆和点，则过点的的切线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，假设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由圆方程可得圆心，半径； 当过点直线斜率不存在时，即时，圆心到其距离，与相切； 当过点的的切线斜率存在时，可设为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 切线方程为，即； 综上所述：所求切线方程为或. 故答案为：或. 16. 直线过点且被圆截得的弦长最短，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断点在圆内，不妨令，当直线时，直线被圆截得弦长最短，求出，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】圆的圆心为，因为， 所以点在圆内，不妨令， 当直线时，直线过点且被圆截得的弦长最短， 因为，所以，则直线的方程为，即. 故答案为： 17. 如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以 . 故答案为： 18. 直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，消得到，利用韦达定理及抛物线焦点弦的弦公式即可求得，进而可求出结果. 【详解】因为的焦点为，设直线的方程为，， 由，消得到， 由韦达定理得，又， 所以，得到，所以， 又直线与双曲线：的一条渐近线平行，所以， 故双曲线的离心率为， 故答案为：. 三､解答题（每题15分，共50分） 19. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. 【小问3详解】 由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 20. （1）已知数列满足.求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）已知数列的前项和为.求的通项公式. 【答案】 （1）因为，所以， 所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则； （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，得到，结合等差数列的定义即可证明，再求出的通项公式，即可得解； （2）根据，作差计算可得. 【详解】（1）略 （2）因为， 当时，； 当时，， 所以， 当时也成立， 所以. 21. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明： 如图，连接交于，连接， 四边形为矩形，与交于点， 为的中点， 又因为为的中点，， 而平面，平面， 平面； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，根据中位线的性质结合直线与平面平行的判定定理进行证明； （2）使用空间向量求解线面角的正弦值； （3）使用空间向量法利用已知条件，求解得出满足条件的点的坐标即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为四边形为矩形，所以， 又平面底面，平面底面，平面， 所以底面， 因为底面，所以， 而，故可以以，，为轴建立空间直角坐标系， 根据题意，则有， 所以， 假设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角的平面角为， 则． 直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 假设存在点，满足题意， 设此时，则， 即，解得， 则，， 假设平面的一个法向量为， 则，取，得， 又平面的一个法向量为， 平面与平面所成锐二面角的大小为， 根据题意，则有， 解得， 在线段上存在一点（除去端点）， 使得平面与平面所成锐二面角的大小为，． 22. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. （1）求椭圆的方程， （2）过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若.求实数的值及的面积. 【答案】（1） （2），的面积为 【解析】 【分析】（1）由离心率得到，利用点到直线的距离求出，即可求出、，从而得解； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理和，求出实数的值，再利用弦长公式和点到直线距离得到的底和高，求出面积. 【小问1详解】 由题意知离心率，所以，即. 以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有， 所以，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为 由，消去得，显然， ∴ ， 则 ， 所以， ，解得，则直线为. ∴， 所以 ， 点到直线的距离， 所以的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海六中2024-2025学年度第一学期第三次质量监测 高二年级数学试卷 说明：本试卷分为第I卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题共45分） 一､选择题（每题5分，共60分） 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 4. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 6. 如图，在四面体中，.点分别为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线是双曲线的一条渐近线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 8. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量是 B. C. D. 10. 已知数列满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 11. 若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 1 12. 已知椭圆，过点的直线交于､两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二､填空题（每题5分，共30分） 13. 数列的一个通项公式__________. 14. 已知直线与直线平行，则实数a的值为__________. 15. 已知圆和点，则过点的的切线方程为__________. 16. 直线过点且被圆截得的弦长最短，则直线的方程为__________. 17. 如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则__________. 18. 直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为_______. 三､解答题（每题15分，共50分） 19. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 20. （1）已知数列满足.求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）已知数列的前项和为.求的通项公式. 21. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面夹角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. （1）求椭圆的方程， （2）过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若.求实数的值及的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $