第一章 5 三角函数的应用-【中考123】2024-2025学年九年级下册数学全程导练（北师大版）

第一章 5三角函数的应用 。过基础知识要点分类练 。过能力「规律方法综合练 知识点1仰角与俯角的应用 4.如图，某市进行城区规划，工程师需测某楼AB 1.如图，小颖利用有一个锐角 的高度.工程师在D处用高2m的测角仪CD, 为30°的三角板测量一棵树 30 测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼的正方 的高度.已知她与树之间的 向前进30m到达E处，又测得楼顶端A的仰 水平距离BE为5m,AB为 角为60°，则楼AB的高为 () 1题图 1.5m(即小颖的眼睛距地面 A.(203+2)m 的距离)，则这棵树的高度为 B.(153+2)m 2.如图，某校将自己的办学理念做成宣传牌AB, C30°F以60 C.(103+2)m E B 放置在教学楼的顶部.小明在操场上的C处， 4题图 测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教 D.(53+2)m 学楼的正方向走了5m到达E处，又从E处测 5.南沙群岛是我国的固有领土.现在一名南海渔 得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼 民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业.如图， 高BM=17m,且点A,B,M在同一直线上，求 当渔船航行至海面B处时，测得该岛位于正 宣传牌AB的高度.（结果精确到0.1m,参考 北方向20(1+√3)海里的C处.为了防止某国 数据：√3≈1.73，sin37°≈0.60，c0s37°≈ 海岸警卫队干扰，就请求我国A处的渔监船前 0.80,tan37°≈0.75) 往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方 向上，A位于B处的北偏西30°的方向上，求 A,C之间的距离。 口 2题图 5题图 知识点2方位角的应用 3.如图，轮船从B处以每小 B 时50海里的速度沿南偏 75 30 东30°方向匀速航行.在 60 B处观测灯塔A位于南 偏东75°方向上，轮船航 3题图 行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于 北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离 是 海里。 见此图标组扑音/餐信扫码领取你的考场冲刺攻略！ 13 ⊙ 。中春123 @全程写练了数学·北师版·九年级下册 6.为了维护海洋权益，中国海警局加大了在南海 。过提升拓展探究创新练 的巡逻力度.一天，我国两艘海监船刚好在我 7.如图，在东西方向的海岸线1上有一长为1km 国某岛东西方向的海岸线上的A,B两处巡 的码头MN,在码头西端M的正西方向30km 逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处 处有一观察站O.某时刻测得一艘匀速直线航 海域.如图，已知AB=60(6+√2)海里，在 行的轮船位于0的北偏西30°方向，且与0相 B处测得C在北偏东45°的方向上，在A处 距203km的A处；经过40min,又测得该轮 测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 船位于0的正北方向，且与0相距20km的 上有一灯塔D,测得AD=120(6-2) B处 海里 (1)求该轮船航行的速度； (1)分别求出A与C及B与C之间的距离； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮 (结果保留根号) 船能否正好行至码头MN靠岸？请说明 (2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗 理由。 礁群，我国在A处的海监船沿AC前往C (参考数据：w2≈1.414，√3≈1.732) 处盘查，途中有无触礁的危险？ 北 (参考数据：w2=1.41,5=1.73,6≈2.45) 北 东 N+东 309 7题图 D 6题图 ⊙14 见此图标组并音/微信扫码领取你的考场冲刺攻路！5三角函数的应用 7.解：(1)如答图，过点A作AC⊥OB于点C. 1.(105+9)m 由题意，得0A=205km,0B=20km, 6 2.解：设AB=xm,则AM=(x+17)m L40c=30,AC=20M=105(km). 在Rt△AEM中，∠AEM=45°， ,∴.EM=AM=(x+17)m. 在Rt△A0C中，OC=0A·cos∠AOC=30(km). 在Rt△BCM中，∠BCM=37°，BM=17m, ∴.BC=0C-0B=30-20=10(km) .'tan L BCM=BM CM 在R△ABC中，AB=√AC2+BC=20(km), CE =5 m,..CM=CE+EM=(x+22)m, 17 心x+220.75,解得x=0.7 轮船航行的速度为20+8=30()。 (2)如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN .宣传牌AB的高度约为0.7m. 3.25 靠岸.理由如下： 4.B 如答图，延长AB交直线1于点D, 5.解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D. 由题意，得∠OAB=∠A0C=30°， 由题意，得∠CAD=45°，∠ABD=30° 设CD=x海里，在Rt△ACD中， ,∠OBD=∠OAB+∠AOC=60° 可得AD=x海里，AC=反x海里. 在Rt△BOD中， 在RL△ABD中，可得BD=√3x海里. 0D=OB·anL0BD=20·an60 又.BC=20(1+3)海里，CD+BD=BC =205=34.64(km). 即x+5x=20(1+3),解得x=20, .:0N=30+1=31(km),34.64>31, .AC=2x=202(海里). ∴.OD>OW, A,C之间的距离为202海里. ∴，该轮船不改变航向继续航行，不能正好行至码头 北 MN靠岸. B 0 5题答图 6.解：(1)如答图，过点C作CE⊥AB于点E, 7题答图 由题意可得∠CBD=45°，∠CAD=60° 6利用三角函数测高 设CE=x海里， 1.203m 在RL△CBE中，BE=CE=x海里. 2.解：在R△ACD中， 在△CE中，A=m-停（海里）， tACD AB=60(6+2)海里，BE+AE=AB, +停=60后+2)，解得=606 六A初=DCtm∠ACD=9·tm30=9×5=35(m. 则4C=2 3x=1202(海里)， 3 在△BCD，中w8CD-肥 BC=2x=120√5（海里）. ∴.BD=DC·tn∠BCD=9·tan45o=9x1=9(m), (2)如答图，过点D作DF⊥AC于点F ∴，AB=AD+BD=(33+9)m. 在Rt△ADF中， DF=AD·sin60°=180√2-606=106.8（海里） .旗杆的高度为(35+9)m. ,106.8>100. 3.137m4.(1003-100)m ∴.海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险， 5.A6.B7.D 8.(85-5.5)m 解析：过点B作BE⊥CA于点E,过点D作DH⊥CA于，点H, 把AB和CD整理成直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定 理求出AE,BE,DH的长，然后利用俯角的正切值，可求得CH 6题答图 的长度，则AC=CH-AE-BG. ·5