山东省淄博市第十一中学2024-2025学年高二上学期12月适应性检测数学试题

2024-2025学年高二年级上学期适应性检测 数学试题 2024年12月 注意事项： 1.本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。第I卷为选择题，共58分：第Ⅱ卷为非选择题，共92分；满分 150分，考试时间为120分钟。 2.客观题请将选出的答案标号(A、B、C、D)涂在答题卡上，主观题用O,5mm黑色签字笔答题。 第I卷（共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分在每小题只有一项是符合题目要求 1.在平面直角坐标系Oy中，直线x-√3y-1=0的倾斜角等于() 4交 B c.2 6 6 2若向量a=(1,-1,2),6=(2,1-3),则2a+=() A.V万 B.2W2 C.3 D.32 3。已知事件4B互斥，它们都不发生的概率为行且P)=3P(B),则P(B)=（） 人信 B. 1 c ·6 4.已知圆C:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x+y+4x-10y+4=0相交于A,B两点，则两圆公共 弦所在直线的方程为() A.3x-3y-4=0B.3x-3y+4=0 C.x+y-3=0 D.x+y+3=0 5.设椭圆mx2+y2=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为号则此椭圆的方程为() D.+=1 1612 3 63D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料， 通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔简为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 √0的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计 算)的上底直径为6√2cm,下底直径为9√2cm,喉部（中间最细处）的直径为8cm,则该塔筒的高为() A.18cm B.18/2cm D272 2cm 7.如图①，在Rt△ABC中，AB=2BC=6,∠ABC=90°，E,F分别为AB,AC上的点，EF∥BC, AE=2EB如图②，将△AEF沿EF折起，当四棱锥A-BCFE的体积最大时，点E到平面ACF的距 离为() 图① 图② A.4v6 &23v6 c.6 D.6 3 3 2 &已知椭圆C大 +尽=1(a>b>0)与圆C,:x+少=b,若在椭圆C上存在点P,过P作圆的切线PA, y2 PB,切点为A,B使得∠BPA= 3， 则椭圆C的离心率的取值范围是() A02 9 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的 得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.已知圆C:(x-1)2+0y-2}=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则以下命题正确的有() A直线1恒过定点(（3,0) By轴被圆C截得的弦长为4V5 C直线1与圆C恒相交 D.直线1被圆C藏得弦长最长时，1的方程为x+2y-5=0 10.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为 2 ,2,事件A=“为=3”，事件B=“x2=6”,事件C=“3+x2=9”,则() A.ABC B.ACB C.B,C互斥 D.B,C独立 11如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中，M,N分别是AB,AD的中点，P为线段CD上的 动点，则下列说法正确的是() D A B A.PM,BC一定是异面直线 B.存在点P,使得MN⊥PM C直线WP与平面BCCB所成角的正切值的最大值为√5 D.过M,从P三点的平面裁正方体所得截面面积的最大值为3 4 第I卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,1,0,万=(0，-l,-),若(a+)11(a-),则=一 3.己知点P(6,%)在焦点为F的抛物线C:y=2px(p>0)上，若P例=5，则p与 14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现： 如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数入（元>0，且入≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名 的阿波罗尼斯圆若点P到A(2,0),B(-2,0)的距离比为V5,则点P到直线1：2√2x-y-√2=0的距 离的最大值是 四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步豫。 15.(13分)己知两直线4：x+y+2=0和2：3x-2y+1=0的交点为P (1)直线1过点P且与直线x+3y+1=0平行，求直线I的一般式方程： (2)圆C过点(1,0)且与相切于点P,求圆C的一般方程， 16.(15分)Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信 号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发 展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答 1 对每一道题的概率分别为二与P,乙连续2次答错的概率为 6 (1)求乙答对题的概率： (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率. 17.(15分) x2,y2 已知椭圆E:之三+京1(a>b>0)焦距为2，离心率e是) (1)求椭圆E的标准方程： (2)过点F(1,O)作两条互相垂直的弦AB,CD,其中B,D在x轴的上方，且B在D的右侧，设弦AB,CD 的中点分别为M,N ①若弦AB,CD的斜率均存在，求四边形ACBD面积的最小值： ②判断直线MN是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 18.(17分)在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,△P4AC为等腰直角三角形，PA1PC, AC上BC,BC=2AC=4,M为AB的中点. B (1)求证：AC⊥PM: (2)求平面CPA与平面PAB所成角的余弦值： (3)在线段PB上是否存在点N使得平面CMN⊥平面PAB?若存在，求出PY的值，若不存胜，说明 PB 理由 917分》已知么B分别是双童线C:荐茶=0>06>0)的左、右顶点，点P5,小是双自线 C上的一点，直线PA,PB的斜率分别为k，无2，且kkAB=4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点(4,0)的直线：x=my+4,交C的左，右两支于D,E两点（异于A,B), (i)求m的取值范围： (ⅱ)设直线AD与直线BE交于点2，求证：点g在定直线上 2024-2025学年高二年级上学期适应性检测 数学试题参考答案 一、 选择题： 题号 1 3 4 5 6 7 9 10 11 答案 A D D B B C CD ABD AD 二、填空题： 12.-113.314.35+2√5 15.【解析】(1)直线1与直线x+3y+1=0平行，故设直线1为x+3y+C=0,(1分) x+y+2=0 联立方程组 (2分) 3x-2y+1=0' x=-1 解得 (=-1(3分) 直线：x+y+2=0和12：3x-2y+1=0的交点P(-1,-1) 又直线1过点P,则-1-3+C=0,解得C=4,(4分) 即直线1的方程为x+3y+4=0.(5分) (2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,(6分) (:x+y+2=0的斜率为-1，故直线CP的斜率为1，(7分) (-1-a)2+(-1-b)2=r2 由题意可得 1-a)2+(0-b)2=r2,(9分) b+1=1 a+1 a=6 解得b=- 1分) 2= 5 1 故所求圆的方程为 ++- .(12分) 1 化为极式4+付+号 =0.(13分) 3 3 16.【小问1详解】 设“甲答对每题的概率”为事件A,“乙答对每题的概率”为事件B, 已知P(A)=号，P(B)=p, 则乙连续2次答错的概率P=(1-p), 由怒意得Q-pP=名解得p 或5 4 (舍去) ,乙答对题的概率为 4 【小问2详解】 事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件. 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为2× -) =32 乙只省对一次甲2次金部答对的属率为2×子付-员 9.33 故两人共答对3次的概率为 2+328 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为 8 17【小问1详解】 依题意有c=1,a=2,解得b2=a2-c2=3, 所以椭圆的方程为 y2 -+ =1: 43 【小问2详解】 ①设lax=my+l(m≠0)，A(,y),B(名，)，则o:x=-1y+1(m≠0， -6m 章x112（3Bm㎡+4y+6mw-9=0,4=14m+144>0,X+%3m+ 联立 为+名=m(+乃)+2=，8 3m2+4 {0学 由弦长公式可得：A例=+m,-y小12m 3m2+4 2 同理可得：【 CD=12m2+1 4m2+3 FE生大- ；,重动公.8E ,料年增的料点件7安克派的甲·新 5=三-小）0 与一1石：9 ·人洲@少5 所以5 CN-=4BlcD=72Bam+46+4m可 (m2+12 t:到 产必卫 5一72 入百水5 S= }72 288 1m>,则++299 当m2=1S的最小值是288 = 成地的》人2。一态与 49 ②：%+⅓3n44+名=m+)+2=8 -6m 3m2+4 鸟得的指，，，饮爸力 4m2 3m 3+4m2’3+4m2 ·湿的的巴效艾八拍 式草物大t这共人利衣团*人两中 A 大家 =:上球8==与意为 武动写筋酒 不有5时 当、4 4m2 34产3甲m时=过点K号0 天热代女)4=：1野 当、44m2 r=出的 342子即m1时水0 4m2-1 ho :y+3m 7m =（道+rP, +E 红小一中可v=可公为费 + 源进蛋能装生 药→0 当y=0时，x=7, 经验证直线MN过点K 综上，直线MN恒过点K 18.【解析】(1)若D为AC中点，连接MD、PD,文M为AB的中点MD/BC,(1分) - 入1梦11门0叶t岩=#27夏 A 48新 由AC⊥BC,则MD⊥AC,(2分) 1-+:《” 又△PAC为等腰直角三角形， PA⊥PC,有PD⊥AC,(3分) 由MD∩PD=D,则AC⊥面PMD,(4分) :PMc面PMD,.AC⊥PM.(5分) (2)由(1)可构建以D为原点，DA,DM,DP为x、八、z轴正方向的空间直角坐标系， .A,0,0),B(-1,4,0),C(-1,0,0),P(0,0,1),(6分) 52-,生0习 。·行=飞：记。式好对是阴 (02)，卡-一1r7￥简灰写行 分（心幸齿字：说”）数四·以苹年=”十平 则CP=L,0,1),AP=(-1,0,),BP=1,-4,1),(7分) 若n=(x,y,z)为面PAB的一个法向量， AP.=-x+z=0 出一)，-，}5华公 则 BP.=x-4y+z=0 令z=1,即月=吃0,8分 若乃=(3，乃，)为面PAC的一个法向量， AP.i=-x+名，=0 C厘.元=x+名=0 令y=1,即%=(0,1,0)，(9分) 3 (10分) 1++1 4 (3)若存在N使得平面CNM⊥平面PAB,且=元，0≤1≤1， PB 4 则N(-2,42,1-2),M(0,2,0),(12分) C=1-元，42,1-2)，CM=0,2,0),(13分) 若m=(a,b,c)是面CNM的-个法向量， CN.m=1-2)a+4h+1-2)c= 0,令b=1,则m=(-2,12-63,(14分) CM.m=a+2b=0 1- .mn=-2+ 12-62=0,(15分) 21-2 可得元=号16分) 六存在N使得平面CMM⊥平面P4B,此时P以=。.（17分) PB 9 19.【解析】(1)由题意可知A(-a,0),B(a,0),因为|AB=2a=4,所以a=2.(1分) 因为P22,m,飞k=，” n nn =4,(2分)得n2=16, 2W2+22W2-2(2√2)2-44 又因为P22,m在双曲线上，则222-名=1,3分) 所以b2=16.(4分) 所以双曲线C的方程为兰上=1.(（5分) 416 (2)(i)由题意知直线1的方程为x=y+4,D(x,片)，E(22) -=1 联立416，(6分) x=y+4 化简得(4m2-1)y2+32my+48=0,(7分) 5 因为直线1与双曲线左右两支相交，所以yy2>0,(8分) 4m2-1≠0 即m满足： (32m)2-192(4m2-1)>0,(10分) 48 yy2=4m2-1 >0 1 所以m<或m>(1分) -32m 48 (i)片+为= 4m2-1 44m一'(12分) 直线4D的方程为y=”2(c-2),直线BE的方程为y=上2G-2).(13分) x-2 x2-2 联立直线AD与BB的方程，得1，+2）=片2x-2),（14分) +2 2-2 所以 kx=- %+2 ,所以(62-2y)x=4y2+4y+12y2,(15分) my2+2%+6 +6my2+2 所以x= 2myy+2y+6y=2m2+2(+)+4y 3y2-片 -y+y2)+4y2 48 -32m 32m 2m· +2 4m2-1 4m2-1 +4y2 4m2-1 +4y2 -=1. -32m 32m 4m2-1 +4y2 m1+4y 所以点2的横坐标始终为1，故点2在定直线x=1上，(17分) 6