14.2.1 平方差公式 教学设计-2024-2025学年人教版数学八年级上册

教学设计 课题 14.2.1平方差公式 课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□ 教学内容分析 平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征。公式（a+b）（a-b）=a2－b2中的字母a，b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式、分式等任何代数式。平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项为基础，从一般形式的整式乘法运算到特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较、抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象的研究方法。用几何图形说明代数式，也是本章节的一条主线，所以本节课也利用图形面积辅助对公式意义的理解。基于以上分析，我确定本节课的教学重点是：理解方差公式。 学情分析 学生的基本认知能力有：（一）具备用字母代替数、多项式等的能力;（二）熟练掌握幂的运算和整式的乘法，在此基础上继续学具有特殊形式的多项式乘法。平方差公式是结构特殊的多项式相乘，公式（a+b）（a-b）=a2－b2中的字母a，b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式等，情况比较复杂，对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数式是公式中的a、哪个数式是公式中的b有一定困难。为了突破这些难点，教师应加强对学生的引导，带领学生分析公式的结构特征，总结两个相乘式子中“一同一反”的量，让学生进一步领会方差公式的实质。因此，本节课的教学难点是：平方差公式的变式应用。 重难点 （1）理解平方差公式，能运用公式进行计算; （2）在推导平方差公式的过程中，经历观察、比较、分析、抽象和概括，发展学生的数感、符号意识和运算能力; （3）在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象的研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合、转化的思想。 学习目标 （1）理解平方差公式，能运用公式进行计算; （2）在推导平方差公式的过程中，经历观察、比较、分析、抽象和概括，发展学生的数感、符号意识和运算能力。 评价任务 达成目标1的标志是：理解平方差公式的基本结构和特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式的内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算，同时能自己给出满足平方差公式的式子。 达成目标2的标志是：学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式。 达成目标3的标志是：学生在探索公式的过程中，体验由具体到抽象的过程;在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的方法，感知数形结合的思想。切割不规则图形拼接成规则图形计算面积，感知转化思想。 教学评活动过程 教师活动 学生活动 环节一：创设情境，引入目标 在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题： 1、21×19=？ 2、103×97=? 主持人话音刚落就立刻有一个学生刷地站起来说出了答案，其速度之快就是脱口而出，同学们你们知道他是如何计算的吗？你想掌握他的简便、快速的运算招数吗？ 教师活动 教师通过创设情境，引入本节目标 学生活动 学生发现很难做到脱口而出，从而激发学生求知欲 设计意图： 通过创设情境引入，学生感觉到数计算起来麻烦而大，很难做到脱口而出，从而激发学生求知欲和兴趣。 环节二：复习回顾，导入新知 教师活动 教师发问：多项式与多项式是如何相乘的？你能描述下他的符号表示和语言描述吗？ 学生活动 学生尝试回答 设计意图 通过回顾多项式乘以多项式法则，既帮助学生回顾了旧知，又为下面引入特殊的多项式乘以多项式奠定基础。 环节三：探究新知 教师活动 （1）（x＋1）（x－1）= （2）（m＋2）（m－2）= （3）（2x＋1）（2x－1）= 教师出示题目，学生口头展示结果后，师生共同评价，教师白板展示结果 学生活动 学生快速在练习本上计算结果，个别学生口头展示结果 设计意图 通过计算，进一步巩固多项式与多项式相乘的法则，为本节课的学做铺垫。三个具有代表性的多项式与多项式相乘，可以为之后抽象概括出公式的结构奠定基础，也让学生体会从一般到特殊的数学思想方法。 教师活动 学生活动 追问1：这些题目的结果有什么特点？ 追问2：等式的左边又有什么特点呢？ 追问3：根据你的观察，你有什么猜想呢？ 追问4：你能用符号描述来描述你的猜想吗？ 追问5：（1）你能用学过的知识验证这个猜想的正确性吗？ （2）你能根据图中的图形面积验证猜想的正确性吗？ 学生在教师的一步步问题追问下进行思考，并师生共同完成探讨，从而完成猜想，形成（a+b）（a-b）=a2-b2符号描述和“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”的语言描述，并通过先前学习的多项式和多项式相乘法则验证猜想，学生通过教师的引导，通过图形的割补探究图形面积的多种表示方法，从而从数学演绎推理和图形结合求面积两种方式验证猜想 设计意图 设计意图：从等式的结果入手，让学生观察等式的结构特征，从而形成“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”的猜想，在验证猜想时，学生现利用多项式乘以多项式进行计算验证，而后在教师的引导下，学生将不规则图形转化成规则图形，渗透数形结合、转化的数学思想。拼图、计算图形的面积这个过程体现学生自主学以及动手操作的能力，激发学生参与课堂的热情。 环节四：归纳新知 教师活动 1、教师板书平方差公式的语言描述和符号描述，并引导学生进一步思考平方差的结构特征 符号描述：（a+b）（a-b）=a2-b2 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 思考：平方差公式有什么结构特点呢？ 2、填一填，教师通过一个题目出示，掌握学生对于结构的理解程度 (a+b)(a-b) a b a2-b2 （1＋x)(1－x) （﹣3＋a)(－3－a) （1＋a)(﹣1＋a) （0.3x－1)(1＋0.3x) 学生活动 学生识记平方差公式的语言描述和符号描述，并通过教师步步引导进一步体会平方差公式的结构特征，并通过对结构特征的理解通过口答解决教师出示的题目，总结出a、b不仅可以是具体的数，也可以是整式、分式。 设计意图 学生经历猜想—验证——归纳的过程，感受到数学知识的严谨性和逻辑推理性,在总结平方差公式结构特点时，通过学生讨论，教师引导，学生发现平方差是二项式乘以二项式，且存在一同一反的，结构总结成存在一组相同项和一组相反项，结果识记为相同项平方减去相反项平方。特点，也是判断a、b表示谁的关键。 环节五：例题剖析 教师活动 学生活动 教师白板出示课本例1和例2，例1相对来说简单，教师只需要强调规范格式即可，例2在例1的基础上难度有所升级，教师引导学生思考，并引导学生总结平方差公式的使用的步骤 学生根据教师的引导，形成规范解题格式，初步掌握平方差公式的使用步骤：判、套 设计意图 通过例题由易到难得讲解和板书，规范学生解题格式，学生初步总结平方差公式的使用步骤 环节六：应用新知 教师活动 学生活动 教师在例1和例2讲解板书完成后，设计跟踪练习题目，题目从设计上来说由易到难，由符合平方差公式的基本形式到略微变形，而后通过再现情境，解决开头未解决的问题 （1）(a＋3b)(a－3b)= （2）(3＋2a)(－3＋2a)= （3）(－y－2x2)(－2x2＋y)= （4）51×49= （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= 学生独立完成题目，互批互改，教师巡视指导，个别学生进行展示，其他学生发现问题提出质疑，师生共同解决。 设计意图 学生通过做题，进一步加深对平方差公式的理解，通过教师引导，掌握解题方法和解题思想，学生通过平方差公式的变形训练，进一步总结平方差的解题步骤：判、调、套。通过再现情境解决问题，学生感觉到数学知识学习的价值性和严谨性，从而体会到数学来源于生活，更服务于生活。 环节七：课堂小结 教师活动 学生活动 学生活动 （1）本节课学了哪些主要内容？ (2）我们是如何推导出平方差公式的？平方差公式使用时的一般步骤都有什么？ （3）本节课主要运用了什么数学思想？引导学生从一下几个方面总结： 从一般多项式乘以多项式到探究特殊的多项式乘以多项式，从而到了平方差公式 通过图形面积探究平方差公式的符号描述，从而达到数与形相结合 把非规则图形通过切割法转化成规则图形求面积 把非规则图形通过切割法转化成规则图形求面积 学生在教师的引导下梳理本节学习内容 学生根据教师的引导，形成规范解题格式，初步掌握平方差公式的使用步骤 板书设计 平方差公式 符号描述：（a+b）（a-b）=a2-b2 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 平方差结构特征：1、二项式乘以二项式 2、存在一组相同项和一组相反项，即一同一反 平方差公式使用步骤：1、判 2、 调 3、 套 教学反思与改进 个别环节没有做到彻底放手，从而导致学生思维受到局限，没有得到完全发散，个别时候为了节省时间代替了学生的思维。在猜想环节，引导过多，学生思维没有得以发展，小组交流合作没有起到有效性。 — 4 — 学科网（北京）股份有限公司 $$