2025年甘肃省九年级中考数学一轮复习 能力素养提升课件 命题点精练17　尺规作图　

2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 1 命题点精练17　尺规作图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 本课结束 42 1．(2023·海南)如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于eq \f(1,2)BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为(　　C　　) A．40°　 　B．50°　 　C．80°　 　D．100° 解 由作图得：MN垂直平分BC， ∴CD＝BD， ∴∠CBD＝∠C＝40°， ∴∠ADB＝∠C＋∠CBD＝80°，故选C. 2.(2023·内蒙古)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于eq \f(1,2)BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE∶S△CDE的值是(　　A　　) A．1∶2 B．1∶eq \r(3) C．2∶5 D．3∶8 解 ∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°， ∴AB∶AC＝sin C＝1∶2， 由题意得：AP平分∠BAC， ∴AB∶AC＝BE∶CE＝1∶2， ∴S△BDE∶S△CDE＝1∶2，故选A. 3．(2023·黄石)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于eq \f(1,2)BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于eq \f(1,2)CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，CD交于点N，连接ON.若AB＝9，AC＝5，则ON的长为(　　A　　) A．2 B.eq \f(5,2) C．4 D.eq \f(9,2) 解 由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD， ∴OB＝OC，DN＝CN， ∴ON＝eq \f(1,2)BD， ∵AB＝9，AC＝AD＝5， ∴BD＝AB－AD＝9－5＝4， ∴ON＝eq \f(1,2)×4＝2.故选A. 4.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为(6a，2b－1)，则a和b的数量关系为(　　B　　) A．6a－2b＝1 B．6a＋2b＝1 C．6a－b＝1 D．6a＋b＝1 解 根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，点P到x轴、y轴的距离相等，点P的横、纵坐标互为相反数，则P点横、纵坐标的和为0， 故6a＋2b－1＝0(或－6a＝2b－1)， 整理得：6a＋2b＝1，故选B. 5.(2023·长春)如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是(　　B　　) A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE 解 角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E； ②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F； ③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线． 根据角平分线的作法可知，AD＝AE，DF＝EF， 根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，故选B. 6.(2023·岳阳)如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，大于eq \f(1,2)DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC.若∠AOB＝60°，则∠AOC＝ 30° ． 解 ∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)×60°＝30°. 故答案为30°. 7．(2024·江西)如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)如图1，过点B作AC的垂线； (2)如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线． 解 (1)如图1，作直线BD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC， 则直线BD即为所求． 图1 　　　图2 (2)如图2，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DF∥BC，∴∠AFE＝∠BCE，∠FAE＝∠CBE， ∵点E为线段AB的中点， ∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BC，∴四边形ACBF为平行四边形， ∴BF∥AC， 则直线BF即为所求． 8.(2024·连云港)如图，AB与CD相交于点E，EC＝ED，AC∥BD. (1)求证：△AEC≌△BED； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上． (不写作法，保留作图痕迹，标明字母) (1)证明 ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， 在△AEC和△BED中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,∠C＝∠D，,EC＝ED，)) ∴△AEC≌△BED(AAS)． (2)如图，四边形DMCN即为所求作的菱形． 9.(2023·湖州)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于eq \f(1,2)CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连接OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F.若∠AOB＝60°，OP＝6 cm，则四边形PFOE的面积是(　　B　　) A．12eq \r(3) cm2 B．6eq \r(3) cm2 C．3eq \r(3) cm2 D．2eq \r(3) cm2 解 过P作PB⊥OB于B， 由作图得：OP平分∠AOB， ∴∠POB＝∠AOP＝ eq \f(1,2)∠AOB＝30°， ∴PB＝eq \f(1,2)OP＝3 cm， ∴OB＝eq \r(OP2－PB2)＝3eq \r(3) cm， ∵PE∥OA，PF∥OB， ∴四边形PFOE为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°， ∴∠POE＝∠OPE，∴OE＝PE， 设OE＝PE＝x cm， 在Rt△PEB中，PE2－BP2＝EB2， 即：x2－32＝(3eq \r(3)－x)2，解得：x＝2eq \r(3)， ∴S四边形OEPF＝OE·PB＝2eq \r(3)×3＝6eq \r(3)(cm2)．故选B. 10．(2023·新疆)如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心， 适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于eq \f(1,2)EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC＝3，BC＝4，则CD的长为(　　C　　) A.eq \f(7,8) B．1 C.eq \f(3,2) D．2 解 ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5， 过D作DH⊥AB于H(图略)， ∵AD平分∠CAB， ∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD， 在Rt△ACD与Rt△AHD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(CD＝DH，,AD＝AD，))) ∴Rt△ACD≌Rt△AHD(HL)， ∴AC＝AH＝3， ∴BH＝AB－AH＝2， ∵BH2＋DH2＝BD2， ∴22＋CD2＝(4－CD)2， ∴CD＝eq \f(3,2). 11．(2023·阜新)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，大于eq \f(1,2)EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段DH的长是 eq \f(8,3) ． 解 设DH＝x， 过H作HQ⊥AC于Q， 在矩形ABCD中， ∠B＝∠D＝90°，AB＝6，AD＝8， ∴AC＝10， 由作图得：AG平分∠CAD， ∴∠CAG＝∠DAG， ∵∠D＝∠AQH＝90°，AH＝AH， ∴△ADH≌△AQH(AAS)， ∴DH＝HQ＝x，AD＝AQ＝8， ∴CQ＝AC－QA＝2， 在Rt△CHQ中，有CQ2＋QH2＝CH2， 即：22＋x2＝(6－x)2， 解得x＝eq \f(8,3)，故答案为eq \f(8,3). 12．已知：∠AOB， 求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB. 作法： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； ②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′； ④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.　 根据上面的作法，完成以下问题： (1)使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′(请保留作图痕迹)； (2)完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程(注：括号里填写推理的依据)． 证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝ DC ， ∴△C′O′D′≌△COD，( SSS )， ∴∠A′O′B′＝∠AOB( 全等三角形的对应角相等 )． (1)解 如图所示，∠A′O′B′即为所求． (2)证明 由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝DC， ∴△C′O′D′≌△COD(SSS)， ∴∠A′O′B′＝∠AOB(全等三角形的对应角相等)， 故答案为DC，SSS，全等三角形的对应角相等． 13．(2021·兰州)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3.①以点A为圆心，不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于eq \f(1,2)EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，大于eq \f(1,2)CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG的长为 eq \f(5,4) eq \r(2) ． 解 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝3， 根据作图过程可知：AQ平分∠BAD，MN是CQ的垂直平分线， ∴∠BAQ＝45°，∴BQ＝AB＝1， ∴AQ＝eq \r(2)， ∵AD∥BC，∴△BQO∽△DAO， ∴eq \f(QO,AO)＝eq \f(BQ,AD)＝eq \f(1,3)，∴QO＝eq \f(1,4)AQ＝eq \f(\r(2),4)， ∴AO＝eq \f(3,4) eq \r(2)， 如图，设CQ的垂直平分线MN交AD于点H， ∴GH⊥AD， ∴△AGH是等腰直角三角形， ∵AH＝GH＝AD－DH＝3－1＝2， ∴AG＝2eq \r(2)， ∴OG＝AG－AO＝2eq \r(2)－eq \f(3,4) eq \r(2)＝eq \f(5,4) eq \r(2). 故答案为eq \f(5,4) eq \r(2). 14．同学们学完第二章，喜欢数学整理的小聪同学归纳了第二章中获得直角的两种方法： 方法一：一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形． 方法二：等腰三角形顶角的角平分线是底边上的高线． (1)求证：三角形一边上的中线等于这条边的一半(如图1)，则这个三角形是直角三角形． eq \a\vs4\al() 已知： 在△ABC中，D 为AB的中点，CD＝eq \f(1,2)AB　， 求证： ∠ACB＝90° ． (2)如图2，已知P是⊙O外一点．请在⊙O上确定一点A，使△APO为直角三角形且PO为斜边．(用两种方法)要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 解 (1)已知：在△ABC中，D 为AB的中点，CD＝eq \f(1,2)AB， 求证：∠ACB＝90°. 证明：∵D 为AB的中点， ∴AD＝BD＝CD＝eq \f(1,2)AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD， ∵∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°. 故答案为在△ABC中，D为AB的中点，CD＝eq \f(1,2)AB，∠ACB＝90°. (2)方法一：如图1：连接OP，分别以点P、O为圆心，大于eq \f(1,2)PO为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接MN与PO相交于点D，以D为圆心，PD长为半径作圆交⊙O于A，作直线PA，PD，则△APO即为所求． 方法二：如图2： 作P点关于点O的对称点P′，以PO为半径作圆O，连接PP′，设原来的圆O半径为r，以AB(即2r)的长度为半径，P′为圆心画圆，交弧PP′于点Q，连接PQ，交于原来的圆O于点A，点A即为切点(中位线能证明OA是半径且垂直PQ)，则△APO即为所示． $$