2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 命题点精练13　二次函数的应用

第二编 能力 素养 提升 1 命题点精练13　二次函数的应用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 本课结束 35 1．(2023·丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(　　D　　) A．5　　 　B．10　　 　C．1　　 　D．2 解 令h＝0，得：10t－5t2＝0， 解得：t＝0或t＝2， ∴球弹起后又回到地面所花的时间是2秒．故选D. 2．(2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是eq \f(7,4) m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m．若实心球落地点为M，则OM＝ eq \f(35,3) m. 解 如图，以O为坐标原点，OM为x轴非负半轴，OP为y轴非负半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，P(0，eq \f(7,4))，B(5，4)，其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为y＝a(x－5)2＋4， 将P(0，eq \f(7,4))代入上式， 解得：a＝－eq \f(9,100)， 即抛物线的解析式为：y＝－eq \f(9,100)(x－5)2＋4， M为抛物线与x轴的交点， 即y＝－eq \f(9,100)(x－5)2＋4＝0， 解得：x1＝eq \f(35,3)，x2＝－eq \f(5,3)(舍)， ∴OM＝eq \f(35,3) m. 故答案为eq \f(35,3). 3．(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车 能 (填“能”或“不能”)完全停到车棚内． 解 ∵CD＝4 m，B(6，2.68)， ∴6－4＝2， 在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中， 当x＝2时，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12， ∵2.12＞1.8， ∴货车能完全停到车棚内． 故答案为能． 4．(2023·滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，那么水管的设计高度应为 eq \f(9,4) m ． 解 由题意可知点(1，3)是抛物线的顶点， ∴设这段抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3. ∵该抛物线过点(3，0)， ∴0＝a(3－1)2＋3，解得：a＝－eq \f(3,4). ∴y＝－eq \f(3,4)(x－1)2＋3. ∴当x＝0时，y＝－eq \f(3,4)×(0－1)2＋3＝－eq \f(3,4)＋3＝eq \f(9,4)，∴水管的设计高度应为eq \f(9,4) m. 故答案为eq \f(9,4) m. 5.如图，小亮父亲想用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD.已知房屋外墙长50 m，当AB的长等于 20 m时，羊圈的面积最大． 解 设AB＝x m，则BC＝(80－2x)m， ∴0＜80－2x≤50， ∴15≤x＜40. 又∵矩形ABCD的面积：S＝x(80－2x)＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800. ∵－2＜0，∴当x＝20时，S有最大值， 所以，当AB＝20 m时，矩形ABCD的面积最大．故答案为20. 6.(2024·济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)由题意，设一次函数的解析式为y＝kx＋b， 又过(100，300)，(120，200)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100k＋b＝300，,120k＋b＝200，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－5，,b＝800，)) ∴所求函数解析式为y＝－5x＋800. (2)由题意得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥100，,－5x＋800≥220，)) ∴100≤x≤116. ∵商场获得的利润＝(x－80)(－5x＋800) ＝－5x2＋1 200x－64 000 ＝－5(x－120)2＋8 000， 又－5＜0，100≤x≤116， ∴当x＝116时，利润最大，最大值为7 920. 答：当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7 920元． 7.(2024·青海)在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A(3，eq \f(3,2))处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝－x2＋bx的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 解 (1)由题意，∵点A(3，eq \f(3,2))是抛物线y＝－x2＋bx上的一点， ∴－32＋3b＝eq \f(3,2).∴－9＋3b＝eq \f(3,2).∴b＝eq \f(7,2). ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋eq \f(7,2)x. (2)由题意，∵抛物线为y＝－x2＋eq \f(7,2)x＝ －(x－eq \f(7,4))2＋eq \f(49,16)， ∴抛物线最高点的坐标为(eq \f(7,4)，eq \f(49,16))． (3)由题意，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E，D， 又∠BOD＝∠AOE，∠BDO＝∠AEO， ∴△OBD∽△OAE， ∴eq \f(OD,OE)＝eq \f(BD,AE)＝eq \f(OB,OA). 由点B是OA的三等分点， ①当B靠近O时，eq \f(OB,OA)＝eq \f(1,3). ∵A(3，eq \f(3,2))， ∴AE＝eq \f(3,2)，OE＝3. ∴eq \f(BD,AE)＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(1,3). ∴BD＝eq \f(1,3)AE. ∴BD＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)＝eq \f(1,2). 又eq \f(OD,OE)＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(1,3)， ∴OD＝eq \f(1,3)OE.∴OD＝eq \f(1,3)×3＝1. ∴点C的横坐标为1. 将x＝1代入y＝－x2＋eq \f(7,2)x中， y＝－12＋eq \f(7,2)×1＝eq \f(5,2). ∴点C的坐标为(1，eq \f(5,2))． ∴CD＝eq \f(5,2).∴CB＝CD－BD＝eq \f(5,2)－eq \f(1,2)＝2. ②当B靠近A时，eq \f(OB,OA)＝eq \f(2,3). ∵A(3，eq \f(3,2))，∴AE＝eq \f(3,2)，OE＝3. ∴eq \f(BD,AE)＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(2,3). ∴BD＝eq \f(2,3)AE＝1. 又∵eq \f(OD,OE)＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(2,3)， ∴OD＝eq \f(2,3)OE＝2. ∴点C的横坐标为2. 将x＝2代入y＝－x2＋eq \f(7,2)x中， ∴y＝3. ∴点C的坐标为(2，3)． ∴CD＝3. ∴CB＝CD－BD＝3－1＝2. 答：这棵树的高度是2. 8.(2022·无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m(如图)． (1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 解 (1)根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为eq \f(24－x－2x,3)＝(8－x)m， ∴(x＋2x)×(8－x)＝36， 解得x＝2或x＝6， 经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去， ∴x＝2. 答：此时x的值为2. (2)设矩形养殖场的总面积是y m2， ∵墙的长度为10 m，∴0＜x≤eq \f(10,3)， 根据题意得：y＝(x＋2x)×(8－x)＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48. ∵－3＜0， ∴当x＝eq \f(10,3)时，y取最大值，最大值为－3×(eq \f(10,3)－4)2＋48＝eq \f(140,3). 答：当x＝eq \f(10,3)时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为eq \f(140,3) m2. 9．(2022·朝阳)某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解 (1)设每天的销售量y(件)与每件售价 x(元)的函数关系式为：y＝kx＋b， 由题意可知：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(9k＋b＝105，,11k＋b＝95，)))解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k＝－5，,b＝150，))) ∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋150. (2)(－5x＋150)(x－8)＝425， 解得：x1＝13，x2＝25(舍去)． 答：若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元． (3)w＝y(x－8) ＝(－5x＋150)(x－8) ＝－5x2＋190x－1 200 ＝－5(x－19)2＋605， ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x＜19时，w随x的增大而增大， ∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525. 答：当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 10．(2022·江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值)．设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1)c的值为 66 ； (2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－eq \f(1,50)，b＝eq \f(9,10)，求基准点K的高度h； ②若a＝－eq \f(1,50)时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b＞eq \f(9,10) ； (3)在(2)的条件下，若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 解 (1)∵起跳台的高度OA为66 m，∴A(0，66)， 把A(0，66)代入y＝ax2＋bx＋c得： c＝66，故答案为66. (2)①∵a＝－eq \f(1,50)，b＝eq \f(9,10)， ∴y＝－eq \f(1,50)x2＋eq \f(9,10)x＋66. ∵基准点K到起跳台的水平距离为75 m， ∴y＝－eq \f(1,50)×752＋eq \f(9,10)×75＋66＝21， ∴基准点K的高度h为21 m. ②∵a＝－eq \f(1,50)，∴y＝－eq \f(1,50)x2＋bx＋66. ∵运动员落地点要超过K点， ∴x＝75时，y＞21， 即－eq \f(1,50)×752＋75b＋66＞21， 解得b＞eq \f(9,10)，故答案为b＞eq \f(9,10). (3)他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m， ∴抛物线的顶点为(25，76)． 设抛物线解析式为y＝a(x－25)2＋76， 把(0，66)代入得：66＝a(0－25)2＋76， 解得a＝－eq \f(2,125)， ∴抛物线解析式为y＝－eq \f(2,125)(x－25)2＋76， 当x＝75时，y＝－eq \f(2,125)×(75－25)2＋76＝36， ∵36＞21，∴他的落地点能超过K点． $$