第二十二章二次函数培优练习 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章二次函数培优练习人教版2024—2025学年九年级上册 一、本章知识结构图 1、二次函数的三种形式： （1）一般式：（，为常数.特别地，当时，抛物线关于轴对称；当时抛物线过原点.反之亦然）. （2）顶点式：[，为常数，对称轴为，顶点坐标（，）]. （3）交点式：[，（，）和（，）是抛物线与轴的两个交点]. 2、二次函数的的性质： （1）开口：，抛物线开口向上，并向上无限延伸；，抛物线开口向下，并向下无限延伸. 开口大小由决定，越大，开口越小；越小，开口越大. （2）对称轴：. （3）顶点坐标：（，）. （4）增减性：以对称轴为界线，左右两部分增减性不相同，可沿轴正方向看图像的升降. （5）最值： ①时，当时，；②时，当时，. （6）抛物线与轴的位置关系： ①，抛物线与轴无交点； ②，抛物线与轴只有一个交点，交点坐标为（，）； ③，抛物线与轴有两个交点，交点坐标为（，）. （7）抛物线与轴两交点之间的距离： 若抛物线与轴两交点为A（，），B（，），由于，是关于的方程的两根，故：，. ∴ . （7）抛物线的平移：可以看作是顶点的平移，抛物线通过平移后二次项系数不变，平移后的解析式可以写出来，即上加下减，左加右减. 二、典例精析 例1：下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y D．y1 变式1：若函数是关于x的二次函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1或3 C．3 D．﹣1± 例2：二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 变式1：在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 例3：已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（　　） A．3 B．4 C．6 D．7 变式1：已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（　　） A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2 变式2：已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（　　） A．﹣4≤a B．﹣4≤a C．a＜0 D．a＜0 变式3：抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图，其对称轴是x＝﹣1，若y≥3，则x的取值范围是　 　． 变式4：已知抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1（m是常数），直角坐标系内存在A（1，1）和B（3，1）两点，若该抛物线与线段AB只有一个公共点，则m的取值范围是　 　 ． 例4：已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1 变式1：若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（　　） A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4） 变式2：在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5 例5：若函数y，则当函数y＝15时，自变量x的值是（　　） A．±3 B．5 C．±3或5 D．5或﹣3 变式1：已知函数y，若y＝2，则x＝　 　． 例6：抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3 C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1 变式1：用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　． 变式2：设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数． （1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝　 　； （2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　 　． 例7：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象全部在x轴的上方，那下列判断中正确的是（　　） A．a＞0，b＜0，b2﹣4ac＜0 B．a＞0，b＞0，b2﹣4ac＞0 C．a＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0 变式1：将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图．当直 线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　） A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3 例8：已知抛物线yx2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线yx2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是 　 　． 变式1：已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　． 变式2：已知等腰直角△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 例9：定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　） A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1 变式1：设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1 恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论： ①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”； ②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”； ③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”； ④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”． 其中，正确的有（　　） A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 变式2：定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m] 的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　 　． 例10：抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 变式1：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m）．正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1图 变式2图 变式2：如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论： ①a+b+c＝0； ②a﹣2b+c＜0； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1； ④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3； ⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3：如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论中：①0；②2b﹣4ac＝1；③a；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3图 变式4图 变式4：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，点P在x轴正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　） A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0 变式5：已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式6：已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论： ①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a； ②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2． 其中正确的是 　 　（填写序号）． 例11：如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BOC的面积． 例12：如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 例13：已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解． 例14：在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于A（6，0），B（0，﹣6）两点． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式． （2）若二次函数y＝x2﹣2ax+n图象的顶点在直线AB上， ①设a＝﹣2，当﹣3≤x≤3时，求y的取值范围； ②二次函数y＝x2﹣2ax+n与x轴正半轴始终有交点，求a的取值范围． 三、达标作业 1．若抛物线y＝x2+x+m﹣1（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m C．1＜m D．1≤m 2．已知点A （x1，y1），B （x2，y2）在二次函数y＝a（x+m+n）（x+m﹣n）的图象上，若|x1+m|＞|x2+m|，则（　　） A．当a＞0，ymin≥0 B．当a＜0，ymin≤0 C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y2﹣y1）＞0 3．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+6x（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣5，最大值为4，则m的取值范围是（　　） A．1≤m≤3 B．3≤m≤5 C．3≤m≤6 D．m≥3 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，4）、C（4，4）、D（4，1），若抛物线y＝（x+2）2向下平移m个单位长度（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　） A．5 B．6 C．35 D．36 第4题图 第7图 5．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　） A．3≤t＜19 B．2≤t≤15 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 6．在平面直角坐标系中，无论m取何值，抛物线y＝x2+（m+3）x+m+5恒过定点P，若定点P关于原点中心对称的点Q也在抛物线上，则抛物线的顶点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位 于第 象限. 10．如图，正方形OABC的一个顶点与原点O重合，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线yx2的图象上，则OA的长为　 　． 第10题图 第11题图 第12题图 11．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 　 　． 12．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　 　． 13．如图，抛物线L：y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，3），C（5，3）三点，该抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线L的表达式和点D的坐标； （2）抛物线L'与抛物线L关于直线BC对称，P是抛物线L的B、M段上的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线L′与点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形PQNM为正方形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，请直接写出点D的坐标； （3）若点E（m，n）为抛物线上的一个动点，将点E绕原点O旋转180°得到点F． ①当点F落在该抛物线上时，求m的值； ②当点F落在第二象限内且AF取得最小值时，求m的值． 15．定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“N”函数． （1）写出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值； （3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$