大题突破01 与有理数有关的5种大题专练-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点复习指南（人教版2024）

2024-2025七年级数学上学期期末考点复习指南（人教版2024） 大题突破01 与有理数有关的5种大题专练 一．正数和负数 1．（2023秋•常宁市期末）某中学对七年级男生进行引体向上测试，8个为达标标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中10名男生成绩分别为：2，，0，3，，1，3，，2，0． （1）这10名男生中有几名达到标准？达标率是多少？ （2）他们共做了多少个引体向上？ 【解析】（1）这10名男生中有7人达标；， 所以达标率是； （2）解法一： ， 答：这10名男生一共做了85个引体向上． 2．（2023秋•赣州期末）某中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，其中一个运动项目为“一分钟跳绳”．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次），，，，，，，，，． （1）求该班参赛代表最好的成绩与最差成绩相差多少？ （2）求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？ 【解析】（1） （次， 即最好成绩与最差成绩相差30次； （2） （次， 即该班参赛代表一分钟平均每人跳绳166次． 3．（2023秋•兴城市期末）为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 （1）求这8筐花生的总重量为多少千克？ （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元千克的价格全部售出，已知七年一班在播种时，以10元千克的价格购进花生种子5千克，请你帮七年一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【解析】（1）， 所以这8筐的总质量为， 答：这8筐花生的总重量为117千克； （2）（元， 答：他们此次耕种花生获利了769元． 4．（2023秋•灵武市期末）2023年是中国提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来，共建“一带一路”实现了从理念到行动、从愿景到现实的转化，形成了物畅其流、政通人和、互利共赢、共同发展的良好局面．在此倡议的影响下，某市农产品已经出口到了76个国家和地区，其中涉及“一带一路”沿线国家和地区33个．下面是某市5—10月份农产品的出口量（以700为标准，超出记为“”，不足记为“”，单位：吨），请根据表中信息解决下列问题． 月份 5 6 7 8 9 10 农产品出口量（单位：吨） （1）这6个月农产品出口量最多的是 　　吨，月最高出口量比最低出口量多 　　吨； （2）求该市这6个月平均每个月的农产品出口量． 【解析】（1）（吨，（吨， 即这6个月农产品出口量最多的是780吨，月最高出口量比最低出口量多132吨， 故答案为：780；132； （2） （吨， 即该市这6个月平均每个月的农产品出口量为711.5吨． 5．（2023秋•即墨区期末）风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化．下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ （2）该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【解析】（1）（只， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； （2）一周总生产量（只， 基本工资：（元， 超额奖励：由于实际生产量超过了计划量只）， 超出的数量为（只， 超出部分每多生产一只奖励5元，因此额外奖励为（元， 一周总工资基本工资超额奖励（元， 答：该厂工人这一周的工资总额是14575元． 6．（2023秋•新干县期末）聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 星期 学生 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 0 5 慧慧 8 0 0 0 0 根据上表回答下列问题： （1）分别说出聪聪这一行中10，0，各数的实际意义． （2）把上表补充完整． 【解析】（1）聪聪这一行中，10表示周一收入10元，0表示周三没有收支情况；表示本周结余是支出2元； （2）补充表格如下： 星期 学生 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 0 5 慧慧 8 0 0 0 0 1 7．（2023秋•长春期末）有20筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）在这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）求这20筐苹果的总质量． 【解析】（1）（千克）， 答：20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克； （2）（千克） 答：这20筐苹果的总质量时508千克． 8．（2023秋•宜城市期末）某苹果苗圃培育了一批树苗，从中抽取20棵测量其高度，以为标准，超过的厘米数记为正，不足的记为负．记录如表： 与的差值 0 抽取树苗数棵 4 6 1 4 5 （1）所抽取的20棵树苗中，最高的一棵比最矮的一棵高多少厘米？ （2）计算所抽取的20棵树苗的平均高度． 【解析】（1）（厘米）； 答：最高的一棵比最矮的一棵高4.5厘米； （2）（厘米）． 答：所抽取的20棵树苗的平均高度60.35厘米． 9．（2023秋•法库县期末）刘明利用业余时间进行飞螺训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表（正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 平均成绩变化（环 （1）本周哪一天的平均成绩最高？它是多少环？ （2）本周哪一天的平均成绩最低？它是多少环？ （3）本周日的成绩和上周日的成绩相比是提高了还是下降了？其变动的环数是多少？ 【解析】（1）周日8.5环， 周一（环， 周二（环， 周三（环， 周四（环， 周五（环， 周六（环， 周日（环， 答：本周二和本周五平均成绩最高，是9.7环； （2）由（1）得本周日平均成绩最低，是8.9环． （3）由（1）得本周日的成绩是8.9环， （环， 本周日的成绩和上周日的成绩相比是提高了，提高0.4环． 10．（2023秋•息县期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　　． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【解析】（1）由题意得， ， 所以路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天， 所以， 故答案为：49． （2）由题意得， ， ； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）用汽油的费用：（元， 用电的费用：（元， （元， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 11．（2023秋•兰州期末）为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米），，，，，，．通过计算说明守门员最后是否回到了球门线的位置． 【解析】， 守门员最后没有回到球门线的位置． 12．（2023秋•咸宁期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 138.1 188 458 表中星期六的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏是多少？ 【解析】解一：， ， ， 因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元， 答：星期六是盈利38元． 解二：设星期六为元，则：， ， ， 因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元， 答：星期六是盈利38元． 二．有理数 13．（2023秋•桂林期末）将有理数，0，，2023，，0.6分别填在相应的大括号里． 整数： 　； 负数： 　　； 正分数： 　　． 【解析】整数：，； 负数：，； 正分数：，． 故答案为：0，2023；，；，0.6． 14．（2024秋•黔东南州期末）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，1.4，，，0，，，（每两个1之间逐次增加一个． 正数集：； 非负整数集：　　； 负分数集：　　； 有理数集：　　． 【解析】正数集：，1.4，，； 非负整数集：，； 负分数集：，，； 有理数集：，，1.4，，，0，． 故答案为：5，1.4，，0.101001001；5，0；，，；5，，1.4，，，0，． 15．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合： 　， 负整数集合： 　　， 正分数集合： 　　， 非负整数集合： 　　． 【解析】正有理数集合：，0.0708，3.14，，， 负整数集合：，， 正分数集合：，3.14，，， 非负整数集合：，0，． 故答案为：1，0.0708，3.14，；；0.0708，3.14，；1，0． 16．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，，0，，，，，0.3，，，． 正数集合：　　 ； 负数集合： 　　； 整数集合： 　　； 分数集合： 　　． 【解析】正数集合：，，0.5，，，0.3，，； 负数集合：，，，； 整数集合：，，0，，； 分数集合：，0.5，，，0.3，． 故答案为：1，，0.5，，，0.3，，； ，，，； 1，，0，，； ，0.5，，，0.3，． 17．（2023秋•武都区期末）把下列各数分别填入相应的集合里． ． （1）负数集合： 　　； （2）整数集合： 　　； （3）分数集合： 　　． 【解析】（1）， 负数集合：，，，； 故答案为：，，，． （2）整数集合：，，20，，； 故答案为：0，，20，，． （3）分数集合：； 故答案为：． 三．数轴 18．（2023秋•湘潭县期末）如图为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至富士康站，途中共设12个上下车站点．某天，小王从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到站下车时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站），，，，，，，，，． （1）请通过计算说明站是哪一站？ （2）若相邻两站之间的平均距离为2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 【解析】（1），即站在电业局站东5站， 所以站是市政府； （2）（千米）， 答：这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是98千米． 19．（2023秋•耿马县期末）一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了2个单位长度到达点，再向右爬了3个单位长度到达点，然后向左爬了9个单位长度到达点． （1）画数轴表示点、、所在的位置，并写出、、三点表示的数； （2）根据点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 【解析】（1）原点出发，它先向右爬了2个单位长度到达点，再向右爬了3个单位长度到达点，然后向左爬了9个单位长度到达点． 点表示2，点表示5，点表示， （2）点表示， 蚂蚁实际上是从原点出发，向左爬行了4个单位长度． 20．（2023秋•新华区期末）在数轴上有5个点，，，，，每相邻两个点之间的距离（均为单位长度）如图所示，若这五个点分别对应的数用，，，，表示． （1）已知点与点到原点的距离相等， ①原点为点 　　； ② 　　， 　　； （2）若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； （3）已知，，则原点在 　　段内． ． ． ． ． 【解析】（1）①点与点到原点的距离相等， 是的中点， 点是原点， 故答案为：； ②点是原点，， ， ， ， 故答案为：，3； （2）点到原点的距离是5个单位长度，， 点表示的数是或8； （3），， ，， 当原点在之间时，， 此时； 当原点在之间时，， 此时； 原点在之间， 故选：． 21．（2023秋•西峰区期末）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，已知． （1）原点在第 　③　部分； （2）若，，，求的值； （3）在（2）的条件下，数轴上一点表示的数为，若，直接写出的值． 【解析】（1）， ，异号， 原点在，之间，即第③部分， 故答案为：③； （2），，点在点的右边， 表示的数为：， ，点在点的左边， 点表示的数为：， 的值为； （3）表示的数为2， ， 点表示的数为，点表示的数为，， ， 解得：或， 的值为3或． 22．（2023秋•平定县期末）如图所示的送餐机器人在一条东西走向的走道上为客人服务，从取餐点出发，先向东移动到达3号桌处，然后向西移动到达2号桌处，再返回取餐点． （1）以取餐点为原点，向东方向为正方向，画出数轴，并在数轴上表示出，，三处的位置； （2）处离处有多远？ （3）机器人一共移动了多少米？ 【解析】（1）如图所示： （2）处离处有． （3）由（1）中数轴可知，机器人一共移动的路程为． 23．（2023秋•商南县期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点表示，点表示8． （1）点表示的有理数是 　　，表示原点的是点 　　． （2）图中哪些点表示的有理数互为相反数？ （3）图中的数轴上另有点到点，点距离之和为13，求点表示的有理数． 【解析】（1），， 图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度， 则表示：，表示，是原点． 故答案为：，； （2）由（1）可知为原点，且相邻两点之间的距离都相等， 和，和，分别互为相反数； 故答案为：和，和； （3）， 不在线段上，设表示的数是， 当在的左边时：，解得； 当在的右侧时：，解得， 则点表示：或8.5． 故答案为：或8.5． 24．（2023秋•东港区期末） 已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． （1）的长为 　　； （2）如果点到点、点的距离相等，那么的值是 　　； （3）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 【解析】（1）的长为； （2）根据题意得：， 解得：； （3）①当点在点的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②在点和点之间时，则，方程无解，即点不可能在点和点之间． ③点在点的右侧时，． 解得：． 的值是或5； （4）设运动分钟时，点到点，点的距离相等，即． 点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是． ①当点和点在点同侧时，点和点重合， 所以，解得，符合题意． ②当点和点在点异侧时，点位于点的左侧，点位于点的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点在点左侧，且点运动的速度大于点的速度，所以点永远位于点的左侧）， 故．． 所以，解得，符合题意． 综上所述，的值为或4． 25．（2023秋•东城区期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以，所得数对应的点为．若，是正整数），则称点为点的“倍关联点”．已知数轴上点表示的数为2，点表示的数为．例如，当，时，若点表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． （1）当，时，已知点的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点表示的数为 　　； （2）已知点在点右侧，点的“6倍关联点” 表示的数为11，则点表示的数为 　　； （3）若点从点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点从点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点始终为点的“倍关联点”，直接写出的值． 【解析】（1）设表示的数为，则有：， ， 即表示的数为1． 故答案为：1． （2）设表示的数为，在的右侧，则， 的正因数有1、2、3、6， ①当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ②当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ③当，时，则有，解得：，符合题意； ④当，时，则有，解得：，符合题意； 综上所述，为或5，即表示的数为或5． 故答案为：或5． （3）设运动时间为秒，则表示的数为，点表示的数为， 点始终为点的“倍关联点”， ， ， 对于任意都成立 ，， 解得：，， ． 26．（2023秋•朝阳区期末）对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段． （1）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为4，在线段，，中，与线段互为友好线段的是 　，　； （2）在数轴上，点，，，表示的数分别为，，，且，不重合．若线段，互为友好线段，直接写出的值． 【解析】（1）点表示的数为2，点表示的数为， ， ， 的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或． 点表示的数为，点表示的数为2， ，， 的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或． 点表示的数为2，点表示的数为， ，． 的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或； 的中点是的一个三等分点，的中点是的一个三等分点， ，与互为友好线段． 与无重叠部分，与不可能是互为友好线段． 故答案为：，； （2）， ， ，， 的中点表示的数是， 三等分点表示的数是或； 点，表示的数分别为，， 的中点表示的数是． 当的中点是的一个当的中点是的一个三等分点时， 或； 或． 当的中点是的一个三等分点时， 若，即时， ，， 三等分点表示的数是或 或 解得或． 若，即时， ，， 三等分点表示的数是或， 或， 解得（舍去）或（舍去）． 综上可知，的值为，7，9，26．本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 27．（2023秋•桐城市校级期末）已知有理数，，在数轴上对应位置如图所示，化简． 【解析】由数轴可得，，， ． 28．（2023秋•安顺期末）某纯净水公司每天按照顺序派车为，，，，，，，八个小区运送桶装水，送水工开车从公司（原点）出发，沿公路向东西方向行驶，将水送至各小区门口．如果规定从出发点出发向东为正、向西为负．送水工某天的行驶记录如下（单位：百米），，，，，，，． （1）送完最后一个小区后，送水工的车在出发点的什么方向？距离出发点多远？ （2）若该车的耗油量为0.9升千米，则该天这个送水工的车共耗油多少升？ 【解析】（1） ． 答：送水工的车在出发点的东边，距离出发地400米． （2）百米千米． ． 答：该天这个送水工的车共耗油6.48升． 29．（2023秋•门头沟区期末）已知数轴上点，对应的数分别为，，且，点在线段上，点为数轴上一动点，其对应的数为．我们规定：点到点的距离的最小值为点到线段的“到达距离”． （1）如图1，当点与数轴上原点重合时， ①如果，那么点到线段的“到达距离”是 　　； ②如果点到线段的“到达距离”是2，那么　　； （2）当点对应的数在之间（包含，时，如果点到线段的“到达距离”始终大于3，直接写出的取值范围． 【解析】（1），， ， 点到点的距离的最小值为点到线段的“到达距离”，且点与数轴上原点重合时， 点到线段的“到达距离”是1， 故答案为：1． （2）点到线段的“到达距离”是2，且点与数轴上原点重合时，， 当时，，点到线段的“到达距离”是2，符合题意； 当时，，点到线段的“到达距离”是0，不符合题意； 当时，，点到线段的“到达距离”是0，不符合题意； 当时，，点到线段的“到达距离”是2，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． （3）当点对应的数在之间（包含，时，， 点对应的数在之间（包含0，， 点到线段的“到达距离”始终大于3， 点在线段外， 这里只考虑两种极限：①当，时，点到线段的“到达距离”始终大于3，点在线段的左侧，则，即； ②当，时，点到线段的“到达距离”始终大于3，点在线段的右侧，则，即； 综上所述，如果点到线段的“到达距离”始终大于3，则或． 30．（2023秋•白云区期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是13． （1）点和点在数轴上的距离是 　　个长度单位； （2）点，，为数轴上的三个动点，点的速度为3个单位长度每秒，点的速度为11个单位长度每秒，点的速度为2个单位长度每秒．点和点从点出发，点从点出发． ①三点同时出发向右运动，当点与点重合时，求点所对应的数； ②三点同时出发向右运动，当点与点重合后，点立即沿反方向运动，当点与点相遇时，求此时点所对应的数． 【解析】（1）数轴上点表示的数是，点表示的数是13， 点和点在数轴上的距离是个长度单位， 故答案为：18； （2）①设运动时间为秒， 由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点重合， ， 解得， ， 当点与点重合时，点所对应的数为1； ②设当点与点重合后，经过秒点与点相遇， 由①可知当点与点重合时，点和点表示的数为，点表示的数为1， ， 解得， ， 此时点表示的数为． 31．（2023秋•开江县期末）如图，点、和线段都在数轴上，点、、、对应的数字分别为、0、2、11．线段沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为秒． （1）用含有的代数式表示的长为　　 （2）当　　时，． （3）若点、与线段同时移动，点以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，和可能相等吗？若相等，请求出的值，若不相等，请说明理由． 【解析】（1）点、、对应的数字分别为、0、2，线段沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为秒， 移动后表示的数为，表示的数为， ． 故答案为：． （2）由（1）可知：， ， ， 解得：． 故答案为：． （3）假设能相等，则点表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， ，， ， ， 解得：，． 故在运动的过程中和能相等，此时运动的时间为秒和8秒． 32．（2023秋•宣汉县校级期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点，，表示的数分别是1，4，5，此时点是点，的“倍分点”． （1）当点表示数，点表示数2时，下列各数，1，4是点，的“倍分点”的是 　　； （2）当点表示数，点表示数30时，为数轴上一个动点． ①若点是点，的“倍分点”，求此时点表示的数； ②若点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点表示的数． 【解析】（1），， 数不是点，的“倍分点”； ，， 数1是点，的“倍分点”； ，， 数4是点，的“倍分点”； 故答案为：1，4； （2）设点对应的数为， ①当点在，之间时，因为， 所以当时，，即； 当时，，即； 当点在点右侧，，即，解得； 当点在点左侧，，即，解得； 综上，点表示的数可为20，0，50，； ②由①得点是倍分点时，点表示的数可为20，0，50，； 当点为倍分点，点在，之间时，，即，解得； 点在点左侧时，，即，解得；，，解得； 点在点右侧，，即，解得； 当点为倍分点时，同理可求，，150，． 综上，点表示的数可为：20，0，50，，，，，110，，，150，． 33．（2023秋•信阳期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ 【解析】（1）数轴上点表示的数为6， ， 则， 点在原点左边， 数轴上点所表示的数为； 点运动秒的长度为， 动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 所表示的数为：； （2）①点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动5秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当不超过，则，解得； 当超过，则，解得； 答：当点运动1或9秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 34．（2023秋•大余县期末）已知有理数、、在数轴上的位置，化简． 【解析】根据数轴上点的位置得：， ，， 则原式． 35．（2023秋•顺义区期末）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点，，所表示的数分别为1，4，5，此时点是点，的“三倍点”． （1）点表示的数是，点表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是，，，，其中是点，的“三倍点”的是 　　； （2）点表示的数是，点表示的数是14，为数轴上一个动点，若点是点，的“三倍点”，求点表示的数． 【解析】（1）点表示的数是，点表示的数是2，点为1， ，， 是、的“三倍点”； 点表示的数是，点表示的数是2，点为4， ，， 是、的“三倍点”； 点表示的数是，点表示的数是2，点为6， ，， 不是、的“三倍点”； 点表示的数是，点表示的数是2，点为8， ，， 不是、的“三倍点”； 故答案为：、． （2）若点在点的左侧，且点是点，的“三倍点”，设点表示的数为， 则有：，， 解得：； 若点在点的右侧，且点是点，的“三倍点”，设点表示的数为， 则有：，， 解得：； 若点在点、的两点之间，且点是点，的“三倍点”，设点表示的数为， 则有：或，或， 解得：或， 故答案为：或或或． 四．绝对值 36．（2023秋•东昌府区期末）先化简，再求值： 已知有理数，，位置如图所示． 请化简：． 【解析】由题意可知：， ，，， ． 37．（2022秋•丰泽区校级期末）若用点、、分别表示有理数、、，如图： （1）判断下列各式的符号：　　0；　　0；　　0 （2）化简 【解析】（1），，． 故答案为：，，； （2） ． 38．（2017秋•河源期末）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简： 【解析】、在原点的左侧，， ，， ，， ， ， ， 原式 ． 故答案为：． 39．（2023秋•余干县期末）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 　　0， 　　0， 　　0． （2）化简：． 【解析】（1）由图可知，，，且， 所以，，，； 故答案为：，，； （2） ． 五．有理数大小比较 40．（2023秋•岚皋县校级期末）画出数轴，并解答下列问题： （1）在数轴上表示下列各数：4，，，0，，1； （2）按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 【解析】（1）如图所示， （2）由（1）可知，． 41．（2023秋•东莞市校级期末）有理数、、在数轴上的位置如图． （1）用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0． （2）化简：． 【解析】观察数轴可知：． （1）， ，，． 故答案为：；；． （2），，， ． 42．（2023秋•仙居县期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等． （1）填空：数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　． （2）点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． （3）将，，，四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【解析】（1）点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）如图， ； （3）由数轴知：． 43．（2023秋•邢台期末）已知有五个有理数，分别是：2.5，，，，0． （1）请把这五个有理数在数轴上表示出来； （2）按照从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 【解析】（1），， 这五个有理数在数轴上表示为： （2）观察数轴，这5个有理数按照从小到大的顺序排列为：． 44．（2023秋•达州期末）如图，数轴上有，，三点． （1） 　　0， 　　0， 　　0；（填“ “，“”，“ ” （2）化简． 【解析】（1）由，，三点在数轴上的位置可知，，， ，，， ，，， 故答案为：，，． （2）， ． ，，， 原式 ． 45．（2023秋•东莞市校级期末）在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“”号把这些数连接起来． ，，，0． 【解析】如图： ． 46．（2023秋•东昌府区期末）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，0，，． 【解析】，， 在数轴上画出表示各数的点，如下： ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025七年级数学上学期期末考点复习指南（人教版2024） 大题突破01 与有理数有关的5种大题专练 一．正数和负数 1．（2023秋•常宁市期末）某中学对七年级男生进行引体向上测试，8个为达标标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中10名男生成绩分别为：2，，0，3，，1，3，，2，0． （1）这10名男生中有几名达到标准？达标率是多少？ （2）他们共做了多少个引体向上？ 2．（2023秋•赣州期末）某中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，其中一个运动项目为“一分钟跳绳”．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次），，，，，，，，，． （1）求该班参赛代表最好的成绩与最差成绩相差多少？ （2）求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？ 3．（2023秋•兴城市期末）为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 （1）求这8筐花生的总重量为多少千克？ （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元千克的价格全部售出，已知七年一班在播种时，以10元千克的价格购进花生种子5千克，请你帮七年一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 4．（2023秋•灵武市期末）2023年是中国提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来，共建“一带一路”实现了从理念到行动、从愿景到现实的转化，形成了物畅其流、政通人和、互利共赢、共同发展的良好局面．在此倡议的影响下，某市农产品已经出口到了76个国家和地区，其中涉及“一带一路”沿线国家和地区33个．下面是某市5—10月份农产品的出口量（以700为标准，超出记为“”，不足记为“”，单位：吨），请根据表中信息解决下列问题． 月份 5 6 7 8 9 10 农产品出口量（单位：吨） （1）这6个月农产品出口量最多的是 　　吨，月最高出口量比最低出口量多 　　吨； （2）求该市这6个月平均每个月的农产品出口量． 5．（2023秋•即墨区期末）风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化．下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ （2）该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 6．（2023秋•新干县期末）聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 星期 学生 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 0 5 慧慧 8 0 0 0 0 根据上表回答下列问题： （1）分别说出聪聪这一行中10，0，各数的实际意义． （2）把上表补充完整． 7．（2023秋•长春期末）有20筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）在这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）求这20筐苹果的总质量． 8．（2023秋•宜城市期末）某苹果苗圃培育了一批树苗，从中抽取20棵测量其高度，以为标准，超过的厘米数记为正，不足的记为负．记录如表： 与的差值 0 抽取树苗数棵 4 6 1 4 5 （1）所抽取的20棵树苗中，最高的一棵比最矮的一棵高多少厘米？ （2）计算所抽取的20棵树苗的平均高度． 9．（2023秋•法库县期末）刘明利用业余时间进行飞螺训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表（正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降） 星期 一 二 三 四 五 六 日 平均成绩变化（环 （1）本周哪一天的平均成绩最高？它是多少环？ （2）本周哪一天的平均成绩最低？它是多少环？ （3）本周日的成绩和上周日的成绩相比是提高了还是下降了？其变动的环数是多少？ 10．（2023秋•息县期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　　． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 11．（2023秋•兰州期末）为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米），，，，，，．通过计算说明守门员最后是否回到了球门线的位置． 12．（2023秋•咸宁期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 138.1 188 458 表中星期六的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏是多少？ 2． 有理数 13．（2023秋•桂林期末）将有理数，0，，2023，，0.6分别填在相应的大括号里． 整数： 　； 负数： 　　； 正分数： 　　． 14．（2024秋•黔东南州期末）把下列各数填在相应的大括号内： 5，，1.4，，，0，，，（每两个1之间逐次增加一个． 正数集：； 非负整数集：　　； 负分数集：　　； 有理数集：　　． 15．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合： 　， 负整数集合： 　　， 正分数集合： 　　， 非负整数集合： 　　． 16．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，，0，，，，，0.3，，，． 正数集合：　　 ； 负数集合： 　　； 整数集合： 　　； 分数集合： 　　． 17．（2023秋•武都区期末）把下列各数分别填入相应的集合里． ． （1）负数集合： 　　； （2）整数集合： 　　； （3）分数集合： 　　． 三．数轴 18．（2023秋•湘潭县期末）如图为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至富士康站，途中共设12个上下车站点．某天，小王从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到站下车时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站），，，，，，，，，． （1）请通过计算说明站是哪一站？ （2）若相邻两站之间的平均距离为2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 19．（2023秋•耿马县期末）一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了2个单位长度到达点，再向右爬了3个单位长度到达点，然后向左爬了9个单位长度到达点． （1）画数轴表示点、、所在的位置，并写出、、三点表示的数； （2）根据点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 20．（2023秋•新华区期末）在数轴上有5个点，，，，，每相邻两个点之间的距离（均为单位长度）如图所示，若这五个点分别对应的数用，，，，表示． （1）已知点与点到原点的距离相等， ①原点为点 　　； ② 　　， 　　； （2）若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； （3）已知，，则原点在 　　段内． ． ． ． ． 21．（2023秋•西峰区期末）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，已知． （1）原点在第 　③　部分； （2）若，，，求的值； （3）在（2）的条件下，数轴上一点表示的数为，若，直接写出的值． 22．（2023秋•平定县期末）如图所示的送餐机器人在一条东西走向的走道上为客人服务，从取餐点出发，先向东移动到达3号桌处，然后向西移动到达2号桌处，再返回取餐点． （1）以取餐点为原点，向东方向为正方向，画出数轴，并在数轴上表示出，，三处的位置； （2）处离处有多远？ （3）机器人一共移动了多少米？ 23．（2023秋•商南县期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点表示，点表示8． （1）点表示的有理数是 　　，表示原点的是点 　　． （2）图中哪些点表示的有理数互为相反数？ （3）图中的数轴上另有点到点，点距离之和为13，求点表示的有理数． 24．（2023秋•东港区期末） 已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． （1）的长为 　　； （2）如果点到点、点的距离相等，那么的值是 　　； （3）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 25．（2023秋•东城区期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以，所得数对应的点为．若，是正整数），则称点为点的“倍关联点”．已知数轴上点表示的数为2，点表示的数为．例如，当，时，若点表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． （1）当，时，已知点的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点表示的数为 　　； （2）已知点在点右侧，点的“6倍关联点” 表示的数为11，则点表示的数为 　　； （3）若点从点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点从点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点始终为点的“倍关联点”，直接写出的值． 26．（2023秋•朝阳区期末）对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段． （1）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为4，在线段，，中，与线段互为友好线段的是 　　； （2）在数轴上，点，，，表示的数分别为，，，且，不重合．若线段，互为友好线段，直接写出的值． 27．（2023秋•桐城市校级期末）已知有理数，，在数轴上对应位置如图所示，化简． 28．（2023秋•安顺期末）某纯净水公司每天按照顺序派车为，，，，，，，八个小区运送桶装水，送水工开车从公司（原点）出发，沿公路向东西方向行驶，将水送至各小区门口．如果规定从出发点出发向东为正、向西为负．送水工某天的行驶记录如下（单位：百米），，，，，，，． （1）送完最后一个小区后，送水工的车在出发点的什么方向？距离出发点多远？ （2）若该车的耗油量为0.9升千米，则该天这个送水工的车共耗油多少升？ 29．（2023秋•门头沟区期末）已知数轴上点，对应的数分别为，，且，点在线段上，点为数轴上一动点，其对应的数为．我们规定：点到点的距离的最小值为点到线段的“到达距离”． （1）如图1，当点与数轴上原点重合时， ①如果，那么点到线段的“到达距离”是 　　； ②如果点到线段的“到达距离”是2，那么　　； （2）当点对应的数在之间（包含，时，如果点到线段的“到达距离”始终大于3，直接写出的取值范围． 30．（2023秋•白云区期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是13． （1）点和点在数轴上的距离是 　　个长度单位； （2）点，，为数轴上的三个动点，点的速度为3个单位长度每秒，点的速度为11个单位长度每秒，点的速度为2个单位长度每秒．点和点从点出发，点从点出发． ①三点同时出发向右运动，当点与点重合时，求点所对应的数； ②三点同时出发向右运动，当点与点重合后，点立即沿反方向运动，当点与点相遇时，求此时点所对应的数． 31．（2023秋•开江县期末）如图，点、和线段都在数轴上，点、、、对应的数字分别为、0、2、11．线段沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为秒． （1）用含有的代数式表示的长为　　 （2）当　　时，． （3）若点、与线段同时移动，点以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，和可能相等吗？若相等，请求出的值，若不相等，请说明理由． 32．（2023秋•宣汉县校级期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点，，表示的数分别是1，4，5，此时点是点，的“倍分点”． （1）当点表示数，点表示数2时，下列各数，1，4是点，的“倍分点”的是 　　； （2）当点表示数，点表示数30时，为数轴上一个动点． ①若点是点，的“倍分点”，求此时点表示的数； ②若点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点表示的数． 33．（2023秋•信阳期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ 34．（2023秋•大余县期末）已知有理数、、在数轴上的位置，化简． 35．（2023秋•顺义区期末）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点，，所表示的数分别为1，4，5，此时点是点，的“三倍点”． （1）点表示的数是，点表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是，，，，其中是点，的“三倍点”的是 　　； （2）点表示的数是，点表示的数是14，为数轴上一个动点，若点是点，的“三倍点”，求点表示的数． 四．绝对值 36．（2023秋•东昌府区期末）先化简，再求值： 已知有理数，，位置如图所示． 请化简：． 37．（2022秋•丰泽区校级期末）若用点、、分别表示有理数、、，如图： （1）判断下列各式的符号：　　0；　　0；　　0 （2）化简 38．（2017秋•河源期末）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简： 39．（2023秋•余干县期末）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 　　0， 　　0， 　　0． （2）化简：． 5． 有理数大小比较 40．（2023秋•岚皋县校级期末）画出数轴，并解答下列问题： （1）在数轴上表示下列各数：4，，，0，，1； （2）按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 41．（2023秋•东莞市校级期末）有理数、、在数轴上的位置如图． （1）用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0． （2）化简：． 42．（2023秋•仙居县期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等． （1）填空：数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　． （2）点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． （3）将，，，四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 43．（2023秋•邢台期末）已知有五个有理数，分别是：2.5，，，，0． （1）请把这五个有理数在数轴上表示出来； （2）按照从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 44．（2023秋•达州期末）如图，数轴上有，，三点． （1） 　　0， 　　0， 　　0；（填“ “，“”，“ ” （2）化简． 45．（2023秋•东莞市校级期末）在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“”号把这些数连接起来． ，，，0． 46．（2023秋•东昌府区期末）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，0，，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$