精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

宁朔中学2024-2025（一）高一年级第二次月考数学测试卷 出卷人：张艳荣2024.12.2 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出，根据指数函数的性质求出，再根据交集运算求解即可. 【详解】集合，， 则. 故选：C. 2. 与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出与终边相同的角的表示方法，对A，将代入求出，判断是否属于整数即可；对B，将代入求出，判断是否属于整数即可；对C，将代入求出，判断是否属于整数即可；对D，将代入求出，判断是否属于整数即可. 【详解】解：， 故与终边相同的角可表示为：， 对A， ， 解得：，故A错； 对B，， 解得：，故B错； 对C，， 解得：，故C对； 对D，， 解得：，故D错. 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用. 【详解】由题意，. 故选：D. 4. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 6. 某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒. A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列出等式求得，即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 设达到50米的高度需要秒. ， 解得：， 所以达到50米的高度需要秒. 故选：C 7. 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出的值，利用零点存在定理求出、所在区间，由此可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，所以，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由可得，因此，. 故选：A. 8. 已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据图象分析，即可求解的取值范围. 【详解】由题意，函数， 画出函数的图象，如图所示， 设，则，即，可得， 当时，递减，且与轴交于点， 所以，且， 所以的取值范围为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式与图象，对数函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，其中解答中画出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用，属于中档试题. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 方程的解在内 B. 函数的零点是 C. 函数有三个不同的零点 D. 用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，所以B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，所以C正确； 对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过点 B. 函数与是同一函数 C. 二次函数的零点是， D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，相等函数的定义，以及零点的定义，二次函数的单调性，即可求解. 【详解】A.函数（且）的图象恒过点，故A正确； B. 的定义域为，的定义域为，所以两个函数不是同一函数，故B错误； C.令，得或，故C正确； D.由题意可知，，得，故D正确. 故选：ACD 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数的图象经过点，则 B. 已知函数，则函数 C. 已知，，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据幂函数的形式，再代入点的坐标，即可判断A，根据换元法求解析式，即可判断B，根据奇函数的性质，即可判断C,根据复合函数单调性，即可判断D. 【详解】A.设，，得，则，故A错误； B.设，则，则，即，，故B错误； C.设，定义域为，关于原点对称， 且， 则为奇函数，，所以，即，故C正确； D. ，其中，，为减函数， ，在区间单调递减，所以函数的单调递增区间是，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知，用含的代数式表示______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 13. 函数（，且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意结合求出点，进而由点在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，令，解得，此时， 所以函数（且）的图象恒过定点，即， 又点在直线上，故， 又，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨取，由可得，所以，函数在上为减函数， 且，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 回答下面两个题： （1）若已知，，求的值； （2）计算； （3）已知，求的值. 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数运算法则，即可求解； （3）根据指数幂和完全平方公式，即可求解. 【小问1详解】 由已知，， 可得； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由，可得 ，可得， ，得， 所以. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； （2）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） （3）写出解不等式的解集． 【答案】（1）图象： ，单调递减区间为和． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式； （2）利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解； （3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图， 结合图象可知，函数的单调递减区间为和． 因为当时，， 所以当时， ，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当 时，， 故的解析式为. 【小问2详解】 因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点， 结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点， 所以. 【小问3详解】 当时，可得，结合图象可得； 当时，可得，结合图象可得. 综上所述，不等式的解集为. 17. 已知函数，其中且. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若，判断的单调性； （3）当的定义域为时，的值域为，求的值. 【答案】（1）函数为奇函数，证明如下： 由得或，即的定义域为或关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （2）在和上都为减函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着按奇偶性判定步骤去判断即可证明； （2）由为增函数，在和上都为减函数即可判断； （3）由题意结合（2）得在上为减函数，进而得，从而得，解该方程即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由和复合而成， 当时，为增函数，在和上都为减函数， 所以由复合函数的单调性知在和上都为减函数. 【小问3详解】 由题意，所以由（2）可知在上为减函数， 因为当时，，故， 即，解得， 因为，所以. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，求的零点； （3）求当时，函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解； （2）根据函数零点，对数运算求解； （3）将函数转化为二次函数求解值域； 【小问1详解】 由题意知，代入得； 解得：， 经检验，时，， 故为奇函数. 【小问2详解】 ， 令得：， 综上的零点为. 【小问3详解】 , 设，， 结合二次函数性质，对称轴，图象开口向上， 当，；当时，， 综上函数值域为. 19. 已知为偶函数，为奇函数． （1）求实数k的值； （2）判断并证明的单调性； （3），最小值为1，求m的值． 【答案】（1） （2）是在上的单调递增函数，证明如下： 令，则， 又，，故， 所以是在上的单调递增函数， （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数定义来求参数即可； （2）利用定义法来证明单调性即可； （3）利用换元法，，把原函数在闭区间上的最小值问题转化为二次函数在闭区间上的最小值问题，从而利用二次函数的性质来进行求解. 【小问1详解】 由题设恒成立， 所以，经验证满足题设，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设，， 令，因为，由（2）证明的单调性可知： 而， 所以题意转化为：，的最小值为1， 显然开口向上且对称轴为，， 所以时在上递增，最小值为，不符合题意，故， 若，则，不符合题意； 若，则（正值舍）， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁朔中学2024-2025（一）高一年级第二次月考数学测试卷 出卷人：张艳荣2024.12.2 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒. A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 7. 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 方程的解在内 B. 函数的零点是 C. 函数有三个不同的零点 D. 用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过点 B. 函数与是同一函数 C. 二次函数的零点是， D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数的图象经过点，则 B. 已知函数，则函数 C. 已知，，则 D. 函数的单调递增区间为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知，用含的代数式表示______． 13. 函数（，且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______. 14. 已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 回答下面两个题： （1）若已知，，求的值； （2）计算； （3）已知，求的值. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； （2）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） （3）写出解不等式的解集． 17. 已知函数，其中且. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若，判断的单调性； （3）当的定义域为时，的值域为，求的值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，求的零点； （3）求当时，函数的值域. 19. 已知为偶函数，为奇函数． （1）求实数k的值； （2）判断并证明的单调性； （3），最小值为1，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $