2025年甘肃省九年级中考数学一轮复习 能力素养提升课件 命题点精练18　相似三角形　

2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 1 命题点精练18　相似三角形 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 本课结束 31 1．若eq \f(x,y)＝eq \f(3,2)，则eq \f(x＋y,y)的值为(　　D　　) A.eq \f(1,3) 　　 B．－eq \f(1,3)　　　 C.eq \f(1,2)　 　D.eq \f(5,2) 解 ∵eq \f(x,y)＝eq \f(3,2)， ∴eq \f(x＋y,y)＝eq \f(x,y)＋1＝eq \f(3,2)＋1＝eq \f(5,2).故选D. 2．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　D　　) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶9 解 ∵两个相似三角形的相似比是1∶3， ∴这两个相似三角形的面积比是12∶32＝1∶9.故选D. 3.(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　A　　) A．(－4，8) B．(8，－4) C．(－8，4) D．(4，－8) 解 ∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2， ∵点B的坐标为(－2，4)， ∴点B的对应点B′的坐标为(－2×2，4×2)，即(－4，8)．故选A. 4.(2023·重庆)如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为(　　B　　) A．4 B．9 C．12 D．13.5 解 ∵△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3， ∴eq \f(AB,ED)＝eq \f(AC,EC)＝eq \f(BC,DC)＝eq \f(2,3)， ∴当AB＝6时，DE＝9.故选B. 5．(2024·镇江)如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是(　　D　　) A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 解 设返回过程中小杰身高为FH， 由FH∥AB∥EC， 得eq \f(GH,GB)＝eq \f(FH,AB)＝eq \f(EC,AB)＝eq \f(DC,DB)， 由GB<DB， 得GH<DC＝3. 故选D. 6．(2022·临沂)如图，在△ABC中，DE∥BC，eq \f(AD,DB)＝eq \f(2,3)，若AC＝6，则EC＝　(　　C　　) A.eq \f(6,5) B.eq \f(12,5) C.eq \f(18,5) D.eq \f(24,5) 解 ∵DE∥BC， ∴eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(2,3)， ∴eq \f(AC－EC,EC)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(6－EC,EC)＝eq \f(2,3)， ∴EC＝eq \f(18,5).故选C. 7.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 20 cm. 解 设小孔O到A′B′的距离为x cm， 由题意可得：△ABO∽△A′B′O， 则eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(36,24)＝eq \f(30,x)， 解得：x＝20. 故答案为20. 8.如图，一广场上的灯柱CD的高为3 m，AB是该广场上的一座建筑，小强站在F处发现自己的眼睛E、灯柱CD的顶端C和建筑AB的顶端A恰好在一条直线上，已知小强的眼睛到地面的高度EF＝1.5 m，小强到灯柱的距离DF＝2 m，灯柱到该建筑底端的距离BD＝38 m，且F，D，B在同一水平线上，EF⊥BF，CD⊥BF，AB⊥BF，请你帮助小强求出该广场上的建筑AB的高度． 解 如图所示，过点E作EH⊥AB分别交AB，CD于H，G，则四边形EFDG，四边形DGHB都是矩形， ∴EG＝DF＝2 m，GH＝BD＝38 m，BH＝DG＝EF＝1.5 m， ∴HE＝40 m，CG＝1.5 m， ∵CD⊥BF，AB⊥BF， ∴CG∥AH，∴△EAH∽△ECG， ∴eq \f(AH,CG)＝eq \f(EH,EG)，即eq \f(AH,1.5)＝eq \f(40,2)， ∴AH＝30 m，∴AB＝AH＋BH＝31.5(m)， ∴该广场上的建筑AB的高度为31.5 m. 9.(2023·镇江)如图，用一个卡钳(AD＝BC，eq \f(OC,OB)＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(1,3))测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6 cm，则AB等于 18 cm. 解 ∵eq \f(OC,OB)＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(1,3)，∠COD＝∠BOA， ∴△COD∽△BOA， ∴AB∶CD＝3， ∵CD＝6 cm， ∴AB＝6×3＝18(cm)，故答案为18. 10．一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图如图所示．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是 8 米． 解 由题意可得：∠APE＝∠CPE， ∴∠APB＝∠CPD， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴△ABP∽△CDP， ∴eq \f(AB,BP)＝eq \f(CD,PD)， ∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，∴eq \f(2,3)＝eq \f(CD,12)， ∴CD＝8米，故答案为8. 11．一次数学活动课，老师组织学生到野外测量一个池塘的宽度(即图中A、B间的距离)．在讨论探究测量方案时，同学们发现有多种方法，现请你根据所学知识，设计出两种测量方案，要求画出测量示意图，并简要说明测量方法和计算依据． 例案：在A处测出∠BAE＝90°，并在射线AE上的适当位置取点C，量出AC，BC的长度； 运用勾股定理，得AB＝eq \r(BC2－AC2). 解 ①分别在AC，BC延长线上取点E，D，连接ED，使ED∥AB.测量出DE，CD，BC的长度， 利用△DEC∽△BAC，得eq \f(DE,AB)＝eq \f(CD,BC)， 得AB＝eq \f(DE·BC,CD)； ②分别在AC、BC上取点D、E，连接ED，使ED∥AB，测量出DE、BC、CE的长度， 利用△CDE∽△CAB，得eq \f(DE,AB)＝eq \f(CE,CB)， 得AB＝eq \f(DE·CB,CE). 12.一个常见铁夹的侧面示意图如图所示，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A，B两点间的距离． 解 作出示意图， 连接AB，同时连接OC并延长交AB于E， 因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴， ∴OE⊥AB，AE＝BE， ∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°， ∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴eq \f(OC,OA)＝eq \f(CD,AE)， 而OC＝eq \r(OD2＋DC2)＝eq \r(242＋102)＝26(mm)，　 即eq \f(26,24＋15)＝eq \f(10,AE)，∴AE＝eq \f(39×10,26)＝15(mm)， ∴AB＝2AE＝30 mm. 答：A，B两点间的距离为30 mm. 13.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 (－2，0)或(eq \f(4,3)，eq \f(2,3)) ． 解 两个图形位似时，①如图1，位似中心就是CF与x轴的交点， 设直线CF的解析式为y＝kx＋b， 将C(4，2)，F(1，1)代入， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝2，,k＋b＝1，)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，))) 即y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(2,3)， 令y＝0，得x＝－2， ∴O′坐标是(－2，0)． ②如图2，OC和BG的交点也是位似中心， 图2 直线BG的解析式为y＝－eq \f(1,4)x＋1，直线OC的解析式为y＝eq \f(1,2)x， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x＋1，,y＝\f(1,2)x，)))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(2,3)，))) ∴位似中心的坐标为(eq \f(4,3)，eq \f(2,3))，故答案为(－2，0)或(eq \f(4,3)，eq \f(2,3))． $$