26.1.2反比例函数的图像和性质同步训练2024-2025学年人教版九年级数学下册

26.1.2反比例函数的图像和性质 一、选择题 1．如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．关于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．时，y随x的增大而减小 B．当时， C．它的图象与坐标轴无交点 D．当时，y有最小值 3．已知反比例函数，当时，随的增大而减小，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．与的值有关，无法确定 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．图象位于第二、四象限 D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 5．在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C． D． 二、填空题 7．如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为 ． 8．已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 9．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 10．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，在x轴上，平行四边形的面积为6，则 ． 11．如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点A和点B，则矩形的面积为 ． 三、解答题 12．用描点法在如图中作出函数的图象，并结合图象填空： (1)当时，的取值范围是______； (2)当时，的取值范围是______． 13．已知：与成正比例，与成反比例，，当时，，时，，求y与x的函数解析式． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．        (1)求m的值以及点D坐标； (2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 15．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积． 16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 第 2 页 共 15 页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，连接、，得，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：如图所示，连接、，设交轴于点， ∵轴，且与反比例函数与的图象分别交于点和点， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 2．D 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可． 【详解】解：A、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； B、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； C、，反比例函数位于第一、三象限，与坐标轴无交点，故本选项正确，不符合题意； D、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，或，则无最小值，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了反比例的增减性，一元二次方程根的判别式，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．据此可得，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B. 4．C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、当时，，图象不经过点，故选项A不符合题意； B、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项C符合题意； D、反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，也是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，判断反比例函数的增减性等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可． 【详解】解：反比例函数的解析式为，其中， 反比例函数的图象位于二、四象限， ，，在反比例函数的图象上， ，在第二象限， 又， ， 又在第四象限， ， ， 故选：． 6． B 【分析】本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据二次函数的图象可得的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得． 【详解】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴位于轴的右侧， ， ， ， 由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限， 由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限， 故选：B． 7． 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，依据题意，设，，由点E和点C在反比例函数上，求出的值，得到，从而可以求出k的值，解题时要熟练掌握并能灵活运用矩形的性质是关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，点为边的中点， ， ∴设，， ∵点和点在反比例函数上， ， ， ∴， ， 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时， y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．10 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 设，，则，平行四边形的边上高为b，然后根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴设，， ∵平行四边形且轴， ∴，， ∴平行四边形的边上高为b，面积为6， ∴，解得：． 故答案为10． 11．3 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，反比例函数图像上点的坐标特征，结合图形利用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据矩形的面积，即B点的横纵坐标绝对值的乘积，即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象过点A，且， ， ， 则反比例函数的解析式为， 矩形的面积，即B点的横纵坐标绝对值的乘积， ， 故答案为：3． 12．(1) (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知反比例函数的性质． （1）列表，描点，连线作出函数的图象，根据图象求解即可； （2）根据反比例函数的增减性结合图象进行求解即可． 【详解】（1）解：列表 1 2 3 4 3 4 6 12 描点，连线作出函数的图象，如图， 观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为：； （2）解：当时，， 解得， 观察图象，当时，的取值范围是． 13． 【分析】本题主要考查利用一次函数和反比函数的待定系数法求解析式，以及解二元一次方程组，根据题意设，，则，结合已知点代入求解即可． 【详解】解：设，， ∵ ∴ 当时，；当时，，可得方程组： 解得： ∴y与x之间的函数关系式为：，即． 14．(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点A的坐标代入一次函数的解析式求出m，联立方程组求 D点坐标； （2）根据题意得出B ，C点的坐标，根据面积6，求得的长，设P点坐标为，故，解得或．进而得出结论． 【详解】（1）解：把点代入，得．     联立， 得． （2）易知，，， 则．     设P点坐标为，故， 解得或．     所以P点坐标为或． 15．(1)；6 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． （1）)把点B代入正比例函数、反比例函数关系式可求出，的值； （2）过点B作于点H，根据，求出点C的横坐标，求出，代入求出进而求得，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点，． 又∵正比例函数的图象经过点， ，解得 ， ，． （2）解：如解图，过点B作于点H． 由（1）可知，正比例函数的表达式为 x， 反比例函数的表达式为． ∵点C在正比例函数的图象上，且轴，， ∴点C的纵坐标为6． 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ，点A的横坐标为4． ∵点A在反比例函数 的图象上， ∴点A的坐标为， ， ，， ． 16．(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； （2）过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； （3）存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 第 2 页 共 15 页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$