大题突破06 与几何图形有关的10种大题专练-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点复习指南（人教版2024）

2024-2025七年级数学上学期期末考点复习指南（人教版2024） 大题突破06 与几何图形有关的10种大题专练 一．展开图折叠成几何体 1．（2023秋•兴化市期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图： （1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子； （2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为，求这个长方体盒子的体积． 【解析】（1）如图所示， （2）设长方体的高为，则宽为，长为， 根据题意得，， 解得：， 这个长方体的高为，宽为，长为， 这个长方体盒子的体积为：． 2．（2023秋•高州市期末）综合与实践： 主题：制作一个无盖长方形盒子． 步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形．步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高，底面积、容积分别为 　　、　　、　　（请你用含，的代数式来表示）． 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出和分别是多少？ 剪去正方形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积 324 512 500 384 252 128 36 0 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？ 【解析】（1）如果原正方形纸片的边长为 ，剪去的正方形的边长为 ，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 ； 故答案为：，，； （2）当，时，，即； 当，时，，即； （3）由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； 由表中数据可知，当时，容积最大为． 3．（2023秋•博山区期末）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形．并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与说明：直接写出纸板上与纸盒上的大小关系，并说明理由． 【解析】；理由如下： 为正方形对角线， ， 设每个方格的边长为1， 则， ， ， 由勾股定理的逆定理得△是等腰直角三角形， ， ． 二．正方体相对两个面上的文字 4．（2023秋•酒泉期末）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，求的值． 【解析】“”所在面与“3”所在面相对，“”所在面与“”所在面相对，“”所在面与“8”所在面相对， 则，，， 解得：，，． 故． 5．（2023秋•长治期末）问题情景：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 　　图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是 　　． （3）如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 【解析】（1）无盖正方体有五个面， 和不符合题意， 的组合不能折叠成立方体， 不符合题意； 故选：； （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是小， 故答案为：小； （3）①如图： ② ． 6．（2023秋•临渭区期末）如图是一个长方体的展开图，将展开图折叠成一个长方体后，相对面上的数字之和相等，求的值． 【解析】由图可知，3和是相对面，与0是相对面，与是相对面， 所以， 解得：，， 所以． 7．（2023秋•石泉县期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，若将图中的展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为2，求，，的值． 【解析】由图和题意，可知：，，， 解得：，，． 三．简单组合体的三视图 8．（2023秋•贵阳期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 　　个小正方体． 【解析】（1）如图所示： （2）如图所示： 在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加4个小正方体． 故答案为：4． 9．（2023秋•白云区期末）如图，是由9个完全一样的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面所看到的几何体的形状图． 【解析】即为所求，如图所示， 10．（2023秋•南山区校级期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 　　个小正方体． 【解析】（1）几何体从正面、左面和上面看到的形状图如下： ； （2）如图所示： ； 在这个几何体上再添加如图所示的小正方体个数从左面和从上面看到的形状图不变，那最多可以再添加（个． 故答案为：4． 11．（2023秋•惠东县期末）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）填空：这个几何体由 　　个小正方体组成； （2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图； （3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加 　　个小正方体． 【解析】（1）由图可得：这个几何体由6个小正方体组成， 故答案为：6； （2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示： ； （3）根据题意得： 保持主视图和左视图不变，在第一层第二列第一行和第三行各加一个，第一层第三列第一行和第三行各加一个， （个， 最多还可以添加4个小正方体， 故答案为：4． 四．线段的性质：两点之间线段最短 12．（2023秋•榆中县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题； 情景二：、是河流两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点的位置，并说明你的理由． 【解析】情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，根据两点之间线段最短可知可少走几步路． 情景二：如图，抽水站修在点处能使所需管道最短． 理由：两点之间的所有连线中，线段最短． 13．（2023秋•隆回县期末）如图1数轴上、两点表示的有理数分别为，则、两点间的距离． 研讨1：某高铁线路上有、两站，现要在段上选址物流中心，使最短，选在哪？ 甲的探究：由绝对值的几何意义，应选在、之间时，才最短． 研讨2：如图2高铁线路上有、、三站，如何选址物流中心．使最短？ 乙的探究：物流中心应选在站，才最短． 研讨3：如图3高铁线路上有、、、四站，选在哪，才使得最短？ 丙的探究：应选在、之间，最短． 根据以上探究结论求的最小值． 【解析】由题意得：可以看成是到个点的距离之和． 在多个绝对值相加时，要想和为最小值，是最中间一项为0， 最中间一项是， ，即， 当时， ． 故的最小值为2550． 14．（2023秋•商河县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所 在的直线，这里用到的数学知识是 　　． 你赞同以上哪种做法？　　（填情境一或情境二） 【解析】情境一：因为两点之间线段最短． 情境二：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 赞同情境二， 故答案为：情境二． 五．两点间的距离 15．（2023秋•东莞市校级期末）如图，线段，是线段上一点，，是的中点，是的中点． （1）求线段的长； （2）求线段的长． 【解析】（1）是的中点，， ， ，， ． （2）是的中点，， ， ，， ． 16．（2023秋•耿马县期末）如图，点是线段上一点，且，． （1）求线段的长． （2）若点是线段的中点，求线段的长． 【解析】（1）． 又，， ； （2）是的中点， ， ． 17．（2023秋•定陶区期末）已知：如图线段，是的中点，在，是的中点，，求的长． 【解析】为的中点，且厘米， （厘米）， 是的中点， （厘米）， （厘米）． 18．（2023秋•章贡区期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）求线段的长； （2）若在线段上有一点，，求的长． 【解析】（1），是的中点， ， 是的中点， ， ； （2），， ， 当在的左边时，； 当在的右边时，． 的长为3或5． 19．（2023秋•船营区校级期末）如图所示，为线段上任意一点，为的中点，，．（1）图中共有 　　条线段； （2）求的长； （3）若点在直线上，且，则的长为 　　． 【解析】（1）图中共有线段6条，分别是、、、、、，共6条线段； 故答案为：6； （2），， ， 为的中点， ； （3），， ， 当点在点左侧时，； 当点在点右侧时，； 综上所述，的长为或． 故答案为：11或13． 20．（2023秋•平南县期末）如图，，为线段上的两点，，分别是线段，的中点，若，，求的长． 【解析】，， ， 又，分别是线段，的中点， ，， ， ， 答：的长为． 21．（2023秋•新城区校级期末）如图所示，线段，点为线段的中点，点在线段上，且，求线段的长． 【解析】，为的中点， ， ， ， ． 22．（2023秋•门头沟区期末）将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，点在线段上，，点，分别是线段，的中点，． 求：线段的长． 解：因为点是线段的中点，， 所以　　． 又因为，　　， 所以． 所以　　． 所以　　． 又因为点是线段的中点，所以　　，　　． 【解析】因为点是线段的中点，， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 又因为点是线段的中点，所以， 故答案为：10；；2；8；；4． 23．（2023秋•五峰县期末）如图，点是线段上一点，且，． （1）求线段的长 （2）如果点是线段的中点，求线段的长． 【解析】（1）由线段的和差，得 ； （2）由点是线段的中点，得， 由线段的和差，得 ． 24．（2023秋•船营区校级期末）如图，为线段上一点，为线段的中点，且，． （1）图中共有 　　条线段； （2）求线段的长． 【解析】（1）图中有线段、、、、和，共6条， 故答案为：6； （2）点是线段的中点， ， ， ， ， ． 25．（2023秋•兰州期末）（1）如图，点是线段的中点．若点在线段上，且，，求线段的长度； （2）若将（1）中的“点在线段上”改为“点在直线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段的长度； （3）若线段，点在线段上，点，分别是线段，的中点． ①当点恰好是的中点时，　　； ②当时，　　； ③当点在线段上运动时（点不与点，重合），求线段的长度． 【解析】（1），， ， 点为的中点， ， ． 故答案为：1.5． （2）①点在线段上，则， ②点在的延长线上： ， 则． ， ； 答：此时线段 的长度为 1.5 或5 ； （3）①设，则 因为点，分别为线段，的中点， 所以，，所以． 答：线段 的长度为6 ． ②设，则 因为点，分别为线段，的中点， 所以，， ， ③设，则， 又、分别为、中点， ，， ． 26．（2023秋•陵川县期末）在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点，再向左平移4个单位长度到达点，最后向右平移10个单位长度到达点． （1）分别写出点，，表示的数． （2）若点在线段上运动，当时，求出点表示的数． （3）若点从点出发，在线段的延长线上运动，是的中点，是的中点，试说明是一个定值． 【解析】（1）点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为4． （2）可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 27．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点在线段上，点，分别是，的中点． （1）　　；　　； （2）若，，求线段的长度； （3）若线段，某同学很轻松地求得．他在反思过程中突发奇想：若点在线段的延长线上，原有的结论“”是否仍然成立呢？请同学们帮他画出图形分析，并说明理由． 【解析】（1）点、分别是、的中点 ；； 故答案为：2，2． （2）点、分别是、的中点，，， ；， ． （3）仍然成立， 如图： 理由：点、分别是、的中点， ；， ． 28．（2023秋•大洼区校级期末）如图，点在线段上，，． （1）　　；　　． （2）若点、在过线上，点在点的左侧，线段在线段上移动，． ①如图1，当为中点时，求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，画出图形，求的长． 【解析】（1），， ，； （2）如图1， 为中点， ， ， ， ； ②Ⅰ、当点在点的左侧，如图2， ，， 点是的中点， ， ， ； ，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点在点的右侧， ，， ， ， ． ，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：的长为3或5． 29．（2023秋•禹州市期末）如图，，，，四点在同一条直线上，根据图形填空和解答． （1）图中共有线段 　　条； （2）　　； （3）若是的中点，，，求线段的长． 【解析】（1）图中有线段，，，，，，共6条； 故答案为：6； （2）； 故答案为：； （3）是的中点，且， ， 设，则有，则有， ，即， ， 解得：， ． 30．（2023秋•鄄城县期末）如图，为线段上一点，点为的中点且，． （1）求的长． （2）若点在直线上，且，求的长． 【解析】（1）点为的中点，， ， ， ； （2）若在线段的延长线，如图1， ，， ， ， ， 若线段上，如图2， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 31．（2023秋•湘潭县期末）如图，，为的中点，点在线段上，且． （1）求线段的长度； （2）求线段的长度． 【解析】（1），为的中点， ． （2），为的中点， ， ， ， ， ． 32．（2023秋•长治期末）阅读下列材料，完成后面任务： 数学课上，老师给出了如下问题：已知点，，均在直线上，，，是的中点，求的长． 小明的解答过程如下： 如图2，，， ． 又是的中点， ． 小芳说：“小明的解答不完整．” 任务： （1）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由． （2）我们发现角的很多规律和线段一样，已知，，平分，请直接写出的度数． 【解析】（1）同意小芳的说法，小明的解答过程补充如下， 当点在点右侧时，如图， ，， ， 是的中点， ， 的长为4或8； （2）①当在内部时，如图， ，， ， 平分， ； ②当在外部时，如图， ，， ， 平分， ． 综上，的度数为或． 33．（2023秋•信阳期末）已知，如图，，两点把线段分成三部分，为的中点，，求和的长． 【解析】设，，， 所以． 因为是的中点 所以． 因为 ， 所以， 故， ． 六．比较线段的长短 34．（2023秋•城关区校级期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． （1）请用圆规在图中确定点的位置； （2）比较线段的大小：　　（填“”、“ ”或“” ； （3）若，，求的长． 【解析】（1）如图所示，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求， （2）， ， ； 故答案为； （3），， ， ， ， 故答案为：18． 35．（2023秋•于都县期末）已知：为线段的中点，在线段上，且，，求：线段的长度． 【解析】， 是的中点 ． 七．线段的和差 36．（2023秋•平潭县校级期末）补全解题过程 （1）已知：如图1，点是线段的中点，，，求的长； 解：因为，， 所以　　　　． 因为点是线段的中点， 所以　　　　． 所以　　　　． （2）如图2，两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数． 解：因为　　，　　，① 所以　　．② 因为， 所以　　． 在上面①到②的推导过程中，理由依据是：　　． 【解析】（1）因为，， 所以． 因为点是线段的中点， 所以． 所以． 故答案为：，10，，10，，12． （2）因为，，① 所以，② 因为， 所以． 在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等． 故答案为：90，90，，40，同角的余角相等． 37．（2023秋•七星关区期末）如图，是线段上一点，点是的中点，且，． （1）求的长； （2）若点在直线上，且，求的长． 【解析】（1）点是的中点， ， ， 又， ， （2）点是的中点，， ， 当点在点左边时， ，，， ， 当点在点右边时， ，，， ， 综上，或3． 八．角平分线的定义 38．（2023秋•永宁县期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【解析】，平分 又 平分 39．（2023秋•新干县期末）如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，，那么是多少度？ （2）若，，那么是多少度？ 【解析】（1）是的平分线， ， 是的平分线， ， ； （2）是的平分线， ， ， 是的平分线， ． 40．（2023秋•大观区校级期末）已知如图，平分，平分． （1）如果，，那么是多少度？ （2）如果，，那么是多少度？ （3）通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？ 【解析】（1）平分， ， 平分， ， ， ； （2）平分， ， 平分， ， ， ； （3）通过第（1）、（2）的计算，发现． 41．（2023秋•南郑区期末）如图，，为的平分线，若，求的度数． 【解析】，， ， ， 为的平分线， ， ． 42．（2023秋•昭通期末）如图，是的平分线，是的平分线，． （1）求的度数是多少？ （2）如果，求的度数． 【解析】（1）是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）是的平分线，， ， ， ， 是的平分线， ． 九．角的计算 43．（2023秋•灵武市期末）如图，，，平分，求的度数． 【解析】，， ， 平分， ， ． 44．（2023秋•泗水县期末）已知：如图，，过点作射线，若平分，平分，． （1）如图1，补全图形，直接写出　　； （2）如图2，若，求的值． 【解析】（1）如图 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为：60； （2）平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 解得：． 45．（2023秋•湘潭县期末）如图，平分，，已知，求的度数． 【解析】设，则． ． 平分， ． ． ， ． ． 46．（2023秋•郑州期末）我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常重要的作用，请根据所学知识进行下列探究： 已知，，，，分别平分和． （1）如图①，，在同一直线上，则 　　； （2）如图②，在内部，且，则 　　； （3）若将（2）中改为，其他条件不变，请求出的度数． 【解析】（1），分别平分和， ， ， ； 故答案为：； （2）当在内部， ，， 由（1）知，， ； 故答案为：； （3）设，， 当在右侧时，如图②， ， 解得， ； 当在左侧时，如图③， ， 解得， ； 综上所述，的度数为． 47．（2023秋•兰州期末）如图，直线经过点，平分，平分，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【解析】（1）， ． 平分， ， 答：的度数是； （2）， ， 平分， ， ． 48．（2023秋•南郑区期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线 　　这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是” 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为 　　； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可） 【解析】（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足量尺金线的定义， 所以一个角的平分线是这个角的量尺金线； 故答案为：是； （2），射线是的量尺金线，根据量尺金线的定义分三种情况讨论： 当时， ， ； 当时， ； 当时， ， ； 故答案为：20或30或40； （3）射线是的量尺金线， 在的内部， 在的内部； 分三种情况： （Ⅰ）如图，当时，如图所示： ， ； （Ⅱ）如图，当时，如图所示： ， ； （Ⅲ）当时，如图所示： ， ， ； 综上：当为30或40或60时，射线是的量尺金线． 十．余角和补角 49．（2023秋•叙州区期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，平分． （1）当时，求的度数； （2）若与互补，求的度数． 【解析】（1）， ． 平分， ， ， ． （2）解法，， ， ， ， ． 解法，，， ． 50．（2023秋•应城市期末）如图，将一副直角三角尺的直角顶点重合，若，则　　． 【解析】， ， ． 故答案为：． 51．（2023秋•弥勒市期末）如图，点、、在同一直线上，，平分，平分，． （1）求的度数； （2）判断与是否互余，并说明理由． 【解析】（1）平分，， ， ， ， ； （2）与互余，理由： 由（1）知，， ， 平分， ， ， ， 由（1）知， ， 与互余． 52．（2023秋•顺庆区校级期末）如图，已知点为直线上一点，，，平分． （1）求的度数； （2）若与互余，求的度数． 【解析】（1），， ， ， ，， 平分， ， ； （2）与互余， ， ， 平分， ， ． 53．（2023秋•泗水县期末）已知：点为直线上一点，过点作射线，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点作射线，使，作的平分线，求和的度数； （3）在（2）的条件下，请过点作射线，使与互余，并求出的度数． 【解析】（1）； （2）由（1）得， ， ， 是的平分线， ， ； （3）由（2）得， 与互余， ， ， ①当射线在内部时， ； ②当射线在外部时， ． 综上所述，的度数为或． 54．（2023秋•交口县期末）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，直角三角板可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方． （1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则　　； （2）将直角三角板绕点转动后，使其一边在的内部，如图2所示， ①若恰好平分，求此时的度数； ②若，求此时的度数； （3）直角三角板在绕点转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由． 【解析】（1）， ， ， ， 故答案为：； （2）①， ， 恰好平分， ， ； ②如图，当在的内部时， ，， ． ，， ． ， ， ； （3）当在内部时，如图所示， ，， ． 当在外部时，如图所示， ，， ； 综合上述，则． 55．（2023秋•船营区校级期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 （1）若，则　　；若，则　　； 【猜想与证明】 （2）猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若，求的度数． 【解析】（1）①，， ， ， ； ②，， ， ． 故答案为：，； （2）猜想得：（或与互补）． 理由：，， ， ， ． （3），， ， 解得． 56．（2023秋•清丰县校级期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点处．（注 （1）如果将三角板的一边放在射线上，那么的度数为 　　； （2）如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分，求的度数； （3）如图3，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系． 【解析】（1）， 故答案为：； （2）平分，， ， ， ； （3）或， 理由如下： 当始终在的内部时， 有，， ， 或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025七年级数学上学期期末考点复习指南（人教版2024） 大题突破06 与几何图形有关的10种大题专练 一．展开图折叠成几何体 1．（2023秋•兴化市期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图： （1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子； （2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为，求这个长方体盒子的体积． 2．（2023秋•高州市期末）综合与实践： 主题：制作一个无盖长方形盒子． 步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形．步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高，底面积、容积分别为 　　、　　、　　（请你用含，的代数式来表示）． 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出和分别是多少？ 剪去正方形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积 324 512 500 384 252 128 36 0 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？ 3．（2023秋•博山区期末）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形．并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与说明：直接写出纸板上与纸盒上的大小关系，并说明理由． 2． 正方体相对两个面上的文字 4．（2023秋•酒泉期末）如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，求的值． 5．（2023秋•长治期末）问题情景：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 　　图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是 　　． （3）如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 6．（2023秋•临渭区期末）如图是一个长方体的展开图，将展开图折叠成一个长方体后，相对面上的数字之和相等，求的值． 7．（2023秋•石泉县期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，若将图中的展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为2，求，，的值． 3． 简单组合体的三视图 8．（2023秋•贵阳期末）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 　　个小正方体． 9．（2023秋•白云区期末）如图，是由9个完全一样的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面所看到的几何体的形状图． 10．（2023秋•南山区校级期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 　　个小正方体． 11．（2023秋•惠东县期末）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）填空：这个几何体由 　　个小正方体组成； （2）画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图； （3）在不改变此几何体从正面、左面观察所看到的形状图的情况下，最多还可以添加 　　个小正方体． 四．线段的性质：两点之间线段最短 12．（2023秋•榆中县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题； 情景二：、是河流两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点的位置，并说明你的理由． 13．（2023秋•隆回县期末）如图1数轴上、两点表示的有理数分别为，则、两点间的距离． 研讨1：某高铁线路上有、两站，现要在段上选址物流中心，使最短，选在哪？ 甲的探究：由绝对值的几何意义，应选在、之间时，才最短． 研讨2：如图2高铁线路上有、、三站，如何选址物流中心．使最短？ 乙的探究：物流中心应选在站，才最短． 研讨3：如图3高铁线路上有、、、四站，选在哪，才使得最短？ 丙的探究：应选在、之间，最短． 根据以上探究结论求的最小值． 14．（2023秋•商河县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所 在的直线，这里用到的数学知识是 　　． 你赞同以上哪种做法？　　（填情境一或情境二） 5． 两点间的距离 15．（2023秋•东莞市校级期末）如图，线段，是线段上一点，，是的中点，是的中点． （1）求线段的长； （2）求线段的长． 16．（2023秋•耿马县期末）如图，点是线段上一点，且，． （1）求线段的长． （2）若点是线段的中点，求线段的长． 17．（2023秋•定陶区期末）已知：如图线段，是的中点，在，是的中点，，求的长． 18．（2023秋•章贡区期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）求线段的长； （2）若在线段上有一点，，求的长． 19．（2023秋•船营区校级期末）如图所示，为线段上任意一点，为的中点，，．（1）图中共有 　　条线段； （2）求的长； （3）若点在直线上，且，则的长为 　　． 20．（2023秋•平南县期末）如图，，为线段上的两点，，分别是线段，的中点，若，，求的长． 21．（2023秋•新城区校级期末）如图所示，线段，点为线段的中点，点在线段上，且，求线段的长． 22．（2023秋•门头沟区期末）将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，点在线段上，，点，分别是线段，的中点，． 求：线段的长． 解：因为点是线段的中点，， 所以　　． 又因为，　　， 所以． 所以　　． 所以　　． 又因为点是线段的中点，所以　　，　　． 23．（2023秋•五峰县期末）如图，点是线段上一点，且，． （1）求线段的长 （2）如果点是线段的中点，求线段的长． 24．（2023秋•船营区校级期末）如图，为线段上一点，为线段的中点，且，． （1）图中共有 　　条线段； （2）求线段的长． 25．（2023秋•兰州期末）（1）如图，点是线段的中点．若点在线段上，且，，求线段的长度； （2）若将（1）中的“点在线段上”改为“点在直线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段的长度； （3）若线段，点在线段上，点，分别是线段，的中点． ①当点恰好是的中点时，　　； ②当时，　　； ③当点在线段上运动时（点不与点，重合），求线段的长度． 26．（2023秋•陵川县期末）在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点，再向左平移4个单位长度到达点，最后向右平移10个单位长度到达点． （1）分别写出点，，表示的数． （2）若点在线段上运动，当时，求出点表示的数． （3）若点从点出发，在线段的延长线上运动，是的中点，是的中点，试说明是一个定值． 27．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点在线段上，点，分别是，的中点． （1）　　；　　； （2）若，，求线段的长度； （3）若线段，某同学很轻松地求得．他在反思过程中突发奇想：若点在线段的延长线上，原有的结论“”是否仍然成立呢？请同学们帮他画出图形分析，并说明理由． 28．（2023秋•大洼区校级期末）如图，点在线段上，，． （1）　　；　　． （2）若点、在过线上，点在点的左侧，线段在线段上移动，． ①如图1，当为中点时，求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，画出图形，求的长． 29．（2023秋•禹州市期末）如图，，，，四点在同一条直线上，根据图形填空和解答． （1）图中共有线段 　　条； （2）　　； （3）若是的中点，，，求线段的长． 30．（2023秋•鄄城县期末）如图，为线段上一点，点为的中点且，． （1）求的长． （2）若点在直线上，且，求的长． 31．（2023秋•湘潭县期末）如图，，为的中点，点在线段上，且． （1）求线段的长度； （2）求线段的长度． 32．（2023秋•长治期末）阅读下列材料，完成后面任务： 数学课上，老师给出了如下问题：已知点，，均在直线上，，，是的中点，求的长． 小明的解答过程如下： 如图2，，， ． 又是的中点， ． 小芳说：“小明的解答不完整．” 任务： （1）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由． （2）我们发现角的很多规律和线段一样，已知，，平分，请直接写出的度数． 33．（2023秋•信阳期末）已知，如图，，两点把线段分成三部分，为的中点，，求和的长． 6． 比较线段的长短 34．（2023秋•城关区校级期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． （1）请用圆规在图中确定点的位置； （2）比较线段的大小：　　（填“”、“ ”或“” ； （3）若，，求的长． 35．（2023秋•于都县期末）已知：为线段的中点，在线段上，且，，求：线段的长度． 7． 线段的和差 36．（2023秋•平潭县校级期末）补全解题过程 （1）已知：如图1，点是线段的中点，，，求的长； 解：因为，， 所以　　　　． 因为点是线段的中点， 所以　　　　． 所以　　　　． （2）如图2，两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数． 解：因为　　，　　，① 所以　　．② 因为， 所以　　． 在上面①到②的推导过程中，理由依据是：　　． 37．（2023秋•七星关区期末）如图，是线段上一点，点是的中点，且，． （1）求的长； （2）若点在直线上，且，求的长． 8． 角平分线的定义 38．（2023秋•永宁县期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 39．（2023秋•新干县期末）如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，，那么是多少度？ （2）若，，那么是多少度？ 40．（2023秋•大观区校级期末）已知如图，平分，平分． （1）如果，，那么是多少度？ （2）如果，，那么是多少度？ （3）通过（1）、（2）的计算，你发现了什么？ 41．（2023秋•南郑区期末）如图，，为的平分线，若，求的度数． 42．（2023秋•昭通期末）如图，是的平分线，是的平分线，． （1）求的度数是多少？ （2）如果，求的度数． 9． 角的计算 43．（2023秋•灵武市期末）如图，，，平分，求的度数． 44．（2023秋•泗水县期末）已知：如图，，过点作射线，若平分，平分，． （1）如图1，补全图形，直接写出　　； （2）如图2，若，求的值． 45．（2023秋•湘潭县期末）如图，平分，，已知，求的度数． 46．（2023秋•郑州期末）我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常重要的作用，请根据所学知识进行下列探究： 已知，，，，分别平分和． （1）如图①，，在同一直线上，则 　　； （2）如图②，在内部，且，则 　　； （3）若将（2）中改为，其他条件不变，请求出的度数． 47．（2023秋•兰州期末）如图，直线经过点，平分，平分，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 48．（2023秋•南郑区期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线 　　这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是” 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为 　　； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可） 10． 余角和补角 49．（2023秋•叙州区期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，平分． （1）当时，求的度数； （2）若与互补，求的度数． 50．（2023秋•应城市期末）如图，将一副直角三角尺的直角顶点重合，若，则　　． 51．（2023秋•弥勒市期末）如图，点、、在同一直线上，，平分，平分，． （1）求的度数； （2）判断与是否互余，并说明理由． 52．（2023秋•顺庆区校级期末）如图，已知点为直线上一点，，，平分． （1）求的度数； （2）若与互余，求的度数． 53．（2023秋•泗水县期末）已知：点为直线上一点，过点作射线，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点作射线，使，作的平分线，求和的度数； （3）在（2）的条件下，请过点作射线，使与互余，并求出的度数． 54．（2023秋•交口县期末）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，直角三角板可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方． （1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则　　； （2）将直角三角板绕点转动后，使其一边在的内部，如图2所示， ①若恰好平分，求此时的度数； ②若，求此时的度数； （3）直角三角板在绕点转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由． 55．（2023秋•船营区校级期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 （1）若，则　　；若，则　　； 【猜想与证明】 （2）猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由． 【拓展与运用】 （3）若，求的度数． 56．（2023秋•清丰县校级期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点处．（注 （1）如果将三角板的一边放在射线上，那么的度数为 　　； （2）如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分，求的度数； （3）如图3，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$