2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 命题点精练12　二次函数的图象与性质课件

2025年甘肃省中考数学一轮复习 能力素养提升 1 命题点精练12　二次函数的图象与性质 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 本课结束 38 1．(2023·沈阳)二次函数y＝－(x＋1)2＋2图象的顶点所在的象限是(　　B　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解 ∵y＝－(x＋1)2＋2， ∴顶点坐标为(－1，2)， ∴顶点在第二象限．故选B. 2．对于二次函数y＝x2－4x－1的图象，下列说法错误的是(　　D　　) A．开口向上 B．与x轴有两个交点 C．抛物线的对称轴为直线x＝2 D．当x≥2时，y随x的增大而减小 解 A．∵二次函数y＝x2－4x－1中，a＝1，则a＞0， ∴抛物线开口向上，故本选项正确，不符合题意； B．当y＝0时，0＝x2－4x－1， ∵Δ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20＞0， ∴方程x2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则二次函数y＝x2－4x－1的图象与x轴有两个交点，故本选项正确，不符合题意； C．∵y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，故本选项正确，不符合题意； D．∵y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2， ∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上， ∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意．故选D. 3．(2024·乐山)已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　C　　) A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 解 因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为(1，－1)． 因为1－(－1)＝3－1， 所以x＝－1和x＝3时的函数值相等． 因为－1≤x≤t－1，当x＝－1时，函数取得最大值， 所以t－1≤3， 又因为当x＝1时，函数取得最小值， 所以t－1≥1， 所以1≤t－1≤3， 解得2≤t≤4.故选C. 4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1和3，则函数值y随x值的增大而减小时，x的取值范围是(　　A　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 解 ∵二次函数的图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB中点坐标为(1，0)，而点A与点B是抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵开口向上， ∴当x＜1时，y随着x的增大而减小．故选A. 5．若函数y＝(m－3)x2－4x＋2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是(　　A　　) A．3或5 B．3 C．4 D．5 解 ①当m－3＝0，即m＝3时，y＝－4x＋2， 令y＝0，则－4x＋2＝0， 解得x＝eq \f(1,2)， 此时函数y＝(m－3)x2－4x＋2的图象与x轴只有一个交点； ②当m－3≠0时， ∵二次函数y＝(m－3)x2－4x＋2的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝(－4)2－8(m－3)＝0， 解得m＝5. 综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5.故选A. 6．(2023·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m(m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有(　　D　　) A．最大值5 B．最大值eq \f(15,4) C．最小值5 D．最小值eq \f(15,4) 解 由题意可得：6＝m2－m， 解得：m1＝3，m2＝－2. ∵二次函数y＝x2＋mx＋m2－m图象的对称轴在y轴左侧， ∴m＞0，∴m＝3， ∴y＝x2＋3x＋6， ∴二次函数有最小值为：eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(4×1×6－32,4×1)＝eq \f(15,4).故选D. 7.(2024·广元)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且－1＜x1＜0，2＜x2＜3，则下列结论：①a－b＋c＜0；②方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根；③a＋b＞0；④a＞eq \f(2,3)；⑤b2－4ac＞4a2.其中正确的结论有(　　C　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解 ①∵抛物线开口向上，－1<x1<0，2<x2<3， ∴当x＝－1时，y＝a－b＋c>0， 故①不符合题意； ②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)， ∴函数的最小值y<－2， ∴ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根， ∴方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根， 故②符合题意； ③∵－1<x1<0，2<x2<3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)，且eq \f(1,2)＜－eq \f(b,2a)＜eq \f(3,2)，且1＜－eq \f(b,a)＜3，而a＞0， ∴－3a＜b＜－a， ∴a＋b<0， 故③不符合题意； ④∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)， ∴c＝－2， ∵x＝－1时，y＝a－b＋c>0， 即3a－3b＋3c>0，当x＝3时，y＝9a＋3b＋c>0， ∴12a＋4c>0， ∴12a>8， ∴a>eq \f(2,3)， 故④符合题意； ⑤∵－1<x1<0，2<x2<3， ∴x2－x1＞2， 由根与系数的关系可得：x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)， ∴eq \f(b2－4ac,4a2)＝eq \f(1,4)×(－eq \f(b,a))2－eq \f(c,a)＝eq \f(1,4)(x1＋x2)2－x1x2＝eq \f(1,4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq \f(1,4)(x1－x2)2＞eq \f(1,4)×4＝1， ∴eq \f(b2－4ac,4a2)＞1， ∴b2－4ac＞4a2， 故⑤符合题意． 综上，②④⑤正确，符合题意，正确结论有三个．故选C. 8．已知一个抛物线经过点(3，0)，(－1，0)和(2，－6)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 解 (1)设y＝a(x－3)(x＋1)， 将(2，－6)代入，则a＝2， ∴y＝2(x－3)(x＋1)＝2x2－4x－6. (2)∵x＝－eq \f(b,2a)＝1，y＝eq \f(4ac－b2,4a)＝－8， ∴顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1. 9．抛物线y＝x2－2ax＋b的顶点落在一次函数y＝－2x＋4的图象上，则b的最小值为 3 ． 解 y＝x2－2ax＋b＝(x－a)2－a2＋b， 顶点坐标为(a，－a2＋b )， 抛物线y＝x2－2ax＋b 的顶点落在一次函数y＝－2x＋4的图象上， ∴(a，－a2＋b)在一次函数y＝－2x＋4的图象上， ∴－a2＋b＝－2a＋4， ∴b＝a2－2a＋4＝(a－1)2＋3. ∵1＞0，∴抛物线开口向上， 当a＝1时，b有最小值3.故答案为3. 10．已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)． (1)抛物线的对称轴为直线 x＝1 ； (2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为 eq \f(3,4)或－eq \f(3,2) ； (3)设点P(a，y1)，Q(2，y2)在抛物线上，若y1＞y2，则a的取值范围是 a＞2 ． 解 (1)由题意可得，抛物线的对称轴为：直线x＝－eq \f(－2a,2a)＝1，故答案为x＝1. (2)抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位长度，可得y′＝ax2－2ax＋3－3|a|. ∵抛物线的顶点落在x轴上， ∴Δ＝(－2a)2－4a(3－3|a|)＝0， 解得a＝eq \f(3,4)或a＝－eq \f(3,2)， 故答案为eq \f(3,4)或－eq \f(3,2). (3)①当a＞0时，原抛物线开口向上，若y1＞y2，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴|a－1|＞|2－1|，即|a－1|＞1， ∴a－1＞1或a－1＜－1， 解得：a＞2或a＜0. 又∵a＞0，∴a＞2. ②当a＜0时，原抛物线开口向下， 若y1＞y2，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴|a－1|＜|2－1|，即|a－1|＜1， ∴－1＜a－1＜1，解得：0＜a＜2. 又∵a＜0，故此情况不成立． 故答案为a＞2. 11．已知二次函数y＝mx2＋nx－(m＋n)(m，n是常数，m≠0)． (1)当m＝1时，判断该二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由； (2)若该二次函数的图象经过A(－2，6)，B(0，－1)，C(1，2)三个点中的两个点，求该二次函数的表达式． 解 (1)若m＝1，则y＝x2＋nx－(1＋n)， 令y＝0， ∴0＝x2＋nx－(1＋n)． ∵Δ＝n2－4×1×[－(1＋n)]＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2≥0， ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根， ∴二次函数图象与x轴的交点的个数为2或1. (2)当x＝1时，y＝m＋n－(m＋n)＝0， ∴抛物线不经过点C. 把点A(－2，6)，B(0，－1)分别代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4m－2n－（m＋n）＝6，,－（m＋n）＝－1，)))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2)，,n＝－\f(1,2)，))) ∴二次函数表达式为y＝eq \f(3,2)x2－eq \f(1,2)x－1. 12．在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和(2，n)在抛物线y＝－x2＋bx上． (1)若m＝0，求该抛物线的对称轴； (2)若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t. ①直接写出t的取值范围； ②已知点(－1，y1)，(eq \f(3,2)，y2)，(3，y3)在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 解 (1)若m＝0，则点(1，0)在抛物线y＝－x2＋bx上，∴0＝－1＋b，解得b＝1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2×（－1）)＝－eq \f(1,－2)＝eq \f(1,2). (2)①∵y＝－x2＋bx， ∴抛物线开口向下且经过原点． 当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而减小，0＞m＞n不满足题意； 当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，0＞n＞m不满足题意； 当b＞0时，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＞0，x＝2时n＜0， 即抛物线和x轴的2个交点，一个为(0，0)，另外一个在1和2之间， ∴抛物线对称轴在直线x＝eq \f(1,2)与直线x＝1之间，即eq \f(1,2)＜t＜1. ②∵点(－1，y1)与对称轴距离eq \f(3,2)＜t－(－1)＜2， 点(eq \f(3,2)，y2)与对称轴距离eq \f(1,2)＜eq \f(3,2)－t＜1， 点(3，y3)与对称轴距离2＜3－t＜eq \f(5,2)， ∴y3＜y1＜y2. $$