2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 命题点精练19锐角三角函数

2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 1 命题点精练19　锐角三角函数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 本课结束 42 1．(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝(　　C　　) A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4) 解 在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3， BC＝4， 则tan A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,3).故选C. 2．在△ABC中，若|cos A－eq \f(1,2)|＋2(1－tan B)2＝0，则∠C的度数是(　　C　　) A．45° B．60° C．75° D．105° 解 ∵|cos A－eq \f(1,2)|＋2(1－tan B)2＝0， ∴cos A－eq \f(1,2)＝0，2(1－tan B)2＝0， ∴cos A＝eq \f(1,2)，tan B＝1， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.故选C. 3.(2023·广州)如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10千米到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为(　　D　　) A.eq \f(10\r(3),3)千米 B.eq \f(20\r(3),3)千米 C．20千米 D．10eq \r(3)千米 解 连接AC， 由题意得：AC⊥CB， 在Rt△ACB中，∠ABC＝90°－30°＝60°，BC＝10千米， ∴AC＝BC·tan 60°＝10eq \r(3)(千米)， ∴此时渔船与小岛A的距离为10eq \r(3)千米．故选D. 4.(2024·长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(　　A　　) A．asin θ千米 B.eq \f(a,sin θ)千米 C．acos θ千米 D.eq \f(a,cos θ)千米 解 在Rt△ALR中，AR＝a，∠ARL＝θ， ∴sin θ＝eq \f(AL,AR)， ∴AL＝AR·sin θ＝asin θ(千米)． 答：火箭距海平面的高度AL为asin θ千米．故选A. 5．(2008·兰州)正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos ∠AOB的值为(　　A　　) A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(1,2) D．2 解 如图，作EF⊥OB，则EF＝2，OF＝1，由勾股定理得，OE＝eq \r(5). ∴cos∠AOB＝eq \f(OF,OE)＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5).故选A. 6．(2022·福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为(　　B　　) (参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51) A．9.90 cm B．11.22 cm C．19.58 cm D．22.44 cm 解 ∵AB＝AC，BC＝44 cm， ∴BD＝CD＝22 cm，AD⊥BC， ∵∠ABC＝27°， ∴tan∠ABC＝eq \f(AD,BD)≈0.51， ∴AD≈0.51×22＝11.22(cm)．故选B. 7．(2023·陕西)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为(　　A　　) A.eq \f(2\r(13),13) B.eq \f(3\r(13),13) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(5),4) 解 连接AD，则∠ADB＝90°， ∵AD＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，AB＝eq \r(12＋52)＝eq \r(26)， ∴sin B＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(2\r(2),\r(26))＝eq \f(2\r(13),13).故选A. 8.(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. (1)求BC的长； (2)求sin∠DAE的值． 解 (1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(102－62)＝8. ∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. (2)∵AE是BC边上的中线，BC＝14， ∴CE＝eq \f(1,2)BC＝7，∴DE＝CE－CD＝7－6＝1， ∵AD⊥BC，∴AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝eq \r(62＋12)＝eq \r(37)， ∴sin∠DAE＝eq \f(DE,AE)＝eq \f(1,\r(37))＝eq \f(\r(37),37). 9.(2024·德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为(　　B　　) A．20米 B．15米 C．12米 D．(10＋5eq \r(3))米 解 设过点A的水平线于CD交于点E，如图， 由题意，知：四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝10米，AE＝BD， 在Rt△BCD中，BD＝eq \f(CD,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)CD， 在Rt△ACE中，AE＝eq \f(CE,tan 30°)＝eq \r(3)(CD－DE)＝eq \r(3)(CD－10)， ∴eq \r(3)(CD－10)＝eq \f(\r(3),3)CD，解得CD＝15(米)．故选B. 10.(2023·淄博)如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB(与水平地面BF垂直)形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝2米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为 19.2 米(结果精确到0.1米)． 解 如图，延长AD交BF于点H， 在Rt△CDH中，CD＝8.48米，∠DCH＝32°， ∵cos∠DCH＝eq \f(CD,CH)， ∴CH＝eq \f(CD,cos∠DCH)≈eq \f(8.48,0.848)＝10(米)， ∴BH＝CH＋BC＝10＋2＝12(米)， ∵∠CDH＝90°，∠DCH＝32°， ∴∠DHC＝90°－32°＝58°， ∵AB⊥BF， ∴∠BAH＝90°－58°＝32°， 在Rt△ABH中，tan∠BAH＝eq \f(BH,AB)， ∴AB＝eq \f(BH,tan∠BAH)≈eq \f(12,0.625)＝19.2(米)， 故答案为19.2. 11.(2023·陕西)小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48 m，FD＝50 m．已知EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．(参考数据：sin 16.7°≈0.29，cos 16.7°≈0.96，tan 16.7°≈0.30，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40) 解 过点C作CG⊥EF于点G，过点E作EH⊥AB于点H， ∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB， ∴四边形CDFG，四边形EFBH均为矩形， ∴CG＝FD＝50 m， HB＝EF＝48 m， 在Rt△CGE中，CG＝50 m，∠ECG＝α＝22°， 则EG＝CG·tan∠ECG≈50×0.40＝20(m)， ∴CD＝FG＝EF－EG＝48－20＝28(m)， 在Rt△EFB中，EF＝48 m，∠EBF＝α＝22°， 则EF＝FB·tan∠EBF， ∴48≈FB×0.40， ∴FB＝120 m， 在Rt△AHE中，EH＝FB＝120 m，∠AEH＝β＝16.7°， 则AH＝EH·tan∠AEH≈120×0.30＝36(m)， ∴AB＝AH＋BH＝AH＋EF＝36＋48＝84 (m)， ∴AB－CD＝84－28＝56(m)． 答：楼AB与CD的高度差为56 m. 12．(2023·恩施州)小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5 m，高BC为3 m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°.A，B，C，D，E在同一平面内． 你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．(参考数据：sin 38.7°≈0.625，cos 38.7°≈0.780，tan 38.7°≈0.80，结果保留整数) 解 能，过B作BF⊥DE于F， 则EF＝BC＝3 m，BF＝CE， 在Rt△ABC中，∵AB＝5 m，BC＝3 m， ∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝4(m)， 在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，∴AE＝DE， 设AE＝DE＝x m，∴BF＝(4＋x)m，DF＝(x－3)m， 在Rt△BDF中，tan 38.7°＝eq \f(DF,BF)＝eq \f(x－3,4＋x)≈0.80，解得x＝31， ∴DE＝31 m. 答：信号塔DE的高为31 m. 13．(2023·淮安)根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点Q为古塔底面圆圆心，测角仪高度AB＝CD＝1.5 m，在B、D处分别测得古塔顶端的仰角为32°、45°，BD＝9 m，测角仪CD所在位置与古塔底部边缘距离DG＝12.9 m，点B、D、G、Q在同一条直线上 参考数据 sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625 项目任务 (1) 求出古塔的高度 (2) 求出古塔底面圆的半径 解 如图，延长AC交PQ于点H， 则四边形CDQH、四边形ABQH都为矩形， ∴CH＝DQ，BQ＝AH，∠PHA＝90°，AB＝QH＝1.5 m， 由题意得：∠PAH＝32°，∠PCH＝45°，古塔的高度为PQ，古塔底面圆的半径为GQ， ∴△PHC是等腰直角三角形， ∴PH＝CH， 设GQ＝x m，则PH＝CH＝DQ＝DG＋GQ＝(12.9＋x)m， ∴AH＝BQ＝BD＋DQ＝9＋12.9＋x＝(21.9＋x)m， 在Rt△PHA中，PH＝tan∠PAH·AH＝tan 32°×AH≈0.625×(21.9＋x)＝(13.687 5＋0.625x)m， ∴12.9＋x＝13.687 5＋0.625x， 解得：x＝2.1， ∴PQ＝PH＋QH＝12.9＋2.1＋1.5＝16.5(m)． 答：古塔的高度为16.5 m，古塔底面圆的半径为2.1 m. 14.(2023·海南)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． (1)填空：∠AMB＝ 30 度，∠BCM＝ 45 度； (2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)； (3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)． 解 分别过点C，M，作CD⊥AB，ME⊥AB，垂足分别为D，E. (1)∵∠DBM＝∠A＋∠AMB＝60°，∠A＝30°， ∴∠AMB＝30°. ∵AB、CM都是正北方向， ∴AB∥CM. ∵∠DBC＝45°， ∴∠BCM＝45°. 故答案为30；45. (2)由(1)知∠A＝∠AMB， ∴AB＝BM＝20海里． 在Rt△EBM中，sin∠EBM＝eq \f(EM,BM)， ∴EM＝sin∠EBM·BM ＝sin 60°×20 ＝eq \f(\r(3),2)×20＝10eq \r(3)(海里)． 答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10eq \r(3)海里． (3)∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向， ∴四边形DEMC是矩形． ∴CD＝EM＝10eq \r(3)海里，DE＝CM. 在Rt△CDB中， ∵∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB. ∴DB＝DC＝10eq \r(3)海里． 在Rt△EMB中，cos∠DBM＝eq \f(EB,BM)， ∴EB＝cos∠DBM·BM ＝cos 60°×20 ＝eq \f(1,2)×20＝10(海里)． ∴CM＝DE＝DB－EB ＝10eq \r(3)－10 ＝10(eq \r(3)－1)海里． 答：港口C与灯塔M的距离为10(eq \r(3)－1)海里． $$