专题15.5 分式（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题15.5 分式（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【要点提示】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2. 分式的基本性质 　　 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 【知识点2】分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ； 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 4．零指数 　　. 5.负整数指数 　　 6.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 【知识点3】分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【要点提示】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 【知识点4】分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 知识点与题型目录 【知识点一】分式的有关概念与性质 【题型1】分式的意义与分式的值...............................................3 【题型2】分式的基本性质.....................................................5 【题型3】最简分式与约分.....................................................7 【知识点二】分式的运算 【题型4】最简公分母.........................................................8 【题型5】约分与通分.........................................................9 【题型6】分式的乘除运算....................................................10 【题型7】分式的加减运算....................................................12 【题型8】分式的加减乘除混合运算............................................13 【题型9】分式的化简求值....................................................15 【题型10】整数指数幂.......................................................18 【知识点三】分式方程 【题型11】解分式方程.......................................................19 【题型12】分式方程的增根与无解.............................................10 【题型13】根据分式方程解的情况求参数取值范围...............................22 【知识点四】分式方程的应用 【题型14】列分式方程解应用题...............................................24 【知识点五】直通中考与拓展延伸 【题型15】直通中考.........................................................26 【题型16】拓展延伸.........................................................28 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式的意义与分式的值 【例1】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是分式的值，分式无意义的条件，解一元一次不等式组，掌握分式的值为正数、值为零、分式有意义、无意义的条件是解题的关键． （1）分式的分子为0，分母不为0时，y的值为0； （2）分式的分母为0时，分式无意义； （3）分式的分子、分母同号时，y的值是正数； 解：（1）当分子值为0，分母的值不为0时，分式值为0， 所以，解得， 此时，所以当时，y的值为0； （2）当分母为0时，分式无意义，则时，即时分式无意义； （3）因为y的值为正数，所以可得：①或②， 解①得，此时无解，解②得，解为， ∴当时，y的值为正数． 【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知：（、、均不为零），则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可．解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键； 解：根据题意得：，， 解得：且， 故选：C 【变式3】（22-23九年级上·江苏南京·开学考试）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 【答案】A 【分析】本题考查了分式的意义，掌握当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式的性质逐一判断即可． 解：A、当时，无意义，符合题意； B、当时，无意义，不符合题意； C、当时，的值不存在，不符合题意； D、当时，的值为正数，不符合题意． 故选：A． 【题型2】分式的基本性质 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 【答案】两人的说法都是错的，见解析 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可． 解：他们两人的说法都是错的． ①式是对的， 左边的分式是一定有意义的， ， 分式的分子、分母同时除以，分式的值不变． ②式是错的， 分式的分子、分母同时乘，这里的有可能为， 分式的值可能改变． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍 【答案】B 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．熟练掌握利用分式的基本性质判断分式值的变化是解题的关键． 根据判断作答即可． 解：分式中的，的值都扩大为原来的3倍得，， ∴分式的值不变， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】先整理得，即，因式分解，得，则或，再代入代数式中可求值．利用因式分解对所给条件化简，再代入求值． 解：由，得 即， 或， 当时，， 则； 当时，，则的分母为0 ，故舍去， 故答案为：． 【题型3】最简分式与约分 【例3】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简下列分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 解：（1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式的判断、分式的化简等知识.把分式化简后根据最简分式的定义进行判断即可. 解：A. ，故选项不是最简分式，不合题意； B. ，选项是最简分式，符合题意； C. ，故选项不是最简分式，不合题意； D. ，故选项不是最简分式，不合题意； 故选：B 【变式2】（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 【题型4】最简公分母 【例4】（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）分式 ， ，的最简公分母是 【答案】ab(a+b)(a-2b) 【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案． 解：分式 ， ，的分母依次为：，， 故最简公分母是ab(a+b)(a-2b) 故答案为：ab(a+b)(a-2b) 【点拨】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【变式】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 【题型5】约分与通分 【例5】（23-24八年级下·江苏南京·期中） （1）通分：和； （2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 解：（1）； （2）原式． 【变式1】（19-20七年级上·上海金山·期中）已知对于成立，则A= ,B= ． 【答案】 5 2 【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果. 解：∵， ∴， ∴，即， ∴，解得. 【点拨】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元一次方程组解法是解题的关键. 【变式2】计算：. 【答案】 【分析】本题是三个包含未知数的分数方程求和，需要先将三个分式的分母利用十字交叉法化为两个因式的乘积，最后在将三个分式进行通分，化简后得出答案. 解： 【点拨】本题考查分式的混合运算. 【题型6】分式的乘除运算 【例6】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； （）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； 此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果． 解： ； 故选：D． 【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业） ． 【答案】－1 【分析】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可． 解： ． 故答案为：． 【题型7】分式的加减运算 【例7】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（20-21八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算的正确结果是（      ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减法，即可得到答案． 解： = = =； 故选：B． 【点拨】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 【变式2】（20-21八年级上·甘肃陇南·期末）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 【题型8】分式的加减乘除混合运算 【例8】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算： (1)​； (2)​ 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键： （1）先进行乘法运算，再进行加减运算即可； （2）先通分计算括号内，再把除法变乘法，进行计算即可． 解：（1）原式 （2）原式 ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）要使式子的值为负整数，则的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值；先计算分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再由分式的值为负整数，可得或，从而可得答案． 解： ； ∵分式的值为负整数， 或， 则或3． 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用：分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意得：，，代入原式后化简即可求解． 解：根据题意得：， ∵， ∴代入到上式，即原式， ， ， ， 故答案为：． 【题型9】分式的化简求值 【例9】（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】(1)，当时，原式； (2)，． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键 （1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的值代入计算即可； （2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减法，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 解：（1）原式 ，即 当时，原式； （2）原式= ， 原式 ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的不等式组的整数解仅为，若为整数，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到，再根据不等式组的整数解仅为得到，再把原分式化简，最后代值计算即可． 解：解不等式组得． ∵不等式组的整数解仅为1，2，3，且为整数， ∴， ∴． 当时，原式， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数． 设，，得，记（取正整数），的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键，化简为，代入算式，利用裂项相消计算，即可解题． 解： ， ， ， 故选：C． 【题型10】整数指数幂 【例10】（2024·云南昆明·模拟预测）计算： 【答案】4 【分析】本题考查有理数的乘方，开方和去绝对值以及负整数指数幂、零次幂的运算．先进行乘方，开方和去绝对值以及负整数指数幂、零次幂的运算，再进行加减运算． 解： ． 【变式1】（24-25八年级上·广西来宾·期中）下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂和同底数幂的乘法，根据运算法则逐项分析计算即可． 解：A、 ，故该选项正确； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了零指数幂，乘方，熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据题意分三种情况进行分类讨论即可． 解：当时，，解得； ②当时，； 当为偶数时，，解得． 故答案为：或或． 【题型11】解分式方程 【例11】（24-25八年级上·北京顺义·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握分式方程的运算法则是解题的关键． （1）根据分式方程的运算法则进行运算即可；（2）根据分式方程的运算法则进行运算即可； 解：（1） 解：整理可得：， 所有项同乘可得：， 移项可得：， 合并可得：， 系数化为可得：， 检验：把代入可得：， ∴此方程无解； （2） 解：整理可得： ， 所有项同乘可得： ， 移项可得： ， 合并可得：， 系数化为可得：， 检验：把代入可得：， ∴是原方程的解． 【变式1】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知方程，且关于x的不等式组只有2个整数解，那么b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先解分式方程，得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 解：解方程，得， 经检验，是该分式方程的解， ∵关于x的不等式组，即只有2个整数解， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 根据分式方程的计算步骤求解即可； 解： 去分母得：， 移项： 合并同类项： 解得： 当时，， 故答案为： 【题型12】分式方程的增根与无解 【例12】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知关于x的分式方程 (1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，（1）先把分式方程化成整式方程，再根据分式方程有增根的条件可得增根为或，即可求解； （2）由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解，再根据分式方程无解的条件可得当时，x无意义即无解，即可求解． 解：（1）化成整式方程得，， 即， 若该方程有增根，则增根为或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，当或时，该方程有增根； （2）由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解， 去分母后的整式方程为：， 当时，即时，x无意义即无解， 综上知：若原分式方程无解，则或或． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的主要是分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据增根的定义可得出，然后去分母得出：，把代入得，即可得出m的值． 解：∵分式方程有增根， ∴， 原方程去分母可得：， 把代入可得：， 解得：． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是关于的方程． （1）若方程有增根，则的值为 ，方程的增根为 ； （2）若方程无解，则的值为 ． 【答案】 0 0或2 【分析】题目主要考查根据分式方程解的情况确定参数，理解分式方程有增根与无解的情况是解题关键． （1）根据分式方程有增根的情况求解即可； （2）根据分式方程无解的情况求解即可． 解：（1）去分母得，， 方程有增根， 或， 当时，；当时，整式方程无解， 方程的增根为，的值为0， 故答案为：0；； （2）关于的方程无解， 整式方程的解是分式方程的增根或整式方程无解． ，， 当整式方程的解是分式方程的增根时，或， 当时，，当时，整式方程无解， 当整式方程无解时，， ，故分式方程无解时的值为0或2， 故答案为：0或2． 【题型13】根据分式方程解的情况求参数取值范围 【例13】（24-25八年级上·全国·单元测试）当为何值时，关于的方程的解小于零． 【答案】且． 【分析】本题考查了分式方程的解，要注意分式方程的解不能使最简公分母等于0．方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，求解，再根据解小于0列出不等式，然后求解即可． 解：方程两边都乘以去分母得， ， 整理得，， 解得， 方程的解小于零， 且， 解得且． 【变式1】（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键．先解分式方程，利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， ∵x为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴，即， ∴m的取值范围是且， 故答案为：且． 【题型14】列分式方程解应用题 【例14】（24-25八年级上·山东威海·期中）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】（1）40，60（2）方案C 【分析】本题考查分式方程的应用． （1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 解：（1）设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：大巴的平均速度为40公里小时，小车的平均速度为60公里小时； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选， 方案的工程款为（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，选择方案最节省工程款． 【变式1】开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的应用，确定等量关系具体化即可． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 解：设A品牌足球单价为x元，根据题意，得． 故选C． 【变式2】（23-24八年级下·全国·阶段练习）某企业接到一批生产甲种板材、乙种板材的订单．已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材或乙种板材 ，则应安排 人生产甲种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务． 【答案】80 【分析】本题考查了分式方程的应用，设安排x人生产甲种板材，则安排人生产乙种板材，根据“他们用相同的时间完成各自的生产任务”列方程求解即可． 解：设安排x人生产甲种板材，则安排人生产乙种板材， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴安排80人生产甲种板材， 故答案为：80． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型15】直通中考 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 【题型16】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 解：（1）方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 【例2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点． 【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小； （2）运用“作差法”计算，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式分解，最后得到根据，，得到，即可解答； （3）先计算甲同学所需时间：，乙同学所需时间为，再计算，根据，，得到，即可得到，从而解答． 解：（1）第一个长方形的周长为：， 第二个长方形的周长为：， ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴； （3）甲同学所需时间：， 设乙同学所需时间为x，则， 解得：， 即乙同学所需时间为， ∵ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴乙先到达终点． 【点拨】本题考查列代数式，整式的加减，分式的加减，运用完全平方公式进行变形计算，因式分解，判断式子的正负，掌握“作差法”是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.5 分式（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【要点提示】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2. 分式的基本性质 　　 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 【知识点2】分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ； 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 4．零指数 　　. 5.负整数指数 　　 6.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 【知识点3】分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【要点提示】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 【知识点4】分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 知识点与题型目录 【知识点一】分式的有关概念与性质 【题型1】分式的意义与分式的值...............................................3 【题型2】分式的基本性质.....................................................3 【题型3】最简分式与约分.....................................................4 【知识点二】分式的运算 【题型4】最简公分母.........................................................4 【题型5】约分与通分.........................................................5 【题型6】分式的乘除运算.....................................................5 【题型7】分式的加减运算.....................................................5 【题型8】分式的加减乘除混合运算.............................................5 【题型9】分式的化简求值.....................................................6 【题型10】整数指数幂........................................................6 【知识点三】分式方程 【题型11】解分式方程........................................................6 【题型12】分式方程的增根与无解..............................................7 【题型13】根据分式方程解的情况求参数取值范围................................7 【知识点四】分式方程的应用 【题型14】列分式方程解应用题................................................7 【知识点五】直通中考与拓展延伸 【题型15】直通中考..........................................................8 【题型16】拓展延伸..........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式的意义与分式的值 【例1】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知：（、、均不为零），则 ． 【变式2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【变式3】（22-23九年级上·江苏南京·开学考试）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 【题型2】分式的基本性质 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【题型3】最简分式与约分 【例3】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简下列分式： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 【题型4】最简公分母 【例4】（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）分式 ， ，的最简公分母是 【变式】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【题型5】约分与通分 【例5】（23-24八年级下·江苏南京·期中） （1）通分：和； （2）约分： 【变式1】（19-20七年级上·上海金山·期中）已知对于成立，则A= ,B= ． 【变式2】计算：. 【题型6】分式的乘除运算 【例6】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业） ． 【题型7】分式的加减运算 【例7】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（20-21八年级上·河北石家庄·阶段练习）计算的正确结果是（      ） A． B． C．1 D． 【变式2】（20-21八年级上·甘肃陇南·期末）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【题型8】分式的加减乘除混合运算 【例8】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算： (1)​； (2)​ 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）要使式子的值为负整数，则的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知实数满足，则 ． 【题型9】分式的化简求值 【例9】（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的不等式组的整数解仅为，若为整数，则代数式的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数． 设，，得，记（取正整数），的值为（   ） A． B． C． D． 【题型10】整数指数幂 【例10】（2024·云南昆明·模拟预测）计算： 【变式1】（24-25八年级上·广西来宾·期中）下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 【题型11】解分式方程 【例11】（24-25八年级上·北京顺义·期中）解方程 (1) (2) 【变式1】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知方程，且关于x的不等式组只有2个整数解，那么b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）方程的解为 ． 【题型12】分式方程的增根与无解 【例12】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知关于x的分式方程 (1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是关于的方程． （1）若方程有增根，则的值为 ，方程的增根为 ； （2）若方程无解，则的值为 ． 【题型13】根据分式方程解的情况求参数取值范围 【例13】（24-25八年级上·全国·单元测试）当为何值时，关于的方程的解小于零． 【变式1】（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【题型14】列分式方程解应用题 【例14】（24-25八年级上·山东威海·期中）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【变式1】开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·阶段练习）某企业接到一批生产甲种板材、乙种板材的订单．已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材或乙种板材 ，则应安排 人生产甲种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型15】直通中考 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【题型16】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【例2】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$