24.3.1.锐角三角函数 教案 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

24.3.1.锐角三角函数 第1课时　锐角三角函数的定义 1.掌握锐角的三种三角函数的定义，了解锐角三角函数的取值范围. 2.利用三角函数的定义，表示三角函数值，能够利用锐角三角函数的定义求三角函数值.（重点） 3.体会三角函数的实际应用，加强数形结合的思想和探索的精神.（难点） 一、情境导入 如图所示可以用来测量物体的高度. 解决这个问题，将涉及直角三角形中的边角关系.直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题. 二、探索新知 1.某个角的对边、邻边的概念 在Rt△ABC中，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示（如图）. 2.做一做 （1）画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算. （2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下. （3）若∠A＝45°、60°时，则∠A对边与斜边之比是多少？ 结论：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝30°），那么不管这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与邻边的比值都是一个固定的值. 经过验证，在Rt△ABC中，当锐角∠A取其他确定值时，∠A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与Rt△ABC的大小无关. 说明：观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3.∴＝＝.可见，在Rt△ABC中，对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值都是唯一确定的.同样，其对边与斜边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的. 3.锐角三角函数的定义 ∠A的正弦：sinA＝＝. ∠A的余弦：cosA＝＝. ∠A的正切：tanA＝＝. 锐角∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数. 4.知识拓展 （1）正弦与余弦三角函数值的取值范围： ∵直角三角形中，斜边大于直角边.∴0＜sinA＜1，0＜cosA＜1. （2）同角三角函数关系： sin2α＋cos2α＝1；tanα＝. （3）互余两角的三角函数值： 若α、β都是锐角，且α＋β＝90°，那么sinα＝cosβ，cosα＝sinβ. 例1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8.试求出∠A的三个三角函数值. 解：AB＝＝＝17， sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝. 三、巩固练习 1.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°，则： ∠P的对边是　　　　　，∠P的邻边是　　　　　；∠M的对边是　　　　　，∠M的邻边是　　　　　. 第1题图 2.如图，在Rt△DEC中，∠E＝90°，CD＝10，DE＝6.试求出∠D的三个三角函数值. 第2题图 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值： （1）a＝3，b＝4；（2）a＝5，c＝13. 答案：1. MN　PN　PN　MN 2.由勾股定理，得CE＝8，所以sinD＝＝，cosD＝＝，tanD＝＝. 3.（1）sinB＝，cosB＝，tanB＝. （2）sinB＝，cosB＝，tanB＝. 四、应用拓展 例2　已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，求AB、AC的值. 解：∵sinA＝，∴AB＝＝. ∴AC＝＝. 例3　如图，已知α为锐角，sinα＝，求cosα、tanα的值. 解：方法一：用定义法求解. ∵sinα＝，∴设BC＝3x，则AB＝5x. 由勾股定理，得AC＝4x. ∴cosα＝＝，tanα＝＝. 方法二：用公式求解. ∵α为锐角，∴cosα＝＝＝，tanα＝＝. 五、归纳小结 1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键. 2.正弦、余弦、正切实际上都是比值，没有单位，它们只与锐角α的大小有关，与三角形的边长无关. 3.对于每一个锐角α的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应. 六、课后作业 1.教材第111页习题24.3第1、2题. 2.如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是∠CAB的平分线，tanB＝，求的值. 通过巩固练习来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础.学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是巩固练习，都要以学生理解透彻为最终目标.通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力.课后总结目标达成情况，对学生或小组的课堂表现进行激励性评价. 第2课时　特殊角的三角函数值 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，体会三角函数的意义.（重点） 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.（重点） 3.能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决实际问题，感受三角函数在生活中的实际应用.（难点） 一、复习引入 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求∠A、∠B的三个三角函数值. 2.回顾锐角三角函数的定义和直角三角形的性质. 二、探索新知 1.在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，如图，试求两个锐角的三个三角函数值. 解：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.所以，若设30°角所对的直角边为1，即BC＝1，则AB＝2.由勾股定理， 得AC＝.由三角函数定义，得sinA＝＝. cosA＝＝. tanA＝＝.又∵∠B＝60°，同理可得sinB＝，cosB＝，tanB＝. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，如图，试求45°角的三角函数值. 解：设AC＝BC＝1，则AB＝.易得sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1. 例1　求值：sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°. 解：原式＝×＋×＝＋＝. 例2　在Rt△ABC中，若sinA＝，则cos的值是多少？ 解：由sinA＝，得∠A＝60°. ∴cos＝cos30°＝. 三、巩固练习 1.在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则此三角形一定是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.用特殊角的三角函数填空： ＝　　　　　＝　　　　　；＝　　　　　＝　　　　　； 1＝　　　　　；＝　　　　　. 3.化简＝　　　　　. 4.点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是　　　　　. 5.求下列各式的值： （1）sin260°＋cos260°； （2）2cos60°＋2sin30°＋4tan45°； （3）＋. 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝.求∠A的大小. 答案：1. A　2. sin60°　cos30°　sin45°　cos45°　tan45°　tan60°　3.1－　4. 5.（1）1　（2）6　（3） 6.∵sinA＝＝，∴∠A＝45°. 四、应用拓展 1.你能求出tan15°的值吗？如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝AB，则∠D＝15°.设AC＝k，则AB＝2k，BC＝k，所以CD＝BC＋BD＝BC＋AB＝（2＋）·k.所以tan15°＝＝＝2－. 2.仿照上面的解题方法，易求tan22.5°＝－1. 五、归纳小结 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 六、课后作业 1.教材第111页习题24.3第3题. 2.若∠A、∠B是△ABC的两个内角且满足关系式＋＝0，求∠C的度数. 3.若α为锐角，且tan2α－（1＋）tanα＋1＝0.求α的度数. 课程设计中引入非常直接，直击课题，引出重难点，同时也对之前学习的知识进行了整体综合的复习，效果很好.在讲解特殊角的三角函数值时讲解细致，整体教学设计流畅全面，学生学习效果与掌握情况很好. 学科网（北京）股份有限公司 $$