2.2 二次函数的图象与性质 导学案 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第2课　二次函数y＝ax2的图象与性质 基础练习 一、二次函数y＝ax2的图象的画法 (1)列表；(2)描点；(3)连线． 自变量x的值一般取关于原点对称的正负值，含0在内至少取5个点． 1.用描点法画二次函数y＝x2和y＝x2的图象． 列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 4　　 　1　 　0　　 　1　　 　4　　 … y＝x2 … 2　 　2　　 … 描点并连线： 2.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝和y＝－x2的图象并填空． 列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝－x2 … 　－4　　 　－1　　 　0　　 　－1　　 　－4　　 … y＝－x2 … 　－2　 　－2　 … 描点并连线： 　解：函数图象如图．　 小结 二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，越大，抛物线开口越小． 二、二次函数y＝ax2的图象与性质 函数 y＝ax2(a＞0)(以y＝x2为例) y＝ax2(a<0)(以y＝－x2为例) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，0) (0，0) 对称轴 y轴 y轴 最大(小)值 当x＝0时，y最小值＝0 当x＝0时，y最大值＝0 增减性 当x＞0时，y随x的增大而增大； 当x<0时，y随x的增大而减小 　　当x＞0时，y随x的增大而减小； 当x<0时，y随x的增大而增大 1.二次函数y＝x2的图象如图所示，则 (1)图象的开口向上； (2)对称轴是y轴； (3)顶点坐标是(0，0)； (4)当x＝0时，y的最小值为0； (5)当x＞0时，y随x的增大而增大． 2.下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是(　B　) A．图象的开口向下 B．当x<0时，y随x的增大而减小 C．图象的对称轴是直线x＝3 D．当x＝0时，y有最大值为0 强化练习 1．下列各点在二次函数y＝2x2图象上的是(　C　) A．(1，1) B．(2，2) C．(0，0) D．(1，0) 2．抛物线y＝4x2，y＝－4x2，y＝x2共有的性质是(　C　) A．开口向上　　　　　 B．都有最大值 C．对称轴是y轴　　　　　 D．y随x的增大而增大 3．已知二次函数y＝(a－1)x2，当x≥0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　B　) A．a＞0　　B．a＞1　　C．a≥1　　D．a＜1 4．若点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数y＝－x2的图象上，且0<x1<x2，则(　B　) A．y1<y2 B．y2<y1 C．y2≤y1 D．y1≤y2 5．给出下列函数：①y＝2x＋3；②y＝－x2；③y＝2x2；④y＝－3x＋1.上述函数中符合条件“当x＞0时，y随 x的增大而减小”的是(　C　) A．①③　 　B．③④　 C．②④　 　D．②③ 6．若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点(　A　) A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2) 7．二次函数y＝ax2的图象经过点A(－2，8)． (1)求a的值； 解：把点A(－2，8)代入y＝ax2，可得8＝4a. 解得a＝2. 故a的值为2.　 (2)若点P(m，2)在此函数图象上，则m＝±1； (3)若点(x1，y1)，(x2，y2)在此函数图象上，当－x1<x2<0时，y1与y2的大小关系是y1＞y2． 由抛物线y＝ax2的对称性知，当x1＝m，x2＝－m时，y1＝y2.　 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 直线y＝x向上平移1个单位长度可以得到直线y＝x＋1. 基础练习 一、二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 1.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝x2＋1，y＝x2－1的图象． 列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝x2＋1 … 　5　 　2　 1　 　2　 　5　 … y＝x2－1 … 　3　 　0　 　－1　 　0　 　3　 … 描点并连线： 观察上面所画图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝x2 　向上 y轴 (0，0)　 y＝x2＋1 　向上 y轴 (0，1)　 y＝x2－1 　向上 y轴 (0，－1)　 (1)抛物线y＝x2向上平移1个单位长度可得到拋物线y＝x2＋1； (2)抛物线y＝x2向下平移1个单位长度可得到拋物线y＝x2－1. 2.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－x2＋2的图象． 列表： x … －2 －1 0 1 2 … y＝－x2 … －4 －1 0 －1 －4 … y＝－x2＋2 … 　－2　　 　1　 　2　 　1　　 　－2　 … 描点并连线： 填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y＝－x2 　向下　　 　y轴　　 　(0，0)　　 y＝－x2＋2 　向下　 　y轴　　 　(0，2)　　 (1)抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，得到的抛物线表达式为y＝－x2＋2； (2)抛物线y＝－x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线表达式为y＝－x2－2． 小结：抛物线y＝ax2抛物线y＝ax2＋k. a决定开口方向 k决定平移方向 方法提示 a＞0　开口向上 k＞0，向上平移 由a，k的值，画出y＝ax2＋k的大致图象，即可确定该二次函数的各要素 a<0　开口向下 k<0，向下平移 强化练习 1．二次函数y＝－x2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为y＝－x2＋3． 2．抛物线y＝2x2＋1的对称轴是(　D　) A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝2 D．y轴 3．(1)抛物线y＝－x2－1的开口向下，顶点坐标为 (0，－1)；当x＝ 0时，y最大值＝－1． (2)抛物线y＝－x2－1向上平移4个单位长度得到抛物线y＝－x2＋3. 4．对于抛物线y＝－x2＋1与y＝x2－1，描述正确的是(　D　) A．开口方向相同 B．顶点相同 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．对称轴相同 5．抛物线y＝2x2＋1上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．嘉嘉说：“若0≤x1<x2，则y1<y2.”琪琪说：“若x2<x1≤0，则y1<y2.”对于他们的说法，正确的是(　C　) A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误 C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确 6．y＝ax2＋k经过点(1，－2)，则下列各点一定在此抛物线上的是(　D　) A．(2，1) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(－1，－2) 　 7．【推理能力】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　D　) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1≠x2，则y1≠y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2, 8．(2023·广州一中期中)函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b(a≠0且b≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致是(　A　) 学科网（北京）股份有限公司 $$