7.4.1二项分布限时训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项分布 (分值：100分) 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分. 一、基础巩固 1.在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　) 2.若ξ～B，且η＝2ξ＋3，则D(η)＝(　　) 3.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为(　　) 1 4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为(　　) 5.(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是(　　) P1＝P2＝P3＝P4 P3＝2P1 P1＋P2＋P3＋P4＝1 P4＝3P2 6.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________. 7.已知随机变量X～B(5，0.2)，Y＝2X－1，则E(Y)＝________，标准差＝________. 8.在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则每次试验中事件A发生的概率p的取值范围是________. 9.(13分)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设甲、乙每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 10.(13分)某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2. X 0 3 6 P a b (1)求a和b的值； (2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的分布列与均值. 二、综合运用 11.已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习(每次罚球互不影响)，则在罚球命中两次停止时，罚球次数恰为4的概率是(　　) 12.抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________. 13.(17分)某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时： (1)求ξ＝2时的概率； (2)求随机变量ξ的分布列和均值. 三、创新拓展 14.(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时(　　) X服从二项分布 P(X＝1)＝ X的均值E(X)＝ X的方差D(X)＝ 二项分布 1.A　[设事件A在一次试验中发生的概率为p， 由题意得1－Cp0(1－p)4＝， 所以1－p＝，p＝.] 2.A　[由题意知D(ξ)＝4××＝. ∵η＝2ξ＋3， ∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×＝.] 3.D　[遇到红灯的次数X～B， ∴E(X)＝4×＝， ∴E(Y)＝E(2X)＝2×＝.] 4.A　[该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮， 有两天出现大潮概率为C××＝， 有三天出现大潮概率为C×＝， 故至少有两天出现大潮的概率为 ＋＝.] 5.CD　[由题意知，P1＝＝， P2＝＝， P3＝C××＝， P4＝C××＝， ∴P1＝P2<P3＝P4，且P3＝3P1， 则A，B不正确， 易知P1＋P2＋P3＋P4＝1，P4＝3P2， 则C，D正确.] 6.　[正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率 p＝C＋C＋C＝.] 7.1　　[∵随机变量X～B(5，0.2)，Y＝2X－1， ∴E(X)＝5×0.2＝1，D(X)＝5×0.2×0.8＝0.8， ∴E(Y)＝2E(X)－1＝1， ∴＝＝2＝.] 8.[0.4，1)　[由n重伯努利试验发生k次的概率， 得Cp·(1－p)3≤Cp2(1－p)2，则p≥0.4. 结合0<p<1，解得0.4≤p<1.] 9.解　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1， 由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验， 故P(A1)＝1－P(1)＝1－＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2， 则P(A2)＝C×＝， P(B2)＝C××＝， 由于甲、乙射击相互独立， 故P(A2B2)＝×＝. 所以所求的概率为. 10.解　(1)因为E(X)＝2， 所以0×＋3×a＋6×b＝2， 则3a＋6b＝2.① 又＋a＋b＝1，得a＋b＝，② 联立①②，解得a＝，b＝. (2)P(X>0)＝，依题意知Y～B， 故P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝C××＝， P(Y＝2)＝C××＝， P(Y＝3)＝＝. 故Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P Y的均值为 E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 11.C　[设运动员罚球一次“命中”记为事件A， 则P(A)＝0.4，P()＝0.6. 命中两次停止时，罚球次数恰为4，说明第4次命中，前3次命中1次， 故所求概率为C0.4×(0.6)2×0.4＝.] 12.　[因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝， 所以C··＝， 则n＝，解得n＝6， 故D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.] 13.解　(1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是， 故P(ξ＝2)＝C××＝. (2)法一　ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， 依题意知，P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4). ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～B， ∴E(ξ)＝4×＝. 14.ABC　[由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响， 故以后的5位数中后4位的所有结果有4类： ①后4个数出现0个1，X＝0，记其概率为 P(X＝0)＝＝； ②后4个数位只出现1个1，X＝1，记其概率为 P(X＝1)＝C＝； ③后4个数位出现2个1，X＝2，记其概率为 P(X＝2)＝C＝； ④后4个数位上出现3个1，X＝3，记其概率为 P(X＝3)＝C＝； ⑤后4个数位都出现1，X＝4，记其概率为 P(X＝4)＝＝， 故X～B，故A正确，B正确. ∵X～B， ∴E(X)＝4×＝，故C正确. ∴方差D(X)＝4××＝，故D错误.] 学科网（北京）股份有限公司 $$