1.4 解直角三角形——解直角三角形的应用形 导学案 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第4课 解直角三角形——解直角三角形的应用 基础练习 一、仰角与俯角 如图: (1)当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角,图中人眼看点A的仰角=30 ; (2)当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角,图中人眼看点B的俯角=70 ; (3)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的,不同位置的仰角和俯角是不同的,可巧记为“上仰下俯”. 1.如图,小方在五一假期期间到郊外放风筝,风筝飞到C处时的线长BC为20 m,此时小方正好站在A处,并测得仰角∠CBD=60 ,牵引线底端B离地面1.5 m,求此时风筝离地面的高度. 2.如图,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面A处放置高度为1.5 m的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32 ,已知AC为18 m,求旗杆CD的高度(结果精确到1 m,参考数据:sin 32 ≈0.5,tan 32 ≈0.6). 3.如图,小明在甲楼顶部观测乙楼,甲,乙两楼水平距离为120 m,小明观测乙楼顶部的仰角为60 ,底部的俯角为30 ,求乙楼的高度(结果取整数,参考数据:≈1.73). 4.如图,楼房BD的前方竖立着旗杆AC.小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45 ,在D处观察旗杆顶端C的俯角为30 ,楼高BD为20 m.求旗杆AC的高度. 强化练习 1.如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30 ,荷塘另一端点D与点C,B在同一直线上,已知楼房AC=32 m,CD=16 m,则荷塘的宽BD为( )m. 2.如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30 ,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60 ,那么塔高25m(结果保留根号). 3.(2023 河源模拟)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45 ,向前走20 m到达A′处,测得点D的仰角为67.5 ,已知测倾器AB的高度为1.6 m,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1 m,tan 67.5 =1+≈1.414)( A ) A.35.7 m B.35.74 m C.34.14 m D.34.1 m 4.如图,从热气球C上测得两建筑物A,B底部的俯角分别为29.5 和45 ,如果这时气球的高度CD为80 m,且点A,D,B在同一直线上,求建筑物A,B之间的距离(结果精确到1 m,参考数据:sin 29.5 ≈0.49,cos 29.5 ≈0.87,tan 29.5 ≈0.57). 5.【运算能力】如图,在电线杆CD上的C处拉两条等长的线CE,CF以固定电线杆,拉线CE和地面所成角度为 ,在离电线杆6 m的B处安置高度为1.5 m的测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为 ,求拉线CE的长(结果保留根号,参考数据:sin =,tan =2,cos =,tan =). 解直角三角形的应用 一、方位角 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90 的角叫做方位角.如图: (1)点A在点O的北偏东60 方向上; (2)点B在点O的南偏东45 (或东南)方向上; (3)点C在点O的南偏西30 方向上. 1.如图,一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40 n mile的C处,沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60 方向上的B处,则该船行驶的路程为( D ) A.80 n mile B.120 n mile C.(40+40)n mile D.(40+40)n mile 2.如图,在一笔直的海岸线l上有相距 2 km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60 的方向上,从B站测得船C在北偏东30 的方向上,则船C到海岸线l的距离为km. 解决有关方位角的问题时,通常过固定目标点作垂线构造直角三角形. 二、坡度与坡角 坡度不是一个度数而是一个比值,不要与坡角混淆. 1.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把坡角由37 减至30 ,已知原楼梯AB长5 m,求调整后的楼梯BC会加长多少米?(参考数据:sin 37 ≈,cos 37 ≈,tan 37 ≈) 2.如图,大坝的横断面为梯形ABCD,斜坡AB的坡度i=1∶2,背水坡CD的坡度i=1∶1.若坡面CD的长度为6 m,求斜坡AB的长. 强化练习 1.如图,在山坡上植树,要求两棵树间的坡面距离是3,测得斜坡的倾斜角为27 ,则斜坡上相邻两棵树的水平距离是( B ) A.3sin 27 B.3cos 27 C. D.3tan 27 2.(2023 惠州一模)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东30 方向上,沿正东方向行走60 m至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西60 方向上.A,B两点间的距离为90m. 3.【模型观念】如图,海平面上灯塔O方圆100 km范围内有暗礁,一艘轮船自西向东航行,在点A处测得灯塔O在北偏东60 方向上,继续航行100 km后,在点B处测得灯塔O在北偏东37 方向上.请判断,为了避免触礁,这艘轮船是否要改变航向?(参考数据:sin 37 ≈0.60,cos 37 ≈0.80,tan 37 ≈0.75,≈1.73) 解:不用改变航向.理由如下: 4.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面,斜坡CD的坡度i=1∶,∠B=60 ,AB=12 m,AD=6 m. (1)斜坡CD的坡角∠C为30 ; (2)求坝底BC的长. 5.(2023 包头)为了增强学生体质、锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动.如图,A点为出发点,途中设置两个检查点,分别为B点和C点,行进路线为A B C A.B点在A点的南偏东25 方向3 km处,C点在A点的北偏东80 方向,行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45 . (1)行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60 ; (2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号). 学科网(北京)股份有限公司 $$